X/ENS Maths PC 2017 — Énoncé 1 / 4

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ECOLE POLYTECHNIQUE – ´ ´ ECOLES NORMALES SUP ´ ERIEURES ECOLE SUP ´ ´ ERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2017 FILI ` ERE PC

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC)

(Dur´ee : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autoris´ ee pour cette ´ epreuve.

⋆ ⋆ ⋆

Dans le probl`eme, n est un nombre entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et [[1, n]] d´esigne l’ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n.

C d´esigne le corps des nombres complexes. Le module d’un nombre complexe z est not´e |z|.

M

( C ) (resp. M

( R ) ) d´esigne l’espace des matrices `a n lignes et m colonnes, `a coefficients dans C (resp. dans R ). La matrice transpos´ee d’une matrice M ∈ M

( C ) est not´ee

M . C

est identifi´e `a l’espace M

( C ) des matrices colonnes `a n lignes et `a coefficients dans C . Les coefficients d’un vecteur x ∈ C

sont not´es x

, . . . , x

. Dans tout le probl`eme, C

est muni de la norme || ||

d´efinie par

||x||

=

n

X

i=1

|x

|.

Pour tous x ∈ C

et y ∈ C

, la matrice

xy ∈ M

( C ) est identifi´ee au nombre complexe

n

X

i=1

x

y

. Le sous-espace vectoriel de C

engendr´e par un vecteur v ∈ C

\{0} est not´e C v.

Une matrice M ∈ M

( R ) est dite positive (resp. strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont des r´eels positifs (resp. strictement positifs). Cette propri´et´e est not´ee M > 0 (resp. M > 0).

Si A et B sont deux matrices de M

( R ), on notera A > B (resp. A > B) la propri´et´e A − B > 0 (resp. A − B > 0). Ainsi, pour x et y dans R

,

x > y ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, n]] , x

> y

.

Lorsque m = n, on utilisera la notation M

( C ) (resp. M

( R )) pour M

( C ) (resp. M

( R )).

La matrice diagonale













λ

0 . . . 0 0 . .. ... 0 .. . . .. ... ...

0 . . . 0 λ













∈ M

( C )

sera not´ee diag(λ

, . . . , λ

). On note I

= diag(1, . . . , 1) la matrice identit´e d’ordre n.

Pour M ∈ M

( C ), on pose

||M || = sup

x∈Cⁿ,||x||1=1

||M x||

= sup

x∈Cⁿ\{0}

||M x||

||x||

· (1)

Une matrice M ∈ M

( C ) sera en g´en´eral identifi´ee `a l’endomorphisme ϕ

de C

repr´esent´e par M dans la base canonique de C

: pour x ∈ C

, ϕ

(x) = M x. On appelle spectre d’une matrice

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M ∈ M

( C ), et on note Sp(M ), l’ensemble des valeurs propres de M . Le rayon spectral de M , not´e ρ(M), est d´efini comme le maximum des modules des valeurs propres de M :

ρ(M ) = max{|λ|; λ ∈ Sp(M )} .

Premi` ere partie

1. a) Pour toute matrice M ∈ M

( C ) et tout nombre r´eel C > 0, montrer l’´equivalence kM k 6 C ⇐⇒ ∀x ∈ C

: kM xk

6 Ckxk

.

b) Montrer que l’application M 7−→ kMk est une norme sur M

( C ).

2. Montrer que pour A, B ∈ M

( C ), ||AB|| 6 ||A|| ||B||.

3. Soit A ∈ M

( C ). On note a

le coefficient de A d’indice de ligne i et d’indice de colonne j.

Montrer que

||A|| = max

16j6n

X

i=1

|a

| .

4. On dit qu’une suite (A

)

de matrices de M

( C ) converge vers une matrice B ∈ M

( C ) lorsque

∀i ∈ [[1, n]] , ∀j ∈ [[1, n]] , lim

k→+∞

(a

)

= b

. Montrer que la suite (A

) converge vers B si et seulement si lim

k→+∞

||A

− B|| = 0.

5. On consid`ere dans cette question une matrice A ∈ M

( C ) triangulaire sup´erieure,

A =

















a

a

. . . . a

0 a

. . . . a

.. . . .. ... .. . .. . . .. ... .. . 0 . . . . . . 0 a















 .

On suppose que

∀i ∈ [[1, n]] , |a

| < 1 . Pour tout r´eel b > 0, on pose P

= diag(1, b, b

, . . . , b

) ∈ M

( R ).

a) Calculer P

AP

. Que se passe-t-il lorsqu’on fait tendre b vers 0 ? b) Montrer qu’il existe b > 0 tel que

||P

AP

|| < 1 . c) En d´eduire que la suite (A

)

converge vers 0.

Deuxi` eme partie 6. D´eterminer le rayon spectral des matrices suivantes

0 0 0 1

, 0 0

1 0

, 1 0

0 0

,

0 −1

2 0

,

3 2 1 2

.

7. Dire, en justifiant bri`evement la r´eponse, si les assertions suivantes sont exactes quels que soient A, B ∈ M

( C ), µ ∈ C .

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i) ρ(µA) = |µ|ρ(A) . ii) ρ(A + B) 6 ρ(A) + ρ(B).

iii) ρ(AB) 6 ρ(A)ρ(B).

iv) Pour P ∈ M n ( C ) inversible, ρ(P

AP) = ρ(A).

v) ρ( ^t A) = ρ(A).

8. Montrer que pour toute matrice A ∈ M n ( C ), ρ(A) 6 ||A|| .

Dans les questions 9 ` a 11 , on consid`ere une matrice A ∈ M n ( C ).

9. Montrer que si ρ(A) < 1, alors la suite (A ^k ) k∈N

converge vers 0.

10. a) Montrer que, pour tout k ∈ N

, ||A ^k || > ρ(A) ^k . b) On d´efinit la partie de R

E A = {α > 0 | lim

k→+∞

A α

k

= 0} .

Montrer que E A = ]ρ(A), +∞[.

11. Montrer la formule

k→+∞ lim ||A ^k ||

= ρ(A) .

12. Pour A ∈ M n ( C ) de coefficients a i,j , on pose A

= (b i,j )

, o` u b i,j = |a i,j |. Mon- trer l’in´egalit´e

ρ(A) 6 ρ(A

) .

Troisi` eme partie

Dans toute cette partie, A est une matrice strictement positive de M n ( R ).

On se propose de d´emontrer les propri´et´es suivantes.

(i) ρ(A) > 0, ρ(A) est une valeur propre de A et toute autre valeur propre λ ∈ C de A v´erifie

|λ| < ρ(A).

(ii) ρ(A) est une racine simple du polynˆ ome caract´eristique de A et ker(A −ρ(A)I n ) est engendr´e par un vecteur v

dont toutes les composantes sont strictement positives.

(iii) Si v est un vecteur propre de A dont toutes les composantes sont positives, alors v ∈ ker(A − ρ(A)I n ).

(iv) Pour tout vecteur positif non nul x, il existe c ∈ R

tel que lim k→+∞ A

x ρ(A)

= cv

. 13. Soient z

, . . . , z n des nombres complexes. Montrer que si

|z

+ · · · + z n | = |z

| + · · · + |z n |,

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alors le vecteur





 z

.. . z n





 est colin´eaire au vecteur







|z

| .. .

|z n |





 .

14. Soient x, y ∈ C ⁿ , λ, µ ∈ C . Montrer que si λ 6= µ, alors on a l’implication suivante (Ax = λx et ^t Ay = µy) = ⇒ ^t x y = 0 .

15. On suppose qu’il existe un r´eel positif µ et un vecteur positif non nul w tels que Aw > µw.

a) Montrer que pour tout entier naturel k, A ^k w > µ ^k w. En d´eduire que ρ(A) > µ.

b) Montrer que si Aw > µw, alors ρ(A) > µ.

c) On suppose ` a pr´esent que dans le syst`eme d’in´egalit´es Aw > µw, la k-i`eme in´egalit´e est stricte,

c’est-`a-dire _n

X

j=1

a kj w j > µw k .

Montrer qu’il existe ǫ > 0 tel que, en posant w _j

= w _j si j 6= k et w _k

= w _k + ǫ, on a Aw

> µw

. En d´eduire que ρ(A) > µ.

16. Soit λ une valeur propre de A de module ρ(A) et soit x ∈ C ⁿ \{0} un vecteur propre de A associ´e `a λ. On d´efinit le vecteur positif non nul v

par (v

) i = |x i | pour 1 6 i 6 n.

a) Montrer que Av

> ρ(A)v

, puis que

Av

= ρ(A)v

. b) En d´eduire que ρ(A) > 0 et

∀i ∈ [[1, n]] , (v

) i > 0 . c) Montrer que x est colin´eaire ` a v

. En d´eduire que λ = ρ(A).

La propri´ et´ e (i) est d´ emontr´ ee.

17. En appliquant les r´esultats pr´ec´edents ` a la matrice ^t A, on obtient l’existence de w

∈ R ⁿ , dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que ^t Aw

= ρ(A)w

. On pose

F = {x ∈ C ⁿ | ^t xw

= 0} .

a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de C ⁿ stable par ϕ _A , et que C ⁿ = F ⊕ C v

.

b) Montrer que si v est un vecteur propre de A associ´e `a une valeur propre µ 6= ρ(A), alors v ∈ F . En d´eduire la propri´et´e (iii).

18. a) On note ψ l’endomorphisme de F d´efini comme la restriction de ϕ A `a F . Montrer que toutes les valeurs propres de ψ sont de module strictement inf´erieur `a ρ(A). En d´eduire que ρ(A) est une racine simple du polynˆ ome caract´eristique de A et que

ker(A − ρ(A)I n ) = C v

. La propri´ et´ e (ii) est d´ emontr´ ee.

b) Montrer que si x ∈ F , lim

k→+∞

A ^k x ρ(A) ^k = 0.

c) Soit x un vecteur positif non-nul. D´eterminer la limite de A ^k x

ρ(A) ^k lorsque k tend vers +∞.

La propri´ et´ e (iv) est d´ emontr´ ee.

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