Chapitre 5 D´eveloppements limit´es

Chapitre 5

D´ eveloppements limit´ es

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34 CHAPITRE 5. D ´ EVELOPPEMENTS LIMIT ´ ES

5.1 Pr´ eliminaires : relations de comparaison

D´ efinition. (Notation de Landau) Soient α ∈ R , et f, g deux fonctions d´e- finis sur un voisinage de a. On ´ecrit :

– f = o _a (g) (= o(g) si il est clair que l’on est pr`es de a) ssi ∀ ε > 0, ∃ V _a voisinage de a tel que ∀ x ∈ V a , | f(x) | ≤ ε | g(x) | . Si g ne s’annule pas, on peut aussi dire que lim x

a f(x)

g(x) = 0.

– f = O a (g) (= O(g) si il est clair que l’on est pr`es de a) ssi ∃ M > 0, ∃ V a

voisinage de a tel que ∀ x ∈ V _a , | f(x) | ≤ M | g(x) | .

Remarque : f = o a (g) ssi il existe une fonction ε telle que lim x

a ε(x) = 0 et f(x) = ε(x)g(x).

Exemple : x ⁿ = o 0 (x ^p ) pour n > p, x ⁿ = o

(x ^p ) pour n < p, e

= o ₀ (x ^p ) pour tout p, alors que x ^p = o ₀ ( _ln ¹

_x

).

Remarque : la notation O est plus pr´ecise que o. Par exemple, sin x = o(1) = O(x).

Proposition. Consid´erons des fonctions d´efinis sur un voisinage de a, alors – f = o(g), g = o(h) ⇒ f = o(h) (idem avec les O).

– f = o(h), g = o(h) ⇒ f + g = o(h) (idem avec les O).

– f 1 = o(g 1 ), f 2 = o(g 2 ) ⇒ f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) (idem avec les O).

D´ efinition. (fonctions ´equivalentes) Soient α ∈ R , et f, g deux fonctions d´efinis sur un voisinage de a. On dit que f ∼ g ssi f − g = o(g).

Attention : on n’´ecrit pas f ∼ 0...

Attention : `a la manipulation des ´equivalents. f ∼ g n’implique PAS h(f ) ∼ h(g). Par exemple, x ² + x ∼ +∞ x ² alors que e ^x

^+x − e ^x

e ^x

→ ∞ quand x → ∞ .

5.2 G´ en´ eralit´ es sur les d´ eveloppements limi- t´ es

D´ efinition. (D´eveloppement limit´e d’une fonction en 0) Soit n ∈ N . Soit f une fonction d´efinie au voisinage de 0. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de 0, s’il existe des r´eels a ₀ , a ₁ , . . . , a _n tels que :

f(x) =

� n k=0

a k x ^k + o 0 (x ⁿ )

Remarque : par d´efinition du o cela revient `a dire qu’il existe une fonction � d´efinie sur un voisinage de 0, telle que lim

x

0 �(x) = 0 et f(x) =

� n k=0

a k x ^k + x ⁿ �(x)

D´ efinition. (D´eveloppement limit´e d’une fonction en a) Soit n ∈ N . Soit f une fonction d´efinie au voisinage de a. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de a, s’il existe des r´eels a ₀ , a ₁ , . . . , a _n tels que :

f(x) =

� n k=0

a _k (x − a) ^k + o _a ((x − a) ⁿ )

Remarque 1 : dans la pratique, on utilise surtout les DL en 0, en fait si f admet un DL d’ordre n en a de la forme f(x) =

� n k=0

a k (x − a) ^k +o a ((x − a) ⁿ )

alors, f (a + h) =

� n k=0

a k (h) ^k + o 0 (h ⁿ ) ainsi, par changement de variable on s’est ramen´e `a un DL en 0.

Remarque 2 : Il est clair que f admet en DL en a si et seulement si f admet une limite finie a 0 en a. On a alors f (x) = a 0 + o a (1). Par exemple, e ^x = 1 + o ₀ (1) et ln(1 + x) = o ₀ (1)

Remarque 3 : D’apr`es ce qu’on a vu en premi`ere ann´ee, si f est une fonction d´efinie en a, alors f admet un DL d’ordre 1 en a si et seulement si f est d´erivable en a. Si f n’est pas d´efinie en a, alors elle admet un DL d’ordre 1 en a si et seulement si elle est prolongeable en une fonction d´erivable en a.

Par exemple, √

1 + x = 1 + 1

2 x + o 0 (x) car la fonction f : x �→ √

1 + x admet f

(0) = 1

2 comme d´eriv´ee en 0. De mˆeme, (3 + x)

= 3 + 2

3

x + o ₀ (x).

Remarque 4 : Si f admet un DL d’ordre n ∈ N en a, alors f admet un DL d’ordre p pour tout entier inf´erieur `a n. Plus pr´ecisemment : si f (x) =

� n k=0

a k (x − a) ^k + o a ((x − a) ⁿ ) alors pour tout entier p ≤ n, f (x) =

� p k=0

a k (x − a) ^k + o _a ((x − a) ^p ). (En clair, il suffit de n’en prendre qu’un bout).

Th´ eor` eme. Si f poss`ede un DL d’ordre n au voisinage de a, alors celui-ci est unique.

Proposition. Soit f une fonction d´efinie au voisinage de 0. Soit n ∈ N . On suppose que f admet un DL en 0 de la forme f(x) =

� n

a k x ^k + o 0 (x ⁿ ).

36 CHAPITRE 5. D ´ EVELOPPEMENTS LIMIT ´ ES – Si f est paire, alors pour tout indice k ≤ n impair a _k = 0.

– Si f est impaire, alors pour tout indice k ≤ n pair a k = 0.

5.3 D´ eveloppements limit´ es usuels

Le th´eor`eme de Taylor-Young est en fait une machine `a fabriquer des DL.

Th´ eor` eme (Th´eor`eme de Taylor-Young). Si f est une fonction de classe C ⁿ d´efinie au voisinage de a, alors f admet au voisinage de a le DL :

f (x) =

� n k=0

(x − a) ^k

k! f ^(k) (a) + o a ((x − a) ⁿ ).

On a en particulier les DL `a connaˆıtre suivants : Proposition. Pour tout n ∈ N : exp(x) = 1 + x + x ²

2 + · · · + x ⁿ

n! + o 0 (x ⁿ ) ln(1 + x) = x − x ²

2 + · · · + ( − 1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n + o ₀ (x ⁿ )

∀ α ∈ R ,

(1 + x) ^α = 1 + αx + α(α − 1) x ²

2 + · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n! x ⁿ + o ₀ (x ⁿ ) Exercice : Retrouver `a partir cette proposition les DL de 1

1 + x , 1 1 − x , ln(1 − x) et √

1 + x en 0.

En pratique, `a partir des DL ´enonc´es dans cette propri´et´e et des formules d’op´erations sur les DL d´evelopp´ees dans la section suivante, on est capable si ils existent de d´eterminer les DL de toutes les fonctions qu’on croisera.

5.4 Op´ erations sur les DL

Comme on l’a d´ej`a vu, on peut toujours se ramener d’un DL en un point quelconque a ∈ R `a un DL en 0. C’est pourquoi, on expliquera uniquement les op´erations sur les DL en 0.

Notation : Si f admet un DL en 0 d’ordre n, de la forme f (x) =

� n k=0

a _k x ^k + o 0 (x ⁿ ) on dira alors que le polynˆome

� n k=0

a k x ^k est la partie r´ eguli` ere du DL d’ordre n de f en 0.

Proposition. Soit n ∈ N . Soient f et g deux fonctions d´efinies en 0 et admettant au voisinage de 0, un d´eveloppement limit´e d’ordre n de parties r´eguli`eres respectives P et Q. Alors :

– f + g admet un DL en 0 de partie r´eguli`ere P + Q.

– f g admet un DL d’ordre n en 0, dont la partie r´eguli`ere est obtenue en ne gardant dans le produit P Q que les termes de degr´e inf´erieur ou

´egal n.

Exercice : Donner le DL `a l’ordre 3 en 0 de ln(1 + x) + 2e ^x , ln(1 + x) 1 − x , ln(1 − x ² ), e ^x √

1 + x.

Proposition. Soient f et g deux fonctions telles que f (D f ) ⊂ D g , admettant toutes deux un DL d’ordre n en 0, de parties r´eguli`eres respectives P et Q.

On suppose que lim

x�→0 f(x) = 0. Alors g ◦ f admet au voisinage de 0 un DL d’ordre n dont la partie r´eguli`ere est obtenue en ne gardant que les termes de Q ◦ P de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.

Exercice : Donner le DL en 0 `a l’ordre 3 de �

1 + ln(1 + x), e

^1+x

¹ . NB : Cette propri´et´e traite du cas particulier o` u lim

x

0 f (x) = 0, ci ce n’est pas le cas on s’adapte !

Exercice : Donner le DL en 0 `a l’ordre 3 de exp( 1 1 + x ), √

1 + e ^x , et ln(1 + √

1 + x).

Proposition. Si la fonction f admet au voisinage de 0, un d´eveloppement limit´e d’ordre n et a pour limite 0 en 0, alors 1

1 + f admet un DL d’ordre n en 0.

Exercice : Donner le DL d’ordre 3 en 0 de x �→ 1

1 + ln(1 − x) et de 2 e ^x . Corollaire. Si la fonction f admet en 0 un DL d’ordre d’ordre n et si

x lim

0 f(x) � = 0, alors la fonction 1

f admet en 0 un DL d’ordre n.

Remarque : Ces deux derni`eres preuves donnent une m´ethode pratique de pour calculer les DL des fractions.

Exercice : Calculer les DL en 0, `a l’orde 2 de 1

√ 3 + x , e ^x

√ 2 + x ² . Remarque : Si lim

x�→0 f(x) = 0, alors 1

f n’est mˆeme pas continue en 0, et

elle n’admet donc pas de d´eveloppement limit´e d’ordre 0.

38 CHAPITRE 5. D ´ EVELOPPEMENTS LIMIT ´ ES Proposition. Soit f une fonction, et F une primitive de f. Si f admet un DL d’ordre n de partie r´eguli`ere P , alors F admet un DL `a l’ordre n + 1 de partie r´eguli`ere Q, telle que Q

= P .

Exercice : donner le DL en 0 de arctan.

5.5 Application : ´ etudes locales de fonctions

5.5.1 Pr´ eliminaire : ´ equivalents

Proposition. Soit f une fonction admettant en 0 un DL d’ordre n de la forme :

f (x) = a p x ^p + a p+1 x ^p+1 + · · · + a n x ⁿ + o +

(x ⁿ ) tel que a _p � = 0, alors f (x) ∼ 0 a _p x ^p

Exercice : Donner un ´equivalent en 0 de √

1 + x − 1, e ^x − 1 − x − x ² 2 , et e ^x

√ 4 + x − 1 2 .

5.5.2 Etude au voisinage d’un point fini

Exemples :

1. Etudier la fonction f : x �→ 2e ^x − 2 − 2x − x ²

x au voisinage de 0.

2. Etudier la fonction ψ : x �→ 1

1 + e ^x au voisinage de 0.

Si f est d´efinie en x ₀ et admet en ce point un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 du type :

f(x) = a ₀ + a ₁ (x − x ₀ ) + o _x

(x − x ₀ )

alors a 0 = f(x 0 ) et a 1 = f

(x 0 ) et une ´equation de la tangente en x 0 `a la courbe repr´esentative de f est y = a <sub>0</sub> + a <sub>1</sub> (x − x <sub>0</sub> ). Le premier terme suivant non nul du d´eveloppement limit´e permet d’´etudier la position de la courbe repr´esentant la fonction f par rapport `a cette tangente : Si f(x) = a ₀ + a ₁ (x − x ₀ ) + a ₂ (x − x ₀ ) ² + o _x

((x − x ₀ ) ² ) avec a ₂ � = 0 , alors au voisinage de 0, f(x) − (a 0 + a 1 (x − x 0 )) ∼ x

a 2 (x − x 0 ) ² donc si a 2 > 0 la courbe est au dessus de la tangente, tandis que si a ₂ < 0 la courbe est au dessous de la tangente au voisinage de x 0 .

Si f(x) = a ₀ + a ₁ (x − x ₀ ) + a _q (x − x ₀ ) ^q + o _x

((x − x ₀ ) ^q ) avec a _q � = 0 et

q impair, alors (x − x 0 ) ^q change de signe en x 0 , la courbe poss`ede donc un

point d’inflexion.

Exercice : Etudier la fonction x �→ e ^x − e

^x

2x au voisinage de 0

Remarque : Bien souvent, on pr´ef`ere toutefois ramener les ´etudes au voisinage de x ₀ , en ´etude en voisinage de 0 par le changement de variable h = x − x 0 .

5.5.3 Etude au voisinage de ±∞ - d´ eveloppements asymp- totiques.

Observation fondamentale : le changement de variable X = 1 transforme une ´ etude au voisinage de ±∞ , en une ´ etude au voisi- x nage de 0, o` u on peut alors utiliser tous les DL connus

Exemples :

1. Donner un ´equivalent au voisinage de + ∞ de 1

√ n + 1 − √

n + 1 + √ n.

2. Etudier le comportement au voisinage de + ∞ et de −∞ de la fonction g : x �→ 2x + 1 − √

x ² + 2.

3. Etudier le comportement au voisinage de + ∞ de la fonction h : x �→

ln(1 + e ^2x + x).

D´ eveloppement asymptotiques de suites d´ efinies par une ´ equation implicite

Exemple : Pour n ∈ N

, on d´efinit la fonction f : x �→ xe ^x ln(x + 1).

1. Montrer que pour tout n ∈ N

, l’´equation f (x) = _n ¹ n’admet qu’une seule solution strictement positive, on la note u n .

2. Montrer que la suite (u n ) n

est monotone.

3. Montrer que la suite (u _n ) _n∈N est convergente, calculer sa limite.

4. Donner un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de u _n .

(Solution : u _n = ¹ _n − _16n ¹

+ o( _n ¹

)).