Chapitre X
Triangles isométriques, triangles semblables
Dans tout ce chapitre un triangle est un triplet de points ; ainsi ABC et BAC ne désignent pas le même objet (l’ordre des points est important). Lorsque l’on considérera deux triangles ABC et DEF, les points A et D seront dits homo- logues ; de même C et F ou les segments [AB] et [DE] ou encore les distances BC et FE sont dits homologues.
X.1 Orientation du plan
Orienter le plan, c’est choisir un sens positif, ou direct, de parcours des cercles du plan. Par convention on choisit le sens trigonométrique, c’est-à-dire le sens contraire des aiguilles d’une montre, comme sens positif.
Ainsi ABC est un triangle desens directalors que DEF est un triangle de sens indirect.
B A
C +
F D
E
−
FIGUREX.1 – Orientations du plan.
X.2 Triangles isométriques
X.2.1 Définition et propriétés
DÉFINITIONX.2.1
Deux trianglesisométriquessont deux triangles dont les côtés sont deux à deux de même longueur.
Remarques
1. Dire que les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques signifie que :
AB=A′B′ BC=B′C′ CA=C′A′
.
2. Si les triangles ABC et A’B’C’ d’une part et A’B’C’ et A”B”C” d’autre part sont isométriques ; alors les triangles ABC et A”B”C” sont isométriques.
THÉORÈMEX.2.1
Deux triangles images l’un de l’autre par une isométrie sont isométriques.
DémonstrationSoittune isométrie, ABC un triangle et A′B′C′son image part.
test une isométrie, donc : A′B′=AB ; A′C′=AC et B′C′=BC. Nous en déduisons que les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.ä
Exemples
1. ABC est un triangle isocèle en A, H le milieu de [BC]. Alors ABH et ACH sont isométriques (l’un est image de l’autre par la symétrie d’axe (AH)).
2. DEFG est un parallélogramme de centre I. DIG et FIE sont isométriques.
A
B H C
× ×
D
E F
G
× I
×
bc
bc
FIGUREX.2 – Exemples de triangles isométriques.
2 X. Triangles isométriques, triangles semblables
Exercice X.2.1. Citer deux autres triangles isométriques apparaissant sur le parallélogramme DEFG de la figureX.2.
Remarques
1. Les triangles AHB et AHC sont isométriques et orientés en des sens contraires, on dit qu’ils sont indirectement isométriques.
2. Les triangles GID et EIF sont isométriques et orientés dans le même sens, on dit qu’ils sont directement isomé- triques.
Exercice X.2.2. Construire les points G et H tels que, sur la figureX.3, les triangles ABC et DEG soient directement isométriques ; les triangles ABC et DEH soient indirectement isométriques.
C
B A
D
E
FIGUREX.3 – Construction de triangles isométriques.
THÉORÈMEX.2.2 (ADMIS)
Si ABC et A’B’C’ sont deux triangles isométriques, alors :
ABC[ =A′B′C′[ BCA[ =B′C′A′[ CAB[ =C′A′B′[
C
B A
bc ld |
B’ C’
A’
|
bc ld
FIGUREX.4 –Deux triangles isométriques ont les mêmes angles.
Voir figureX.4.
THÉORÈMEX.2.3
Si ABC et A’B’C’ sont deux triangles isométriques, alors ils ont même aire.
Démonstration
C
B H A
C’ B’
A’
H’
FIGUREX.5 –Deux triangles isométriques ont même aire.
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles isométriques (voir figureX.5), H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC et H’ le pied de la hauteur issue de A’ dans le triangle A’B’C’.
ÉCOLEEUROPÉENNEBRUXELLESI –- 4e
On sait que AB=A′B′; AC=A′C′et CAH[ =CAB[ =C′A′B′[ =C′A′H′[ ; donc, dans les triangles rectangles ACH et A’C’H’, on a :
C′H′=A′C′sinC′A′H′[ =ACsinCAH[ =CH.
On en déduit que :
aire¡ A′B′C′¢
=A′B′×C′H′
2 =AB×CH
2 =aire(ABC) ä
RemarqueLes réciproques des théorèmesX.2.2etX.2.3sont fausses.
X.2.2 Cas d’isométries de deux triangles
THÉORÈMEX.2.4 (ADMIS)
Pour démontrer que deux triangles sont isométriques, il suffit d’établir l’une des propositions suivantes.
(1) Chaque côté est de même longueur que son ho-
mologue. |
bc
+
|
bc
+
(2) L’un des angles est égal à son homologue et les côtés adjacents à cet angle sont chacun de même lon-
gueur que son homologue. |
bcld
|
bcld
(3) Deux angles sont égaux à leur homologue et l’un
des côtés est de même longueur que son homologue. |
bcld
|
bc ld
RemarqueLe fait d’avoir deux côtés de même longueur que leur côté homologue et un angle égal à son homologue A
B C D
| |
FIGUREX.6 – ABC et ABD ne sont pas isométriques.
ne suffit pas pour conclure que les deux triangles sont isométriques. Sur la figureX.6, si on considère les triangles ABC et ABD, les côtés homologues [AB] et [AB] sont de même longueur, les côtés homologues [AC] et [AD] sont de même longueur et les angles homologues ABC[ et ABD[ sont égaux. Pourtant les triangles ABC et ABD ne sont pas isométriques car les côtés homologues [BC] et [BD] ne sont pas de même longueur.
X.2.3 Exercices résolus
X.2.3.a Démontrer que deux triangles sont isométriques
Exercice X.2.3. ABC est un triangle isocèle en A. B’ et C’ sont les milieux respectifs des côtés [AC] et [AB]. Démontrer, par trois méthodes différentes, que les triangles ABB’ et ACC’ sont isométriques.
SolutionOn introduit le point A’ milieu de [BC]. Le triangle ABC est isocèle en A, donc (AA’) est la médiatrice du
4 X. Triangles isométriques, triangles semblables
1reméthode
De plus SAA′(A)=Aet les symétries conservent le milieu, donc SAA′(B′)=C′. On a démontré que SAA′transforme A en A, B en C et B’ en C’ ; nous savons de plus que les réflexions conservent la distance entre deux points, donc :
AB = AC, AB’ = AC’, BB’ = CC’.
Par conséquent les triangles ABB’ et ACC’ sont isométriques.
2eméthode
Les angles homologues BAB′[ et CAC′[ sont égaux et les côtés adjacents à BAB′[ , [AB]
et [AB’] sont de même longueur que leurs côtés homologues respectifs [AC] et [AC’] ; donc les triangles ABB’ et ACC’ sont isométriques.
A
B A’ C
B’
C’
bc bc bc
bc
FIGUREX.7 – 3eméthode
Les angles homologues BAB′[ et CAC′[ sont égaux. Les angles homologues ABB′[ et ACC′[ sont égaux car les réflexions conservent les angles et SAA′ transforme A en A, B en C et B’ en C’. Les côtés homologues AB et AC sont de même longueur. Les triangles ABB’ et ACC’ ont deux angles égaux a leur homologue et un côté de même longueur que son homologue, ils sont donc isométriques.
X.2.3.b Des triangles isométriques pour démontrer
Exercice X.2.4. On reprend les données de l’exercice précédent. Démontrer que :BB′=CC′.
SolutionOn a démontrer que les triangles ABB’ et ACC’ sont isométriques ; donc les cotés homologues [BB’] et [CC’]
sont de même longueur.
X.3 Triangles semblables
X.3.1 Exemple fondamental
Sur la figureX.8, les triangles ABC et AB’C’ sont en situation de THALÈS. On a : AB′C′[ =ABC[ et AC′B′[ =ACB[ , comme angles correspondants. Dans les triangles ABC et AB’C’ les angles homologues sont égaux. On dit que triangles ABC et AB’C’ sont semblables (on dit aussi qu’ils ont la même forme). D’après le théorème de Thalès, il existe un nombre réel positifk tel que :
AB′ AB =AC′
AC =B′C′ BC =k.
Les côtés homologues des triangles ABC et A’B’C’ sont proportionnels.
A
B B’ C
C’
FIGUREX.8 – Exemple fondamental.
X.3.2 Définition et propriétés
DÉFINITIONX.3.1
Deux triangles semblables sont deux triangles tels que tout angle de l’un est égal à son homologue dans l’autre.
Remarques
1. Dire que les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables signifie que :
ABC[ =A′B′C′[
BCA[ =B′C′A′[
CAB[ =C′A′B′[
2. Des triangles isométriques sont des triangles semblables puisque leurs angles sont égaux deux à deux. Mais des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques.
|
bcld
A
B C
bc | ld
A’
B’
C’
FIGUREX.9 – Triangles semblables.
3. Si les triangles ABC et A’B’C’ d’une part et A’B’C’ et A”B”C” d’autre part sont semblables ; alors les triangles ABC et A”B”C” sont semblables.
ÉCOLEEUROPÉENNEBRUXELLESI –- 4e
THÉORÈMEX.3.1
Pour que deux triangles soient semblables il suffit qu’il y ait deux angles égaux à leur homologue.
DémonstrationOn sait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180◦donc si deux triangles ont deux angles égaux à leur homologue, alors le troisième angle est lui aussi égal à son homologueä
Exemple A
B H C
H 7→ A 7→ H
B 7→ B 7→ A
A 7→ C 7→ C
FIGUREX.10 – Configuration clef.
Sur la figureX.10, dans le triangle ABC, rectangle en A, H est le pied de la hauteur issue de A.
On a : ABH[ =CBA[ et BHA[ =BAC[ .
Dans le triangle HBA les angles ABH[ et BHA[ sont égaux à leur homologue dans le triangle ABC ; les triangles HBA et ABC sont donc semblables.
On a : BCA[ =ACH[ et BAC[ =AHC[ .
Dans le triangle ABC les angles BCA[ et BAC[ sont égaux à leur homologue dans le triangle HAC ; les triangles ABC et HAC sont donc semblables.
Les triangles HBA et HAC sont tous deux semblables aux triangles ABC, ils sont donc semblables.
Remarques
1. Les triangles HBA et ABC sont semblables et orientés en des sens contraires, on dit qu’ils sont indirectement sem- blables.
2. Les triangles HBA et HAC sont semblables et orientés dans le même sens, on dit qu’ils sont directement sem- blables.
Exercice X.3.1. Construire les points D et E tels que les triangles ABC et DAC soient directement semblables ; les triangles ABC et EAC soient indirectement semblables.
A
B C
FIGUREX.11 – Construction de triangles semblables.
X.3.3 Proportionnalité
THÉORÈMEX.3.2
Deux triangles ABC et A’B’C’ sont semblables si et seulement il existe un nombre réel strictement positifktel que : A′B′
AB =A′C′ AC =B′C′
BC =k.
Démonstration
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles (voir figureX.12).
On construit sur la demi-droite [A’B’) le point B” tel que : A′B′′=AB ; et sur la demi-droite [A’C’) le point C” tel que : A′C′′=AC.
Théorème direct
′′ ′ ′′[ [ ′ ′′ ′ ′′
6 X. Triangles isométriques, triangles semblables A’
B’
B” C’
C”
A
B C
FIGUREX.12 – Triangles semblables et proportionnalité.
donc directement semblables. Par conséquent les droites (B’C’) et (B”C”) sont parallèles. Les triangles A’B’C’ et A’B”C” sont en situation de THALÈS donc d’après le théorème de THALÈS, il existe un nombre réel positifktel que :A′B′
A′B′′=A′C′ A′C′′= B′C′
B′′C′′=k. C’est-à-dire :A′B′ AB =A′C′
AC =B′C′ BC =k.
Théorème réciproque
S’il existe un nombre réel positifktel que :A′B′ AB =A′C′
AC =B′C′
BC =k; alors on a : A′B′ A′B′′=A′C′
A′C′′=k; donc, d’après la réciproque du théorème de THALÈS, les triangles A’B’C’ et A’B”C” sont en situation de THALÈS(donc semblables) et on déduit que :A′B′
A′B′′=A′C′ A′C′′= B′C′
B′′C′′=k.
En faisant le quotient membre à membre avec :A′B′ AB =A′C′
AC =B′C′
BC =k; on obtient : A′B′
A′B′′×AB AB′=A′C′
A′C′′×AC AC′= B′C′
B′′C′′× BC B′C′=k×1
k; C’est-à-dire : AB A′B′′= AC
A′C′′= BC B′′C′′=1.
Donc les triangles ABC et A’B”C” sont isométriques et par suite semblables. Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables à A’B”C”, ils sont donc semblables.ä
Notations et vocabulaireLe nombrekest appelé rapport de similitude qui transforme ABC en A’B’C’.
THÉORÈMEX.3.3
Si ABC et A’B’C’ sont deux triangles semblables et sikest le rapport de similitude qui transforme ABC en A’B’C’, alors : aire¡
A′B′C′¢
=k2aire(ABC).
Démonstration
C
B H A
C’
B’
A’
H’
FIGUREX.13 –Si les longueurs sont multipliées park, alors les aires le sont park2.
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles semblables (voir figureX.13),kest le rapport de similitude qui transforme ABC en A’B’C’, H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC et H’ le pied de la hauteur issue de A’ dans le triangle A’B’C’.
On sait que A′B′=kAB ; A′C′=kAC et CAH[ =CAB[ =C′A′B′[ =C′A′H′[ ; donc, dans les triangles rectangles ACH et A’C’H’, on a :
C′H′=A′C′sinC′A′H′[ =kACsinCAH[ =kCH.
On en déduit que :
aire¡A′B′C′¢
=A′B′×C′H′
2 =kAB×kCH
2 =k2aire(ABC) ä
ÉCOLEEUROPÉENNEBRUXELLESI –- 4e
X.3.4 Cas de similitude de deux triangles
THÉORÈMEX.3.4 (ADMIS)
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit d’établir l’une des propositions suivantes.
(1) Deux angles sont égaux à leur homologue.
bc| bc |
(2) Les longueurs des côté de l’un sont proportion-
nelles à leurs homologues b
b b b bb
(3) L’un des angles est égal à son homologue et les longueurs des côté adjacents à cet angle sont propor-
tionnelles aux longueurs des côtés homologues. b
b|
|
b b
X.3.5 Exercice résolu
Exercice X.3.2. ABCD est un parallélogramme, N un point du segment [DC] distinct de D et C. La droite (AN) coupe (BC) en M.
1. Démontrer que les triangles ADN et MBA sont des triangles semblables.
2. En déduire queDN×MB=BA×AD. Solution
A B
C D
M
N
bc bc
| |
FIGUREX.14 – Exercice X.3.2..
1.Dans les triangles ADN et MBA, les angles homologues AND[ et MAB[ sont égaux car alternes internes ; les angles homologues DAN[ et BMA[ sont égaux car alternes internes. Donc les triangles ADN et MBA sont semblables.
Autre méthode On a (AD)//(MC), donc les triangles ADN et MCN sont en situation de THALÈSet donc semblables.
On a (NC)//(AB), donc les triangles MCN et MBA sont en situation de THALÈSet donc semblables. Donc les triangles ADN et MBA sont semblables.
2.On a donc : AD MB=DN
BA ; d’où l’on tire : DN×MB=BA×AD.
