NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes ! Exercice 1
Ci-dessous on présente une construction du milieu d’un segment donné [AB] avec une règle donnée à deux bords parallèles.
1) Placer la règle de façon que A et B soient sur les deux bords opposés de la règle et tracer les deux droites s’appuyant sur ces deux bords.
2) En changeant l’orientation de la règle, recommencer l’opération précédente : placer la règle de façon que A et B soient sur les deux bords opposés de la règle et tracer les deux droites s’appuyant sur ces deux bords.
3) Tracer alors la droite passant par les points d’intersection non nommés.
Le point d’intersection de cette dernière avec le segment [AB] est le milieu de [AB].
Question 1 : cette construction est-elle exacte ?
Si oui, écrire ci-contre les connaissances (propriétés et théorèmes) essentielles qui garantissent l’exactitude de la
construction.
Si non, présenter ci-contre un dessin fournissant un contre-exemple.
Question 2 :
Si cette construction est exacte, fournit- elle une façon de trouver le milieu d’un segment avec pour seul instrument une règle à deux bords parallèles ?
Exercice 2
Le dessin ci-contre a été construit avec les données suivantes :
• les points A, B, C et D sont cocycliques (sur un même cercle),
• les points A, E, C sont alignés
• les points B, E, D sont alignés
• le triangle EBC est isocèle de sommet E.
En utilisant les seuls points nommés, écrire ci-dessous toutes les paires de triangles isométriques (N.B. : rien n’est à démontrer !)
Exercice 3 La droite d est donnée et A est situé sur d.
Construire la perpendiculaire à d passant par A à la règle non graduée et au compas (sur GeoGebra avec les seules
commandes : cercle de centre donné passant par un point donné et droite passant par deux points). Les traits de construction doivent être apparents, accompagnés
éventuellement d’un codage indiquant telle ou telle propriété.
Exercice 4 Les deux triangles ci-dessous sont-ils, à coup sûr, isométriques ? Justifier la réponse ci-dessous.
NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes ! Exercice 5
Soit un point A situé sur un cercle C de centre O, et T la tangente en A à C.
Un deuxième cercle C’, de centre O’, de même rayon R, est tangent à T en A, et C et C’ sont de part et d’autre de T.
Une droite d passant par A, distincte de T et ne passant pas par O, recoupe le cercle C en M et le cercle C’en P.
Cet exercice propose une façon de prouver que MA = AP.
Question 1 : Dans la colonne gauche ci-dessous se trouve une démonstration de l’affirmation suivante : « les points O, A et O’
sont alignés ». C’est une suite de déductions. Les trois déductions numérotées (1), (2) et (3) doivent être justifiées dans la colonne droite, à l’aide de propriétés, théorèmes, définitions connus de tous.
T tangente à C en A donc (1) T⊥ (OA) ; par un raisonnement analogue, T⊥(O’A).
Par suite (2) (OA)//(O’A),
d’où (3) (OA) = (O’A)
donc O, A et O’ sont alignés.
Question 2 : L’affirmation « MOA = n PO'A » est exacte. Sans présenter de démonstration (le brouillon peut être là pour ça), n écrire les propriétés, théorèmes, définitions essentiels utilisés pour démontrer l’affirmation, en les numérotant suivant leur ordre d’apparition. (N.B. : il n’est pas demander d’écrire une démonstration !)
Question 3 : Démontrer que « les triangles MOA et PO’A sont isométriques », et conclure par rapport à cet exercice.
Eléments pour un corrigé.
Exercice 1
Ci-dessous on présente une construction du milieu d’un segment donné [AB] avec une règle donnée à deux bords parallèles.
4) Placer la règle de façon que A et B soient sur les deux bords opposés de la règle et tracer les deux droites s’appuyant sur ces deux bords.
5) En changeant l’orientation de la règle, recommencer l’opération précédente : placer la règle de façon que A et B soient sur les deux bords opposés de la règle et tracer les deux droites s’appuyant sur ces deux bords.
6) Tracer alors la droite passant par les points d’intersection non nommés.
Le point d’intersection de cette dernière avec le segment [AB] est le milieu de [AB].
Question 1 : cette construction est-elle exacte ?
Si oui, écrire ci-contre les connaissances (propriétés et théorèmes) essentielles qui garantissent l’exactitude de la
construction.
Si non, présenter ci-contre un dessin fournissant un contre-exemple.
Cette construction est exacte.
Définition d’un parallélogramme.
Propriété : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Question 2 :
Si cette construction est exacte, fournit- elle une façon de trouver le milieu d’un segment avec pour seul instrument une règle à deux bords parallèles ?
Non. La construction ci-dessus n’est possible que si AB est supérieur à la largeur de la règle.
Exercice 2
Le dessin ci-contre a été construit avec les données suivantes :
• les points A, B, C et D sont cocycliques (sur un même cercle),
• les points A, E, C sont alignés
• les points B, E, D sont alignés
• le triangle EBC est isocèle de sommet E.
En utilisant les seuls points nommés, écrire ci-dessous toutes les paires de triangles isométriques (N.B. : rien n’est à démontrer !)
Les triangles AEB et DEC, et les triangles ABC et DBC.
Exercice 3 La droite d est donnée et A est situé sur d.
Construire la perpendiculaire à d passant par A à la règle non graduée et au compas (sur GeoGebra avec les seules
commandes : cercle de centre donné passant par un point donné et droite passant par deux points). Les traits de construction doivent être apparents, accompagnés
éventuellement d’un codage indiquant telle ou telle propriété.
Exercice 4 Les deux triangles ci-dessous sont-ils, à coup sûr, isométriques ? Justifier la réponse ci-dessous.
Non, l’égalité des mesures des angles ne suffit pas, et on n’a pas d’information sur les côtés.
Remarque : ce qui paraît, n’est pas nécessairement la réalité.
Exercice 5
Soit un point A situé sur un cercle C de centre O, et T la tangente en A à C.
Eléments pour un corrigé.
Un deuxième cercle C’, de centre O’, de même rayon R, est tangent à T en A, et C et C’ sont de part et d’autre de T.
Une droite d passant par A, distincte de T et ne passant pas par O, recoupe le cercle C en M et le cercle C’en P.
Cet exercice propose une façon de prouver que MA = AP.
Question 1 : Dans la colonne gauche ci-dessous se trouve une démonstration de l’affirmation suivante : « les points O, A et O’
sont alignés ». C’est une suite de déductions. Les trois déductions numérotées (1), (2) et (3) doivent être justifiées dans la colonne droite, à l’aide de propriétés, théorèmes, définitions connus de tous.
T tangente à C en A donc (1) T⊥ (OA) ; par un raisonnement analogue, T⊥(O’A).
Par suite (2) (OA)//(O’A),
d’où (3) (OA) = (O’A)
donc O, A et O’ sont alignés.
(1) Propriété de la tangente à un cercle en un point du cercle.
(2) Théorème : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles.
(3) Théorème : deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
Question 2 : L’affirmation « MOA = n PO'A » est exacte. Sans présenter de démonstration (le brouillon peut être là pour ça), n écrire les propriétés, théorèmes, définitions essentiels utilisés pour démontrer l’affirmation, en les numérotant suivant leur ordre d’apparition. (N.B. : il n’est pas demander d’écrire une démonstration !)
Par exemple :
Définition et propriété des angles opposés par le sommet.
Définition et propriété des triangles isocèles.
Propriétés des angles d’un triangle : la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Question 3 : Démontrer que « les triangles MOA et PO’A sont isométriques », et conclure par rapport à cet exercice.
MOA = n PO'A (q2) et n PAO MAOn=n (angles opposés par le sommet) et OA = O’A
donc (th.1)
MOA et PO’A isométriques donc (P2)
AM = AP
Th.1 : si deux triangles ont un côté de même longueur et compris entre deux angles deux à deux de mêmes mesures, alors ils sont isométriques.
P2 : définition des triangles isométriques.
