Construire un noyau de la fonctorialit´e entre groupes lin´eaires ?

(1)

Construire un noyau de la fonctorialit´e entre groupes lin´eaires ?

par Laurent Lafforgue

Exposé donné à l’Université de Bonn le 9 octobre 2008, dans le cadre du colloque célébrant le 60êanniversaire de Michael Rapoport

Ce que l’on cherche

Dans le cas des groupes linéaires sur les corps de fonctions, le principe de fonctorialité de Langlands pour le transfert des représentations automorphes est déjà connu. C’est en effet une conséquence de la correspondance de Langlands sur les corps de fonctions.

On souhaiterait trouver pour ce résultat une nouvelle démonstration pure- ment adélique, sans géométrie.

Le cadre dans lequel on se place

• Sur les groupes lin´eaires (qui sont les plus importants).

• Sur les corps de fonctions (pour lesquels le résultat est déjà connu).

• Sans ramification (puisque, le principe de fonctorialité posant essentielle- ment un problème global, les éventuelles complications locales sont acces- soires).

• Sans géométrie : on s’astreint à rester toujours à l’intérieur du périmètre de la théorie des adèles et des groupes adéliques.

Le but du pr´esent expos´e

Reformuler le principe de fonctorialité comme un problème de pure théorie des fonctions sur les groupes adéliques, qui ne fasse plus référence à la notion de “représentation automorphe”.

Notations

On note F un corps de fonctions,|F| l’ensemble infini de ses places, Fx le corps local compl´et´e deF en chaque placex∈ |F|,Ox⊂Fxle sous-anneau des

(2)

entiers de chaque compl´etion Fx,A=AF = Q`

x∈|X|

Fx l’anneau des ad`eles de F etO_A=O_A_F = Q

x∈|F|

Ox son sous-anneau des entiers.

Choix de deux groupes linéaires partout non ramifiés sur F On choisit pour groupe d’arrivée du transfert

H = GLr, avec r≥1, et pour groupe de d´epart un groupe de la forme

G=Y

ι

Res_E_ι_/FGLr_ι

oùιdécrit un ensemble fini d’indices, chaquer_ι est un entier≥1, chaqueE_ι est une extension finie partout non ramifiée deF et Res_E_ι_/FGL_r_ιdésigne le groupe déduit de GL_r_ι par restriction des scalaires à la Weil deE_ι àF.

Les isomorphismes de Satake

En toute placexdeF, on noteK_x^H= GLr(Ox) le sous-groupe ouvert compact maximal deH(Fx) = GLr(Fx) etH^H_x =Cc(K_x^H\H(Fx)/K_x^H) l’algèbre de Hecke sphérique des fonctions à support compact surH(Fx) bi-invariantes par K_x^H, définie par le produit de convolution pour la mesure de Haar normalisée.

De mˆeme, on note K_x^G = Q

ι

GLr_ι(OE_ι,x) le sous-groupe ouvert compact maximal deG(Fx) =Q

ι

GLr_ι(Eι⊗FFx) etH^G_x =Cc(K_x^G\G(Fx)/K_x^G) l’algèbre de Hecke sphérique associée.

On dispose des isomorphismes de Satake vers des alg`ebres de polynˆomes invariants

S^H_x :H^H_x −→^∼ C[X₁^0±1, . . . , X_r^0±1]^S^r, S_x^G:H^G_x −→^∼ C[X₁^±1, . . . , X_m^±1_x]^S^G^x

où, pour chaque placex,mxest un entier≥1 etS^G_x un sous-groupe du groupe des permutations de{1, . . . , mx}. L’entiermxet le sous-groupeS^G_x ne dépendent que de l’image de l’élément de Frobenius en x dans le groupe de Galois de n’importe quelle extension finie galoisienne non ramifiéeEdeFcontenant toutes les extensionsE_ι.

(3)

Choix d’un homomorphisme de transfert sans ramification

Siπ1(F) d´esigne le groupe de Galois sans ramification du corps de fonctions F, un homomorphisme de transfert (sans ramification) entre G et H est, par d´efinition, un homomorphisme entre les groupes duaux

ρ:^LG = ˆG(C)oπ₁(F)−→^LH = ˆH(C)×π₁(F)

k k

Q

ι

Q

E_ι,→E

GLr_ι(C) GLr(C) faisant commuter le diagramme :

LG

ρ //

""

FF FF FF

FF ^LH

{{xxxxxxxx

π1(F)

Selon une r`egle introduite par Langlands, un tel homomorphisme de transfert ρinduit en chaque placexun homomorphisme d’alg`ebres commutatives

ρ^∗_x:H^H_x −→ H^G_x

et donc une application en sens inverse entre les ensembles des caract`eres de ces alg`ebres

(ρx)∗:

caract`eresχxdeH^G_x −→

caract`eresπx deH^H_x .

Enonc´´ e du principe de fonctorialit´e

Théorème.–Pour toute représentation automorphe non ramifiée χ= O

x∈|F|

χx de H^G= O

x∈|F|

H^G_x ,

il existe une repr´esentation automorphe non ramifi´ee

π= O

x∈|F|

π_x de H^H = O

x∈|F|

H^H_x

telle que

πx= (ρx)∗χx, ∀x∈ |F|.

(4)

Pour démontrer directement ce principe de fonctorialité, on cherche à construire des familles de fonctions

K_P^G,H,ρ:G(A)×G(A)×H(A)→C

(oùP décrit une famille de paramètres que l’on précisera plus loin) vérifiant les propriétés suivantes :

(0) En les deux premi`eres variables,K_P^G,H,ρest invariante `a droite par le sous- groupe ouvert compact maximalK^G = Q

x∈|F|

K_x^GdeG(A) = `Q

x∈|F|

G(Fx) et, en la troisi`eme variable, elle est invariante `a droite par le sous-groupe ouvert compact maximalK^H = Q

x∈|X|

K_x^H= GLr(O_A) deH(A) = `Q

x∈|F|

H(Fx) = GLr(A).

(1) En toute placex∈ |F|, on a

• K_P^G,H,ρ∗1ϕx=K_P^G,H,ρ∗2ϕ⁻¹_x ,∀ϕx∈ H^G_x, siϕ⁻¹_x (g) =ϕx(g⁻¹),∀g,

• K_P^G,H,ρ∗3hx=K_P^G,H,ρ∗1ρ^∗_x(hx),∀hx∈ H^H_x,

où ∗₁ et ∗₂ désignent le produit de convolution dansG(F_x) par rapport à la première et à la seconde variables deK_P^G,H,ρ(•,•,•) et∗3 désigne le produit de convolution dansH(Fx) par rapport à la troisième variable.

(2) La fonctionK_P^G,H,ρest, en les deux premi`eres variables, invariante `a gauche par

G(F)×G(F).

(3) La fonctionK_P^G,H,ρest, en la troisi`eme variable, invariante `a gauche par H(F).

(4) Pour toute forme automorphe cuspidalef surG(F)\G(A)/K^G, il existe un param`etreP tel que

Z

G(F)\G(A)

dg·f(g)·K_P^G,H,ρ(•, g,•)6= 0.

Explications à propos de ces propriétés

Les propri´et´es (0) et (1) sont locales en chaque placex∈ |F|.

Si elles sont vérifiées, ainsi que (2), et si f est un vecteur non nul d’une représentation automorphe cuspidaleχ= N

x∈|F|

χ_x deH^G, chaque Z

G(F)\G(A)

dg·f(g)·K_P^G,H,ρ(g0, g,•)

(5)

est un vecteur de la repr´esentationπ= N

x∈|X|

(ρx)_∗χx deH^H.

D’après (3), ce vecteur est une forme automorphe et, d’après (4), on peut le rendre non nul, ce qui signifie que la représentationπest automorphe.

On cherche d’abord à réaliser localement les propriétés (0) et (1). Pour cela, on commence par un travail local de décomposition spectrale surH(Fx) ainsi que surG(Fx), puis on fait une construction locale par intégration spectrale sur G(Fx)×H(Fx).

Fixons un caract`ere additif non trivial ψ= Y

x∈|F|

ψx:A/F −→C^×.

Travail local surH(F_x): les fonctions de Whittaker

On noteNr le radical unipotent sup´erieur de GLret θx:Nr(Fx)−→C^× le caract`ere

n=

















1 u1,2 . . . · 0 . .. . .. ...

... . .. . .. u_r−1,r 0 . . . 0 1















 7→ψx



 X

1≤i<r

ui,i+1



=θx(n).

On rappelle la proposition suivante qui d´efinit les fonctions de Whittaker : Proposition. – Pour toute famille λ⁰_• = (λ⁰₁, . . . , λ⁰_r) ∈ U(1)^r de r nombres complexes de module1, il existe une unique fonction

W_x,λ^H,ψ0

•= GLr(Fx)/GLr(Ox)−→C telle que

• W_x,λ^H,ψ0

•(n·g⁰) =θ⁻¹_x (n)·W_x,λ^H,ψ0

•(g⁰),∀n∈Nr(Fx),

• W_x,λ^H,ψ0

•∗h_x=S_x^H(h_x)(λ⁰_•)·W_x,λ^H,ψ0

•,∀h_x∈ H_x^H,

• W_x,λ^H,ψ0

•(1) = 1 siψx est r´egulier

(et autre normalisation siψx est de conducteur 6= 0).

Travail local sur G(F_x) : d´ecomposition spectrale des fonctions sph´eriques

Proposition.–Pour toute famille λ_•= (λ₁, . . . , λ_m_x)∈U(1)^m^x, il existe une unique fonction sph´erique

Φ^G_x,λ_•:K_x^G\G(Fx)/K_x^G−→C telle que

(6)

• Φ^G_x,λ_•∗ϕx=ϕx∗Φ^G_x,λ_•=S_x^G(ϕx)(λ_•)·Φ^G_x,λ_•,∀ϕx∈ H^G_x,

• Φ^G_x,λ

•(1) = 1.

Il existe sur U(1)^m^x une certaine mesure dλ_•, dite mesure de Plancherel, telle que les fonctions sph´eriques Φ∈ H^G_x s’´ecrivent sous la forme

Φ = Z

U(1)^mx

dλ•·S_x^G(Φ)(λ•)·Φ^G_x,λ_•.

Construction locale sur G(Fx)×H(Fx) par int´egration sur le graphe de l’homomorphisme de transfert

On commence par le lemme suivant :

Lemme.–L’homomorphisme d’alg`ebres induit parρen la placexselon la r`egle de Langlands

ρ^∗_x:H^H_x −−−−−−−−−−−−−−−→ H_x^G

ko ko

C[X₁^0±1, . . . , X_r^0±1]^S^r C[X₁^±1, . . . , X_m^±1_x]^S^G^x est d´efini par une substitution de variables de la forme

X_j⁰ 7→εj·



 Y

1≤i≤m_x

X

mi,j dx

i



, 1≤j≤r ,

o`u chaqueεj est une racine de l’unit´e, lesmi,j sont des entiers relatifs etdxest un entier≥1.

Tous ne dépendent que de l’image de l’élément de Frobenius en x dans le groupe de Galois π₁(F)/π₁(E) de n’importe quelle extension finie galoisienne non ramifiée E de F contenant toutes les extensions E_ι (de fa¸con que π₁(E) agisse trivialement sur G(ˆ C)) et telle que π₁(E) soit contenu dans le noyau de la composanteπ1(F)→ Hˆ(C) = GLr(C) de l’homomorphisme de transfert ρ: ˆG(C)oπ1(F)→Hˆ(C)×π1(F).

Si λ_• = (λ1, . . . , λm_x) ∈ U(1)^m^x et λ⁰_• = (λ⁰₁, . . . , λ⁰_r) ∈ U(1)^r sont deux paramètres reliés par les égalités

λ⁰_j =εj·



 Y

1≤i≤mx

λ

mi,j dx

i



, 1≤j ≤r ,

(7)

on noteλ⁰_•= (ρx)_∗(λ_•).

D´efinition.–Pour tout polynˆomePx∈C[X₁^±1, . . . , X_m^±1_x]^S^G^x, on note K_x,P^G,H,ρ

x :K_x^G\G(Fx)/K_x^G×H(Fx)/K_x^H −→C la fonction

(g, g⁰)7→

Z

λ•∈U(1)^mx

dλ_•·P_x(λ_•)·Φ^G_x,λ_•(g)·W_x,(ρ^H,ψ

x)∗(λ•)(g⁰).

Remarque. Les fonctions (g₁, g₂, g⁰) 7→ K_x,P^G,H,ρ

x (g⁻¹₂ g₁, g⁰) vérifient les pro- priétés (0) et (1) en la place x. On les appelle des noyaux locaux de la foncto-

rialit´e sans ramification.

Globalisation

On consid`ere une famille de polynˆomes P =

Px∈C[X₁^±1, . . . , X_m^±1_x]^S^G^x

x∈|F|

soumise `a la seule condition que Px= 1 en presque toute place.

Pourg1, g2∈G(A) et g⁰ ∈H(A), on note K_P^0G,H,ρ(g1, g2, g⁰) = X

γ∈G(F) δ∈Nr−1 (F)\GLr−1 (F)

Y

x∈|F|

K_x,P^G,H,ρ

x (g⁻¹₂ γg1, δg⁰). D’après la théorie générale des “théorèmes réciproques” de Piatetski-Shapiro et autres, cette somme est absolument convergente. Elle est invariante à gauche par

G(F)×G(F)×Qr(F) o`u

Qr=

















∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ · 0 . . . 0 ∗

















désigne le sous-groupe “mirabolique” engendré par GLr−1 ,→ GLr et le sous- groupe de BorelBr des matrices triangulaires supérieures.

Par construction, les fonctionsK_P^0G,H,ρsatisfont les conditions (0), (1) et (2).

(8)

Reformulation du théorème de transfert automorphe associé à l’ho- momorphismeρ

Proposition. – La validité de ce théorème équivaut à l’existence, pour tout paramètreP = (Px)_x∈|F|, d’une fonction

K_P^00G,H,ρ:G(A)×G(A)×H(A)→C telle que :

(i) Tout comme K_P^0G,H,ρ, elle vérifie les propriétés (0), (1) et (2) et, en la troisième variable, elle est invariante à gauche par Q_r(F).

(ii) Si θ d´esigne le caract`ere Q

x∈|F|

θ_x de N_r(A) = Q`

x∈|F|

N_r(F_x), la fonction K_P^00G,H,ρ est annul´ee par l’op´erateur

K(•,•,•)7→

Z

N_r(F)\Nr(A)

dn·θ(n)·K(•,•, n•).

(iii)La somme

K_P^0G,H,ρ+K_P^00G,H,ρ

est, en la troisi`eme variable, invariante `a gauche parH(F) = GLr(F).

Remarques.

•La propriété (ii) ci-dessus empêche toute simplification entreK_P^0G,H,ρetK_P^00G,H,ρ. Cela assure la propriété (4) pour la famille desK_P^G,H,ρ=K_P^0G,H,ρ+K_P^00G,H,ρ.

•La partie deK_P^00G,H,ρqui correspond au spectre tempéré deGest uniquement déterminée.

Elle est nécessairement non nulle puisque certaines représentations automorphes cuspidales deGse transfèrent en des représentations automorphes de H qui ne sont pas cuspidales.

•On peut proposer une formule explicite pour la partie tempérée deK_P^00G,H,ρ, en généralisant la formule d’inversion de Shalika.

• Notant wr =







0 . . . 0 1 ... . .. . .. 0 . ..

0 . ..

. .. ... 1 0 . . . 0







la matrice d’inversion de GLr et wr−1

celle de GL_r−1, on peut remplacer la condition (iii) de la proposition par la condition suivante qui lui est ´equivalente :

(9)

(iii)⁰ Pour tous élémentsg1, g2∈G(A) etg⁰∈H(A), on a l’égalité

(g1, g2, g⁰) =

(g1, g2, wr·w_r−1·g⁰). Dans le cas de l’induction automorphe de GL₁à GL₂, on parvient à démontrer directement l’existence d’une fonctionK_P^00G,H,ρ(nécessairement unique) qui véri- fie les propriétés (i), (ii) et (iii)⁰.

Pour cela, on montre que, en chaque placex, une certaine transformation de Fourier surG(F_x)×H(F_x) ´echange lesK_x,P^G,H,ρ

x (•,•) et lesK_x,P^G,H,ρ

x (•, w2•).

Le résultat cherché s’obtient comme conséquence d’une formule de Poisson dont les termes complémentaires au bord font apparaˆıtre les fonctionsK_P^00G,H,ρ.