Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e Laurent Lafforgue

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent Lafforgue

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette

Expos´e II (9 et 16 mai 2006) : Travail sur les noyaux 1. Expression locale concr`ete du transfert

2. Disparition des s´eries d’Eisenstein 3. La formule d’inversion de Shalika 4. Comment retrouver les traces cuspidales

Expos´e II :

Travail sur les noyaux

A partir de cet expos´e, nous abandonnons la formule des traces d’Arthur-Selberg et travaillons directement sur les noyaux des op´erateurs de Hecke. Nous montrons ici comment faire disparaˆıtre les s´eries d’Eisenstein, puis le spectre discret non cuspidal.

1 Expression locale concr` ete du transfert

Gardons notre homomorphisme

LG ^ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

W_F ainsi que les sous-groupes ouverts K = Q

x∈|X|

Kx de K₀^G et K⁰ = Q

x∈|X|

K_x⁰ de K₀^H, et que la partie finie S0⊂ |X|en dehors de laquelleG, H, K etK⁰ sont non ramifi´es.

Nous avons d’abord besoin de pr´eciser la forme des homomorphismes induits parρentre les alg`ebres de Hecke sph´eriques locales.

On rappelle que nos deux groupes lin´eairesGetH sont de la forme G= Y

i∈IG

Res_Ei/FGLr_i,

H= Y

i⁰∈IH

Res_Ei0/FGLr_i0.

Lemme II.1.–En une placex∈ |X| −S₀, consid´erons les d´ecompositions en produits de corps locaux Ei,x= Y

j∈I_i,x

Fx,i,j,

Ei⁰,x = Y

j⁰∈I_i0,x

Fx,i⁰,j⁰,

et les isomorphismes de Satake induits

S_x^G :H_x,φ^G −→^∼ O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1

i]^Sri,

S_x^H:H^H_x,φ−→^∼ O

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

C[X_i^0±10,j⁰,1;. . .;X_i^0±10,j⁰,r_i0]^Sri0 .

(i)Alors l’homomorphisme d’alg`ebres induit parρ

ρ^∗_x:H_x,φ^H → H_x,φ^G

peut s’´ecrire en substituant `a chaque variable X_i⁰0,j⁰,k⁰ un monˆome de la forme

ε_i⁰_,j⁰_,k⁰· Y

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k≤ri

X

mi0,j0,k0(i,j,k) dx

i,j,k

o`u

• dx est le ppcm des degr´es surFxdesFx,i,j et desFx,i⁰,j⁰,

• lesmi⁰,j⁰,k⁰(i, j, k)sont dans Z, et(εi⁰,j⁰,k⁰)^dx = 1.

(ii) Il n’y a qu’un nombre fini de possibilit´es pour les multiplicit´es mi⁰,j⁰,k⁰(i, j, k) et les racines de l’unit´e εi⁰,j⁰,k⁰ quand on fait varier x∈ |X| −S0.

(iii) Quitte `a renum´eroter les indices j ∈Ii,x, k ∈ {1, . . . , ri} et j<sup>0</sup> ∈ Ii<sup>0</sup>,x, k<sup>0</sup> ∈ {1, . . . , ri<sup>0</sup>}, en toutes les placesx, on peut mˆeme supposer qu’elles ne d´ependent que de l’image deFrob<sub>x</sub>dans n’importe quel quotient fini du groupeW<sub>F</sub> `a travers lequel se factorise son action sur les ensembles{ι:E_i,→F}¯ et{ι⁰:E_i⁰ ,→F¯}.

D´emonstration.Consid´erons la restriction au-dessus de l’´el´ement unit´e deW_F de l’homomorphismeρ. Elle s’´ecrit :

Gˆ −−−−−−−−−−−→ Hˆ

k k

Q

i∈IG ι:Ei,→F¯

GLr_i(C) Q

i0 ∈IH ι0:Ei0,→F¯

GLr_i0(C)

Elle induit une application entre ensembles de classes de conjugaison semi-simples qui se rel`eve en un homomorphisme entre tores complexes maximaux

Y

i∈IG ι:Ei,→F¯

(C^×)^ri−→ Y

i0 ∈IH ι0:Ei0,→F¯

(C^×)^ri0

qui est n´ecessairement d´efini en substituant aux variables d’arriv´ees des monˆomes `a multiplicit´es enti`eres en les variables de d´epart.

Pla¸cons-nous maintenant en une placex∈ |X| −S0.

Sig est un ´el´ement de la fibre ˆG_xde^LGau-dessus de Frob_x=τ et g⁰ son image dans ˆH_x, alors g·(τ⁻¹g τ)·(τ⁻²g τ²). . .(τ^−dx+1g τ^dx−1) =g₀

est un ´el´ement de ˆG, et

g⁰·(τ⁻¹g⁰τ)·(τ⁻²g⁰τ²). . .(τ^−dx+1g⁰τ^dx+1) =g⁰₀ est son image dans ˆH.

De plus, si lesX_i,j,k,i∈I_G,j∈I_i,x, 1≤k≤r_i sont les invariants deg, les valeurs propres deg₀sont les X

dx [Fx,i,j:Fx]

i,j,k .

De mˆeme, si les X_i⁰0,j⁰,k⁰, i⁰ ∈IH,j⁰ ∈Ii⁰,x, 1≤k⁰ ≤r_i⁰, sont les invariants deg⁰, les valeurs propres de g0sont les

X

0_[F ^dx

x,i0,j0:Fx]

i⁰,j⁰,k⁰ . On en d´eduit facilement (i) et (ii).

(iii) r´esulte de ce que les homomorphismes d´eduits deρvia les isomorphismes de Satake O

i0 ∈IH j0 ∈I

i0,x

C[X_i^0±10,j⁰,1;. . .;X_i^0±10,j⁰,r_i0]^{Sri0 ρ}

∗

−→x O

i∈IG j∈Ii,x

C[Xi,j,1;. . .;Xi,j,r_i]^Sri

ne d´ependent que de l’action de Frob_xsur les ensembles finis{ι:E_i,→F¯}et {ι⁰ :E_i⁰ ,→F¯}.

Nous pouvons maintenant renforcer le Lemme I.11 en :

Lemme II.2.–On peut trouver une partie finie S⊂ |X| −S0 telle que pour toute paire de repr´esentations des spectres automorphes

π∈Πaut,K(G(A)/AG) π⁰ ∈Πaut,K⁰(H(A)/AH) v´erifiant

π⁰_x= (ρ_x)_∗(π_x), ∀x∈S , on ait n´ecessairement

π⁰_x= (ρ_x)_∗(π_x), ∀x∈ |X| −S₀, et donc

π⁰=ρ_∗(π).

D´emonstration.D’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands, il existe un ensemble fini {π⁰} de repr´esentations π⁰ ∈ Πaut,K(G(A)/AG) tel que, pour toute repr´esentation π∈ Πaut,K(G(A)/AG), on peut trouver

• une repr´esentationπ⁰∈ {π⁰},

• une partition{1, . . . , ri}=`

Ii,`de chaque ensemble {1, . . . , ri},i∈IG,

• des nombres complexesλ<sub>i,`</sub> de module 1, index´es par lesi∈I<sub>G</sub> et les`ci-dessus, v´erifiant la propri´et´e suivante :

Pour toute placex∈ |X| −S₀, et si on a les d´ecompositions E_i,x= Y

j∈Ii,x

F_x,i,j,

les valeurs propres de Hecke deπet deπ⁰ sont reli´ees par la formule zi,j,k(π) =zi,j,k(π0)·λ^deg(x)·[F<sub>i,`</sub> <sup>x,i,j:Fx]</sup> pouri∈IG,j∈Ii,xet k∈Ii,`⊆ {1, . . . , ri}.

On dira alors queπest dans la classe de π⁰.

De mˆeme, on peut trouver dans Πaut,K⁰(H(A)/AH) un sous-ensemble fini{π⁰⁰}tel que toute repr´esentation π⁰∈Πaut,K⁰(H(A)/AH) soit dans la classe d’au moins uneπ⁰⁰∈ {π⁰⁰}.

Si maintenantπ⁰et π⁰⁰ sont des ´el´ements des deux ensembles finis{π⁰} et{π⁰⁰} et si on fait d´ecrire `aπ etπ⁰ les classes deπ⁰ et π⁰⁰, il r´esulte du Lemme II.1 que la famille infinie d’´equations

π⁰_x= (ρx)_∗(πx), ∀x∈ |X| −S0, peut se r´esumer `a un nombre fini d’entre elles.

D’o`u le r´esultat voulu.

2 Disparition des s´ eries d’Eisenstein

Nous allons maintenant reprendre le proc´ed´e de diagonalisation introduit dans l’expos´e pr´ec´edent, mais en l’appliquant aux noyaux plutˆot qu’aux traces d’une paire d’op´erateurs de Hecke.

Consid´erons donc deux fonctions de Heckeh∈ H^G_K/A_G et h⁰∈ H^H_K0/A_H. Le noyau de l’action dehsurL²(G(F)\G(A)/A_G) s’´ecrit

K_h(g₁, g₂) = X

γ∈G(F)

h(g₂⁻¹γ g₁) et il se d´ecompose en une somme finie

X

(P,π)

K_h^(P,π)(g₁, g₂)

o`u (P, π) d´ecrit un ensemble de repr´esentants des classes d’´equivalence de paires discr`etes telles que le sous-espaceπ^K des vecteurs invariants par Ksoit non nul.

On a une d´ecomposition analogue pour le noyau K_h⁰(g⁰₁, g₂⁰) = X

γ⁰∈H(F)

h⁰(g₂⁰⁻¹γ⁰g⁰₁)

de l’action deh⁰ surL²(H(F)\H(A)/AH).

L’homomorphisme de transfert

LG −→^{ρ L}H induit un homomorphisme entre les composantes neutres

Y

i∈IG ι:Ei,→F¯

GLr_i(C) = ˆG→H ,ˆ

et d’autre part, on dispose de la composante neutre de l’ab´elianis´e de^LG (^LG)^ab₀ = Y

i∈IG

C^×. On dira que ρest essentiellement injectif lorsque le noyau de

Gˆ→Hˆ ×(^LG)^ab₀ est fini.

Cela implique en particulier|B_H| − |I_H| ≥ |B_G| − |I_G|.

Rappelons alors les s´eries formelles de diagonalisation introduites dans le Lemme I.12 et demandons-leur une propri´et´e suppl´ementaire :

Lemme II.3.–Supposons que l’homomorphisme de transfert^LG−→^{ρ L}H est essentiellement injectif. Alors, pour tout x ∈ S, on peut trouver une fraction rationnelle ∆^G,H_x (•,•, Z) en la variable Z et `a coefficients dans le produit tensoriel





 O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1 _i]^Sri





⊗







 O

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

C[X_i^±10,j⁰,1;. . .;X_i^±10,j⁰,r_i0]^Sri0









telle que :

• son d´enominateur soit un produit de termes de la forme

1−Z·















εi⁰,j⁰,k⁰· Q

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k≤ri

X

mi0,j0,k0(i,j,k) dx

i,j,k

X_i⁰0,j⁰,k⁰















±1

avec les notations du Lemme II.1,

• pour toute sp´ecialisation des valeurs propres de Hecke z∈ Y

i∈IG j∈Ii,x

(C^×)^(ri), z⁰ ∈ Y

i0 ∈IH j0 ∈I

i0,x

(C^×)^(ri0),

la fraction rationnelle

∆^G,H_x (z, z⁰, Z) soit bien d´efinie au point Z= 1 et v´erifie

lim

Z7→1∆^G,H_x (z, z⁰, Z) =

1 siz⁰ = (ρ_x)_∗(z), 0 siz⁰ 6= (ρ_x)_∗(z),

• pour tout z∈ Q

i∈IG j∈Ii,x

(C^×)^(ri) fix´e, et tout entierm,0≤m≤ |B_H|, l’ensemble desz⁰∈ Q

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

(C^×)^(ri0) tels que la fraction rationnelle∆^G,H_x (z, z⁰, Z)s’annule enZ = 1`a un ordre ≤m est une partie semi- alg´ebrique de dimension ≤m,

• pour tout z⁰ ∈ Q

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

(C^×)^(ri0), tout z0 ∈ Q

i∈I_GC^× = (^LG)^ab₀ , et tout entier m,0 ≤ m≤ |BG| − |IG|, l’ensemble des z ∈ Q

i∈IG j∈Ii,x

(C^×)^(ri) tels que det(z) = z0 et que la fraction rationnelle ∆^G,H_x (z, z⁰, Z) s’annule en Z= 1 `a un ordre≤mest une partie semi-alg´ebrique de dimension ≤m.

Remarque. Ici encore, toute solution `a ce probl`eme en engendre beaucoup d’autres, puisque toutes ses puissances en sont.

D´emonstration du lemme. Comme l’homomorphisme de transfert ρ : ^LG → ^LH est essentiellement injectif par hypoth`ese, le morphisme

Y

i∈IG j∈Ii,x

(C^×)^(ri)→ Y

i∈IG

C^×

!

×







 Y

i0 ∈IH j0 ∈I

i0,x

(C^×)^(ri0)









est fini. D’apr`es cette remarque et le Lemme II.1, il suffit de traiter le cas o`u G=H.

On peut traiter s´epar´ement les facteurs de Get supposer donc que G= GLr. Dans ce cas, consid´erons comme dans la d´emonstration du Lemme I.12 la fraction rationnelle

∆^G,G_x (X_•^±1, X_•^0±1, Z) = Y

1≤i,j≤r

1−Z· X_i Xj

· Y

1≤i,j≤r

1−Z· X_i⁰ X_j⁰

!

Y

1≤i,j≤r

1−Z· Xi

X_j⁰

!

·

1−Z· X_i⁰ X_j

.

Siz = (zi)_1≤i≤ret z⁰ = (z_i⁰)_1≤i≤rsont deux ´el´ements de (C^×)^(r), l’ordre d’annulation de ∆^G,G_x (z, z⁰, Z) au pointZ= 1 est ´egal `a

X

α∈C^×

(#{1≤i≤r|z_i=α} −#{1≤i≤r|z_i⁰=α})².

On en d´eduit facilement que cette fraction rationnelle v´erifie toutes les propri´et´es demand´ees dans l’´enonc´e

du lemme.

Le produit tensoriel

∆^G,H_S (Z) =O

x∈S

∆^G,H_x (•,•, Z), compl´et´e par l’´el´ement unit´e deH^G_x,K

x⊗ H^H_x,K0

x en toute placex /∈S, peut ˆetre vu comme un ´el´ement central de

(H^G_K⊗ H^H_K0)JZK. De mˆeme, lorsqueH =G,

∆^G,G_S (Z) =O

x∈S

∆^G,G_x (•,•, Z) peut ˆetre vu comme un ´el´ement central de

(H^G_K⊗ H^G_K)JZK.

Pour tous ´el´ementsg₁, g₂∈G(A) etg₁⁰, g⁰₂∈H(A), la forme bilin´eaire (h, h⁰)7→K_h^G(g₁, g₂)·K_h^H0(g⁰₁, g₂⁰) d´efinit une forme lin´eaire surH^G_K⊗ H^H_K0, si bien que l’expression

(K_•^G(g1, g2)×K_•^H(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) d´efinit une s´erie formelle, ´el´ement de

CJZK. Nous allons prouver :

Th´eor`eme II.4.– Supposons que l’homomorphisme de transfert

LG

ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

WF

est essentiellement injectif.

Alors, pour tous ´el´ements g1, g2 ∈ G(A) et g₁⁰, g₂⁰ ∈ H(A), et toutes fonctions de Hecke h ∈ H^G_K/AG, h⁰ ∈ H^H_K0/AH, on a :

(i)La s´erie formelle

(K_•^G(g₁, g₂)×K_•^H(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) est une fraction rationnelle, bien d´efinie enZ = 1. Elle y vaut

K_h^G(g₁, g₂)∗_ρK_h^H0(g⁰₁, g₂⁰) = X

π∈Π_disc(G/AG) π⁰∈Πdisc(H/AH) π⁰=ρ_∗(π)

K_h^G,π(g₁, g₂)·K_h^H,π0 ⁰(g₁⁰, g⁰₂).

(ii)Pour toutes paires discr`etes (P, π)et(P⁰, π⁰), la s´erie formelle

(K_•^(P,π)(g₁, g₂)×K_•^(P0,π0)(g₁⁰, g⁰₂))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z))

est une fraction rationnelle. Elle est bien d´efinie enZ = 1, et son ordre d’annulationy est au moins ´egal `a max{|P| − |IG|, |P⁰| − |IG⁰|}.

D´emonstration.On a, d’apr`es le Corollaire I.2, K_h^G(g1, g2) = X

(P,π)

K_h^(P,π)(g1, g2)

o`u pour toute paire discr`ete (P, π) dans notre ensemble fini de repr´esentants de leurs classes, le noyau K_h^(P,π)(g1, g2) s’´ecrit

K_h^(P,π)(g1, g2) = 1

|Fixe(π)|· X

ϕ∈BK(P,π)

Z

Im ΛP

dλP·E_P^G(h(ϕ, λP), λP)(g1)·E_P^G(ϕ, λP)(g2). Et de mˆeme, on a

K_h^H0(g⁰₁, g₂⁰) = X

(P⁰,π⁰)

K_h^(P0^0,π0)(g⁰₁, g₂⁰) avec, pour toute paire discr`ete (P⁰, π⁰) dans notre ensemble de repr´esentants,

K_h^(P0^0,π0)(g⁰₁, g₂⁰) = 1

|Fixe(π⁰)|· X

ϕ⁰∈B_K0(P⁰,π⁰)

Z

Im Λ_P0

dλ_P⁰ ·E_P^H0(h⁰(ϕ⁰, λ_P⁰), λ_P⁰)(g⁰₁)·E_P^H0(ϕ⁰, λ_P⁰)(g₂⁰).

Par cons´equent, la s´erie formelle

(K_•^G(g1, g2)×K_•^H(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) s’´ecrit comme une somme sur les (P, π) et les (P⁰, π⁰) des s´eries formelles

(K_•^(P,π)(g1, g2)×K_•^(P0,π0)(g₁⁰, g⁰₂))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z))

= 1

|Fixe(π)| · 1

|Fixe(π⁰)| · X

ϕ∈BK(P,π) ϕ0 ∈BK0(P0,π0)

Z

Im ΛP

dλP· Z

Im Λ_P0

dλP⁰·∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z)

E_P^G(h(ϕ, λP), λP)(g1)·E_P^G(ϕ, λP)(g2)·E_P^H0(h⁰(ϕ⁰, λP⁰), λP⁰)(g⁰₁)·E_P^H0(ϕ⁰, λP⁰)(g⁰₂), o`u

∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z) = Y

x∈S

∆^π,π_x ⁰(λP, λP⁰, Z)

et chaque ∆^π,π_x ⁰(λP, λP⁰, Z) se d´eduit de ∆^G,H_x (•,•, Z) en substituant aux variablesXi,j,k, i∈IG,j ∈Ii,x, 1 ≤ k ≤ ri, et aux variables X_i⁰0,j⁰,k⁰, i⁰ ∈ IH, j⁰ ∈ Ii⁰,x, 1 ≤ k⁰ ≤ ri⁰, les valeurs propres de Hecke des repr´esentations non ramifi´ees (π⊗λP)x et (π⁰⊗λP⁰)x.

Pour (g1, g2) et (g⁰₁, g₂⁰) fix´es, les produits

E_P^G(h(ϕ, λP), λP)(g1)·E_P^G(ϕ,¯λ⁻¹_P )(g2) =R(λP), E_P^H0(h⁰(ϕ⁰, λP⁰), λP⁰)(g₁⁰)·E_P^H0(ϕ⁰,λ¯⁻¹_P0)(g⁰₂) =R⁰(λP⁰)

sont des fractions rationnelles enλP etλP⁰ qui n’ont pas de d´enominateur sur Im ΛP et Im ΛP⁰. Alors l’int´egrale (qui converge pourZ ∈Cd`es que|Z|est assez petit)

Z

Im Λ_P

dλP · Z

Im Λ_P0

dλP⁰·∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z)·R(λP)·R⁰(λP⁰)

d´efinit une fraction rationnelle enZ, comme on voit en d´epla¸cant les contours d’int´egration Im ΛP et Im ΛP⁰

jusqu’`a l’infini dans une certaine direction.

V´erifions maintenant que cette fraction rationnelle est bien d´efinie enZ = 1, et que son ordre d’annulation y est au moins ´egal `a

max{|P| − |IG|, |P⁰| − |IH|}.

Le d´enominateur de la fraction rationnelle ∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z) est un produit de facteurs de la forme

1−Z·















ε_i⁰_,j⁰_,k⁰· Q

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k≤ri

z_i,j,k(π⊗λ_P)

mi0,j0,k0(i,j,k)

x dx

zi⁰,j⁰,k⁰(π⁰⊗λP⁰)x















±1

.

En proc´edant au changement de variableλP 7→λ

Q

x∈S

dx

!

P , on obtient qu’ils sont tous de la forme 1−Z·α·χ(λP)·χ⁰(λP⁰)

o`uα∈C<sup>×</sup> et χ, χ<sup>0</sup> sont deux caract`eres de ΛP et ΛP⁰. Notre fonction rationnelle enZ est ´egale `a

Z

ImΛ_P

dλP · Z

ImΛ_P0

dλP⁰·∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z)·R(λP)·R⁰(λP⁰) d`es que|Z|est assez petit.

Dans un premier temps, d´epla¸consZ vers 1 pour obtenir une formule valable dans un ouvert U deC^× qui contient 1 dans son adh´erence. Ceci fait apparaˆıtre des r´esidus calcul´es le long d’hyperplans d´efinis par des ´equations de la forme

1−Z·α·χ(λP)·χ⁰(λP⁰) = 0 avec|α|>1.

Puis, dans un deuxi`eme temps, d´epla¸cons les contours d’int´egration subsistants dans Im Λ_P et Im Λ_P⁰ pour obtenir une formule valable dans un ouvert V deC^× qui contient 1. Cela fait apparaˆıtre des r´esidus calcul´es le long d’hyperplans d´efinis par des ´equations de la forme

1−Z·α·χ(λP)·χ⁰(λP⁰) = 0 avec|α|= 1.

En d´efinitive, notre fraction rationnelle enZ s’´ecrit au voisinage de 1 comme une somme de termes de la forme

Z

λ=(λP ,λP0)∈ΛZ Re(λ)=λ0

dλ·∆(λ, Z)·R(λP)·R⁰(λP⁰) o`u :

• ΛZ ⊂ΛP ×ΛP⁰ est d´efini pard´equations de la forme

1−Z·α·χ(λP)·χ⁰(λP⁰) = 0 avec |α| ≥1, (si bien que Λ_Z est de codimensionddans Λ_P×Λ_P⁰)

• ∆(λ, Z) est d´eduit de ∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z) par calcul des r´esidus successifs le long de ces hypersurfaces,

• λ0est un point “g´en´erique” de ΛZ, ce qui signifie qu’on peut le choisir en dehors de tout ferm´e fix´e `a l’avance.

Comme ΛZ est de dimension (|P| − |IG|) + (|P⁰| − |IH|)−d et que λ0 est “g´en´erique”, les fractions rationnelles ∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z) ont, pour toutλ= (λP, λP⁰)∈Λ tel que Reλ=λ0, un ordre d’annulation en Z= 1 au moins ´egal `a

max{(|P| − |IG|)−d , (|P⁰| − |IH|)−d,0}.

De plus, en passant de ∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z) `a ∆(λ, Z), on a ´elimin´e du d´enominateur un nombre de facteurs s’annulant sur ∆<sub>Z</sub> au moins ´egal `ad.

Donc ces r´esidus sont bien d´efinis en Z = 1 et s’y annulent `a un ordre au moins ´egal `a max{|P| −

|I_G|, |P⁰| − |I_H|}.

On voit que la seule partie des noyaux deGet H qui donne une contribution non nulle `a l’´evaluation en Z= 1 de la fraction rationnelle

(K_•^G(g₁, g₂)×K_•^H(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) est celle qui correspond aux spectres discrets

π∈Πdisc(G/AG), π⁰∈Πdisc(H/AH). Mais pour deux telles repr´esentations des spectres discrets, on a

(K_•^G,π(g1, g2)×K_•^H,π0(g₁⁰, g⁰₂))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) =K_h^G,π(g1, g2)·K_h^H,π0 ⁰(g⁰₁, g₂⁰)·Y

x∈S

∆^G,H_x (z(πx), z(π_x⁰), Z).

D’o`u on d´eduit la conclusion du th´eor`eme.

Dans la situation du th´eor`eme, on voit que notre expression limite ((g1, g2),((g⁰₁, g₂⁰))7→K_h^G(g1, g2)∗ρK_h^H0(g⁰₁, g₂⁰), vue comme fonction sur

[G(F)\G(A)/AG]²×[H(F)\H(A)/AH]², donne une fonction int´egrable quand on la restreint au produit des diagonales

G(F)\G(A)/AG×H(F)\H(A)/AH. Et on a

Z

G(F)\G(A)/AG

dg· Z

H(F)\H(A)/AH

dg⁰·K_h^G(g, g)∗ρK_h^H0(g⁰, g⁰) = X

π∈Πdisc(G/AG) π⁰∈Πdisc(H/AH) π⁰=ρ_∗(π)

Trπ(h)·Trπ⁰(h⁰).

En particulier, quandH =G, on a Z

[G(F)\G(A)/AG]²

dg·dg1·K_h^G(g, g)∗K_h^G₁(g1, g1) = X

π∈Πdisc(G/A_G)

Trπ(h)·Trπ(h1).

Bien sˆur, on ne peut avoir une ´egalit´e entre ces deux expressions quand h1 = ρ^∗(h⁰), car certaines repr´esentations du spectre discret deGne se transf`erent pas dans le spectre discret deH.

En revanche, on peut esp´erer pouvoir comparer les deux formules dans les cas o`u il est possible d’identifier celles des repr´esentationsπ∈Πdisc(G/AG) qui ont un transfert dans Πdisc(H/AH).

Examinons l’exemple de l’induction automorphe de GL₁ `a GL₂ via une extension quadratique E deF, avec donc

G= Res_E/FGL₁, H = GL₂.

Ici, Πdisc(G/AG) est l’ensemble des caract`eres automorphesχ:E<sup>×</sup>\A<sup>×</sup>E/AG→C. Un tel caract`ere admet un transfert dans Πdisc(H/AH) si et seulement si il ne provient pas d’un caract`ere deA^×F via l’homomorphisme de norme

Nm :A^×E →A^×F.

Donc l’existence de l’induction automorphe deG`aH ´equivaut `a ce que, pour toutes fonctionsh∈ H^G/AG

eth⁰∈ H^H/AH, on ait l’´egalit´e Z

E^×\A^×E/AG

dg· Z

GL2(F)\GL2(AF)/AH

dg⁰·K_h^G(g, g)∗ρK_h^H0(g⁰, g⁰)

=

"

vol (E^×\A^×E/A_G)· X

δ∈E^×

(h∗ρ^∗h⁰)(δ)

#

−



vol (F^×\A^×F/A²_G)· X

γ∈F^×

(Nm_∗h∗Nm_∗ρ^∗h⁰)(γ)





o`u on rappelle que pour tousg∈G(A) =A^×E etg⁰∈H(A) = GL2(AF), K_h^G(g, g)∗ρK_h^H0(g⁰, g⁰) est par d´efinition la valeur enZ= 1 de la fraction rationnelle

X

δ∈E× γ∈GL2(F)

[(h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)](δ, g⁰⁻¹·γ·g⁰).

3 La formule d’inversion de Shalika

Nous voudrions faire disparaˆıtre dans nos formules les repr´esentations des spectres discrets non cuspidaux.

Pour cela, nous allons utiliser des op´erateurs qui annulent les fonctions qui appartiennent `a ces repr´esentations mais pr´eservent les fonctions cuspidales.

Nous consid´erons toujours les groupes lin´eairesGde la forme G= Y

i∈IG

Res_Ei/FGLr_i.

Pour tout entierr≥1, on dispose dans GL_r du sous-groupe de Borel standardB_rdes matrices triangu- laires sup´erieures, et de son radical unipotentN_r.

Par cons´equent, on dispose dansGdu sous-groupe de Borel standard BG = Y

i∈IG

Res_Ei/FBr_i, et de son radical unipotent

NB = Y

i∈IG

ResE_i/FNr_i.

Nous voulons d´efinir un caract`ere

ψB :NB(A)→C^×

qui soit trivial sur NB(F), et “r´egulier” au sens que son stabilisateur dans MB(A) = TG(A) soit ´egal `a ZG(A).

Pour cela, choisissons une forme diff´erentielle rationnelleωX non nulle sur la courbe X, et un caract`ere non trivial

ψ:Fq→C^×.

Pour toute extension finie s´epar´ee E de F et tout entier r ≥ 1, cela permet de d´efinir sur Nr(AE) le caract`ere

ψr:Nr(AE)→C^×

n=













1 u_1,2 . . . u_1,r 0 . .. . .. ... ... . .. . .. u_r−1,r 0 . . . 0 1













7→ψ_r(n)

o`u

ψ_r(n) =ψ



Res



Tr_E/F



 X

1≤k<r

u_k,k+1



·ω_X







.

Ce caract`ere est r´egulier, et trivial surN_r(E) comme il r´esulte de la formule des r´esidus.

Alors on d´efinitψB comme le caract`ere produit ψB = Y

i∈IG

ψr_i.

Mettons surN_B(A) la mesure de Haardnqui attribue le volume 1 au quotient compactN_B(F)\N_B(A).

On peut introduire l’op´erateur lin´eaireW qui associe `a toute fonction localement constante ϕ:G(F)\G(A)→C

la fonction

W ϕ : Z_G(F)·N_B(F)\G(A)→C g7→W ϕ(g) =

Z

N_B(F)\N_B(A)

dn·ψ_B(n)·ϕ(ng).

Pour tout entierr≥1, consid´erons encore les sous-groupes suivants de GLr

GL⁻_r = GL_r−1× {1} =





















∗ . . . ∗ 0 ... ... ...

∗ . . . ∗ 0 0 . . . 0 1



















 ,

N_r⁻=N_r−1× {1} =



































1 ∗ . . . ∗ 0 0 . .. . .. ... ... ... . .. . .. ∗ ... 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 1

































 ,

Qr−1,1 =





















∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 ∗



















 ,

puis les sous-groupes correspondants deG

G⁻ = Y

i∈IG

Res_Ei/FGL⁻_ri, N_B⁻ = Y

i∈IG

Res_Ei/FN_r⁻

i,

Q = Y

i∈I_G

Res_Ei/FQr_i−1,1, avec donc

N_B⁻=G⁻∩N_B et

Q=ZG·G⁻·NB.

On peut encore introduire l’op´erateur lin´eaire Λ qui associe `a toute fonction localement constante ϕ:G(F)\G(A)→C

la fonction

Λϕ:Q(F)\G(A)→C d´efinie par

Λϕ(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W ϕ(γ·g).

On peut noter que l’op´erateurW d´epend du choix du caract`ere r´egulierψB, mais que l’op´erateur Λ n’en d´epend pas.

On a le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme II.5.– (i)Pour toute fonction invariante `a droite par un sous-groupe ouvert deK₀^G ϕ:G(F)\G(A)→C

qui est cuspidale, on a

Λϕ=ϕ .

(ii)Pour toute paire discr`ete (P, π) telle que l’un des facteurs de π au moins ne soit pas cuspidal, et pour toute fonction

ϕ∈L²_∞(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π), on a pour toutλ_P ∈Λ_P

W E(ϕ, λ_P) = 0 et a fortiori

ΛE(ϕ, λ_P) = 0.

Indications.(i) est la formule d’inversion de Shalika. C’est le th´eor`eme 5.9 de l’article [1].

(ii) On sait que les fonctions g 7→ E_P^G(ϕ, λ_P)(g) s’obtiennent comme des r´esidus des s´eries d’Eisenstein form´ees `a partir de paires discr`etes cuspidales.

Or l’op´erateurW appliqu´e `a de telles s´eries d’Eisenstein d’origine cuspidale n’a pas de pˆoles le long des hyperplans qui donnent naissance `a nos r´esidusE_P^G(ϕ, λP). Cela signifie exactement que ceux-ci sont annul´es

par l’op´erateurW et a fortiori par l’op´erateur Λ.

Si Φ est une fonction de 2 variablesg1 etg2 sur [G(F)\G(A)]×[G(F)\G(A)], on peut noter W₁W₂Φ et Λ₁Λ₂Φ

le r´esultat de l’op´erateur W ou Λ appliqu´e ind´ependamment en chacune des 2 variables de Φ. On d´eduit aussitˆot du Th´eor`eme II.5 :

Corollaire II.6.– Soith∈ H^G/AG une fonction de Hecke.

(i)Pour toute paire discr`ete(P, π)telle queP =Get queπ soit cuspidale, on a Λ₁Λ₂K_h^(P,π)=K_h^(P,π).

(ii)Pour toute paire discr`ete(P, π)telle que l’un au moins des facteurs deπ ne soit pas cuspidal, on a W1W2K_h^(P,π)= 0,

et a fortiori

Λ1Λ2K_h^(P,π)= 0.

Revenons maintenant `a la situation du Th´eor`eme II.4. On a donc un homomorphisme de transfert entre groupes lin´eaires

LG //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

WF

un sous-groupe ouvertK= Q

x∈|X|

KxdeK₀^G, une partie finieS0⊂ |X|telle que, pour toute placex /∈S0,G etH soient non ramifi´es sur Fx etKx=K_0,x^G , et enfin un sous-groupe ouvertK⁰= Q

x∈|X|

K_x⁰ deK₀^H tel que K_x⁰ =K_0,x^H, ∀x /∈S₀ et queK_x⁰ soit assez petit en fonction de K_x et de la ramification deGet H en toutes les placesx∈S₀.

On se donne alors une partie finieS ⊂ |X| −S0 qui v´erifie la conclusion du Lemme II.2 puis un ´el´ement central

∆^G,H_S (Z) =O

x∈S

∆^G,H_x (•,•, Z)

de l’alg`ebre (H^G_K⊗ H^H_K0)JZKdont les facteurs ∆^G,H_x (•,•, Z) satisfont les conditions du Lemme II.3.

Le Corollaire II.6 fournit maintenant la variante suivante du Th´eor`eme II.4 : Th´eor`eme II.7.– Supposons que l’homomorphisme de transfert

LG−→^{ρ L}H est essentiellement injectif.

Alors, pour tous ´el´ements g1, g2 ∈ G(A) et g₁⁰, g₂⁰ ∈ H(A), et toutes fonctions de Hecke h ∈ H^G_K/AG, h⁰ ∈ H^H_K0/AH, on a :

(i)La s´erie formelle

(Λ1Λ2K_•^G(g1, g2)×Λ1Λ2K_•^H(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) est une fraction rationnelle, bien d´efinie enZ = 1. Elle y vaut

Λ1Λ2K_h^G(g1, g2)∗ρΛ1Λ2K_h^G0(g₁⁰, g⁰₂) = X

π∈Πcusp(G/A_G) π⁰∈Πcusp(H/A_H) π⁰=ρ_∗π

K_h^G,π(g1, g2)·K_h^H,π0 ⁰(g⁰₁, g₂⁰).

(ii)Pour toutes paires discr`etes (P, π)et(P⁰, π⁰), la s´erie formelle

(Λ₁Λ₂K_•^(P,π)(g₁, g₂)×Λ₁Λ₂K_•^(P0,π0)(g⁰₁, g₂⁰))((h⊗h⁰)⊗∆^G,H_S (Z)) est une fraction rationnelle.

Elle est nulle si l’un au moins des facteurs deπ ouπ⁰ n’est pas cuspidal.

Sinon, elle est bien d´efinie enZ= 1, et son ordre d’annulation y est au moins ´egal `a max{|P| − |IG|, |P⁰| − |IH|}.

D´emonstration.On consid`ere la s´erie formelle associ´ee dans (ii) `a des paires discr`etes (P, π) et (P⁰, π⁰).

Si P =G,P⁰ =G⁰ etπ, π⁰ sont cuspidales, cette s´erie formelle se confond avec la s´erie formelle corres- pondante du Th´eor`eme 4(ii), comme il r´esulte du Corollaire II.6(i).

Si l’un des facteurs au moins deπ ouπ⁰ n’est pas cuspidal, cette s´erie formelle est ´egale `a 0 d’apr`es le Corollaire II.6(ii).

Et dans les autres cas, cette s´erie formelle s’´ecrit, avec les notations de la d´emonstration du Th´eor`eme II.4, sous la forme

1

|Fixe(π)|· 1

|Fixe(π⁰)|· X

ϕ∈BK(P,π) ϕ0 ∈BK0(P0,π0)

Z

Im Λ_P

dλP · Z

Im Λ_P0

dλP⁰·∆^π,π_S ⁰(λP, λP⁰, Z)

ΛE_P^G(h(ϕ, λP), λP)(g1)·ΛE_P^G(ϕ, λP)(g2)·ΛE_P^H0(h⁰(ϕ⁰, λP⁰), λP⁰)(g₁⁰)·ΛE_P^H0(ϕ⁰, λP⁰)(g⁰₂). Pourϕ, ϕ⁰, (g₁, g₂) et (g⁰₁, g₂⁰) fix´es, les produits

ΛE_P^G(h(ϕ, λ_P), λ_P)(g₁)·ΛE_P^G(ϕ,λ¯⁻¹_P )(g₂) =R(λ_P), ΛE_P^H0(h⁰(ϕ⁰, λP⁰), λP⁰)(g₁⁰)·ΛE_P^H0(ϕ⁰,¯λ⁻¹_P0)(g₂⁰) =R⁰(λP⁰)

sont des fractions rationnelles enλP etλP⁰ dont les d´enominateurs ne rencontrent pas Im ΛP et Im ΛP⁰, et

on peut r´ep´eter la d´emonstration du Th´eor`eme II.4(ii).

4 Comment retrouver les traces cuspidales

Pla¸cons-nous toujours sur notre groupe alg´ebrique lin´eaire G= Y

i∈I_G

Res_Ei/FGLr_i. On rappelle que si Φ est n’importe quelle fonction sur

[G(F)\G(A)/AG]²

qui est invariante `a droite en les 2 variables par un sous-groupe ouvert deK₀^G, alors la fonction Λ1Λ2Φ est bien d´efinie sur

[Q(F)\G(A)/AG]² si bien que la fonction surG(A)/A_G

g7→Λ₁Λ₂Φ (g, g) est invariante `a gauche par Q(F) mais pas parG(F) en g´en´eral.

Nous voudrions d´efinir une fonctionnelle sur une large classe de fonctions Q(F)\G(A)/A_G →C,

qui, pour toute fonction de Hecke h ∈ H^G et toute repr´esentation automorphe cuspidale π de G(A)/AG, permette de retrouver la trace

Trπ(h)

`

a partir du noyau

g7→Λ₁Λ₂K_h^G,π(g, g) =K_h^G,π(g, g).

Pour cela, nous avons d’abord besoin de d´efinir sur Q(F)\G(A)/AG une fonction de degr´e relatif `a Q= Q

i∈IG

Res_Ei/FQr_i−1,1.

Commen¸cons par rappeler la fonction de degr´e absolu

deg :G(F)\G(A)→Z^IG dont la composante d’indicei∈IG est

GLr_i(AE_i) −−−−−−−−−→^{deg◦Nm◦det} Z. Alors on d´efinit la fonction de degr´e relatif

deg_Q:Q(F)\Q(A)→Z^IG comme le produit sur les indicesi∈I_G des fonctions :

Qr_i−1,1(Ei)\Qr_i−1,1(AE_i)→Z





















gri−1,1 ... ∗ ... ... ∗ . . . .

0 . . . 0 ... λ1





















7→ −deg◦Nm◦det(g_ri−1) + (r_i−1)·deg◦Nm(λ₁).