Noyaux du transfert automorphe de Langlands et formules de Poisson non lin´eaires :

Noyaux du transfert automorphe de Langlands et formules de Poisson non lin´eaires :

Notes de cours ^∗

par Laurent Lafforgue

Dans tout le cours, on consid`ere un groupe r´eductif connexe quasi-d´eploy´e Gsur un corps globalF, le groupe r´eductif complexe Gb dual de G muni de l’action naturelle du groupe de Galois ΓF de F, et une repr´esentation de transfert continue

ρ:GboΓF →GLr(C).

On traite le cas o`u le corps globalF est le corps des fonctions rationnelles d’une courbe projective lisse g´eom´etriquement connexe sur un corps finiFq `a q´el´ements. On note|F| l’ensemble des places deF, Fxle corps localis´e deF en chaque place x∈ |F|, Ox son anneau des entiers, qx=q^deg(x) le nombre d’´el´ements de son corps r´esiduel et

| • |x=q^−v_x ^x(•):Fx→q_x^Z∪ {0}

la norme deFx. On note ´egalement

A= aY

x∈|F|

Fx

l’anneau des ad`eles deF,A^× son groupe multiplicatif et

| • |= Y

x∈|F|

| • |x:A^×→q^Z

la norme globale, qui v´erifie la “formule du produit”

|γ|= 1, ∀γ∈F^× ⊂A^×.

Comme toutes les constructions et d´emonstrations ne font appel qu’`a de l’analyse harmonique sur les groupes r´eductifs locaux G(Fx), x ∈ |F|, et ad´eliques G(A), le cas o`u le corps global F est un corps de nombres se traiterait de la mˆeme fa¸con.

∗Je remercie notre secr´etaire C´ecile Gourgues qui a r´ealis´e la frappe de ces notes `a la perfection et avec une incroyable rapidit´e.

Sommaire

Expos´e I : Notion de noyau du transfert et construction de leur partie principale

Expos´e II : Int´egrales de Rankin-Selberg, facteursLlocaux et transformation de Fourier Expos´e III : Principe de fonctorialit´e et formules de Poisson non lin´eaires

Expos´e IV : Formules de Poisson non lin´eaires et noyaux du transfert automorphe

Expos´e V : Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson lin´eaire et g´en´eralisation non lin´eaire conjecturale

Appendice

Expos´e A : Corps globaux et anneaux d’ad`eles

Expos´e B : Groupes r´eductifs et groupes duaux de Langlands

Expos´e C : Fonctions automorphes, repr´esentations automorphes et principe de fonctorialit´e

R´ef´erences bibliographiques

I. Notion de noyau du transfert et construction de leur partie principale

Le groupe r´eductif quasi-d´eploy´eGsurF est dit non ramifi´e en une placex∈ |F|si l’action du groupe de Galois local ΓF_x ⊂ΓF sur la donn´ee radicielle (XT,∆B, X_T^∨,∆^∨_B) ou, ce qui revient au mˆeme, sur le groupe dualGbse factorise `a travers son quotient non ramifi´e Γ^nr_F

x

∼=Zb dont un g´en´erateur topologique est l’´el´ement de Frobeniusσ_x. Dans ce cas, le groupe r´eductif G sur F_x se prolonge en un sch´ema en groupes r´eductifs lisse surO_xet on dispose du sous-groupe ouvert compact maximalG(O_x) deG(F_x).

En une telle place x, la repr´esentation de transfert ρ : Gb oΓF → GLr(C) est dite non ramifi´ee si l’homomorphisme induit ΓF_x →ΓF →GLr(C) se factorise `a travers le quotient non ramifi´e Γ^nr_F

x =hσxide ΓF_x. On sait qu’alorsρinduit un homomorphisme

ρ^∗_x:H_x,∅^r → H_x,∅^G de l’alg`ebre de Hecke sph´erique

H^r_x,∅=Cc(GLr(Ox)\GLr(Fx)/GLr(Ox)) de GL_r(F_x) vers celle

H^G_x,∅=C_c(G(O_x)\G(Fx)/G(O_x))

deG(F_x). Ces alg`ebres sont commutatives, et l’homomorphismeρ<sup>∗</sup><sub>x</sub>transforme tout caract`erez_x:H^G_x,∅→C de la seconde en un caract`ere (ρx)∗(zx) =zx◦ρ<sup>∗</sup><sub>x</sub>:H<sup>r</sup><sub>x,∅</sub>→Cde la premi`ere.

On sait que le groupe r´eductif quasi-d´eploy´eGsurFet la repr´esentation de transfertρ:GboΓF →GLr(C) sont non ramifi´es en toutes les placesx∈ |F|sauf un ensemble fini que l’on noteSρ.

Posons : D´efinition I.1.–

Soit un sous-ensemble finiS de|F| contenantSρ. (i) Etant donn´´ ee une famille de caract`eres

zx:H^G_x,∅→C [resp.z_x⁰ :H^r_x,∅→C] index´es par les places x∈ |F| −S, une fonction automorphe non nulle

ϕ:G(F)\G(A)→C [resp.ϕ⁰: GLr(F)\GLr(A)→C]

est dite vecteur propre de valeurs propres leszx[resp.z_x⁰] pour l’action par convolution des alg`ebres de Hecke sph´eriquesH<sup>G</sup><sub>x,∅</sub> [resp. H<sup>r</sup><sub>x,∅</sub>] si, en toute place x∈ |F| −S,ϕ [resp. ϕ<sup>0</sup>] est invariante `a droite parG(Ox)[resp.GLr(Ox)] et v´erifie

ϕ∗ϕx=zx(ϕx)·ϕ , ∀ϕx∈ H_x,∅^G , [resp. ϕ⁰∗ϕ⁰_x=z_x⁰(ϕ⁰_x)·ϕ⁰, ∀ϕ⁰_x∈ H^r_x,∅].

(ii) Une fonction automorphe non nulle

ϕ:G(F)\G(A)→C [resp.ϕ⁰: GLr(F)\GLr(A)→C]

est dite “S-propre” si elle satisfait les conditions de(i)relativement `a une certaine famille de caract`eres z_x:H^G_x,∅→C [resp. z⁰_x:H^r_x,∅→C], x∈ |F| −S .

(iii) Une famille de caract`eres

zx:H^G_x,∅→C [resp. z⁰_x:H^r_x,∅→C]

index´es par les placesx∈ |F|−S est dite automorphe si elle satisfait les conditions de(i)relativement `a une certaine fonction automorphe “S-propre”ϕ:G(F)\G(A)→C[resp. ϕ⁰: GLr(F)\GLr(A)→C].

Le principe de fonctorialit´e de Langlands peut ˆetre formul´e de la mani`ere suivante : Conjecture I.2 (conjecture de transfert par ρ). –

Pour toute partie finieSde|F|contenantSρ, et pour toute famille de caract`eres (zx:H^G_x,∅→C)_x∈|F|−S qui est automorphe, sa transform´ee(z_x◦ρ^∗_x:H^r_x,∅→C)_x∈|F|−S parρest encore automorphe.

On introduit la notion de noyau du transfert : D´efinition I.3.–

Soit une partie finie S de|F|contenant Sρ.

On appelle “noyau” (ou “S-noyau”) du transfert automorphe par ρ toute fonction automorphe en 3 variablesg1, g2∈G(A)etg∈G(A)

K: (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C qui satisfait les conditions suivantes :

(i) En toute placex∈ |F| −S,Kest invariante `a droite parG(Ox)×G(Ox)×GLr(Ox). En notant∗1,∗2

et ∗3 les produits de convolution en les 3 variables g1, g2 ∈ G(Fx) et g ∈GLr(Fx), K est compatible avec ρ^∗_x:H^r_x,∅→ H^G_x,∅ au sens que

K∗3ϕ⁰_x=K∗2ρ^∗_x(ϕ⁰_x), ∀ϕ⁰_x∈ H^r_x,∅,

et elle est compatible avec l’automorphisme ϕx 7→ ϕ^∨_x de H^G_x,∅ d´efini par le changement de variable g₁7→g₁⁻¹ au sens que

K∗2ϕ_x=K∗1ϕ^∨_x, ∀ϕ_x∈ H^G_x,∅. (ii) Pour toute fonction automorphe S-propre

ϕ:G(F)\G(A)→C, l’int´egrale

(g₂, g)7→

Z

G(F)\G(A)

dg₁·ϕ(g₁)·K(g₁, g₂, g)

est absolument convergente quels que soient les ´el´ementsg₂∈G(A),g∈GL_r(A), et d´efinit une fonction

automorphe(G×GL_r)(F)\(G×GL_r)(A)→C.

On remarque : Lemme I.4.–

Pour d´emontrer la conjecture de transfert I.2 ci-dessus, il suffit de prouver que, pour toute fonction automorpheS-propre

ϕ:G(F)\G(A)→C, il existe unS-noyau du transfert

K: (G×G×GL_r)(F)\(G×G×GL_r)(A)→C tel que l’int´egrale

(g2, g)7→

Z

G(F)\G(A))

dg1·ϕ1(g1)·K(g1, g2, g)

ne soit pas uniform´ement nulle.

On choisit une fois pour toutes un caract`ere additif non trivial ψ:A/F →C^×.

On sait que les caract`eres additifs continusA/F →C^× sont exactement les ψ_γ :u7→ψ(γ·u)

associ´es aux ´el´ementsγ∈F.

NotantN_r ⊂GL_r le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures unipotentes, on s’int´eresse aux caract`eres deNr(A) qui sont triviaux surNr(F). Ce sont exactement les compos´es

ψ_`:N_r(A)→C^× de l’homomorphisme de groupes alg´ebriques

N_r → N_r/[N_r, N_r] = (A¹)^r−1 u= (ui,j)1≤i,j≤r 7→ (ui,i+1)1≤i<r,

d’une forme lin´eaire d´efinie surF

`: (A¹)^r−1→A¹

et du caract`ere ψ:A/F →C<sup>×</sup>. Un tel caract`ereψ` est dit r´egulier lorsque lesr−1 coordonn´ees de `sont non nulles, et irr´egulier dans le cas contraire. On noteψ_(r)le caract`ere r´egulier dont lesr−1 coordonn´ees valent 1.

Une fonction localement constante

W : GLr(A)→C [resp. GLr(Fx)→C, x∈ |F|]

est dite “deψ(r)-type de Whittaker” si

W(ug) =ψ_(r)(u)·W(g), ∀g ,∀u∈Nr(A) [resp.Nr(Fx)]. Notant

Qr= GL_r−1·Nr=Nr·GL_r−1=





















∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 1



















 le sous-groupe “mirabolique” sup´erieur, on rappelle le r´esultat suivant de Shalika :

Proposition I.5.– (i) L’op´erateur

H7→W_(r)^ψ H=

"

g7→

Z

Nr(F)\Nr(A)

du·ψ⁻¹_(r)(u)·H(ug)

#

d´efinit une projection de l’espace des fonctions localement constantes H :Q_r(F)\GL_r(A)→C sur l’espace des fonctions deψ_(r)-type de Whittaker W : GLr(A)→C.

(ii) Cet op´erateur W_(r)^ψ admet pour section, c’est-`a-dire pour inverse `a droite, l’op´erateur

W 7→



g7→ X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W(δg)



.

(iii) L’image de cette section est le sous-espace des fonctions H :Q_r(F)\GL_r(A)→Cqui sont cuspidales au sens que leurs coefficients unipotents

g7→

Z

N_r(F)\Nr(A)

du·ψ_`⁻¹(u)·H(ug)

associ´es aux caract`eres irr´eguliers ψ`:Nr(A)→C^× sont uniform´ement nuls.

Remarque :

Il r´esulte de cette proposition que toute fonction localement constante H:Qr(F)\GLr(A)→C

s’´ecrit de mani`ere unique comme la somme

H =H^c+H^nc

d’une fonctionH^c:Qr(F)\GLr(A)→Cqui est cuspidale et d’une fonctionH^nc:Qr(F)\GLr(A)→Cnon cuspidale au sens que

W_(r)^ψ H^nc= 0.

Cela s’applique en particulier aux fonctions H : GLr(F)\GLr(A) → Cmais leurs composantes H^c, H^nc : Qr(F)\GLr(A)→Cne sont en g´en´eral pas invariantes par GLr(F).

On cherche `a construire des noyaux

K: (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)((A)→C comme sommes de leur composante cuspidale

K^c: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C et de leur composante non cuspidale

K^nc: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C.

De plus, construireK^c ´equivaut `a construire leψ_(r)-coefficient unipotent

W_(r)^ψ K=W_(r)^ψK^c: (G×G×Nr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C.

Etant donn´´ ees une partie finieSde|F|contenantSρet une fonction automorpheS-propreϕ:G(F)\G(A)→ C, il suffit que l’int´egrale (g2, g)7→R

G(F)\G(A)dg1·ϕ(g1)·W_(r)^ψ K(g1, g2, g) ne soit pas uniform´ement nulle pour qu’il en soit de mˆeme de l’int´egrale (g₂, g)7→R

G(F)\G(A)dg₁·ϕ(g₁)·K(g₁, g₂, g). Cette condition sera facile `a r´ealiser si, dans le but de construire des noyaux K: (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C, on commence par construire leur coefficientW<sub>(r)</sub><sup>ψ</sup> K de la mani`ere suivante :

D´efinition I.6.–

SoitS une partie finie de |F|contenant S_ρ. On d´efinit les ψ(r)-coefficients unipotents

W_(r)^ψ K:G(F)\G(A)×G(F)\G(A)×GLr(A)→C des noyaux cherch´es K comme des sommes localement finies de la forme

W_(r)^ψ K(g1, g2, g) = X

γ∈G(F)



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g₁⁻¹γ g2, g), o`u les facteurs locaux

K_ψ^G,ρ

x , x∈ |F|, sont des fonctions localement constantes

G(F_x)×GL_r(F_x) → C (g, g⁰) 7→ K_ψ^G,ρ

x (g, g⁰) telles que

• en toute place x∈ |F|, les fonctions K_ψ^G,ρ

x (•, g⁰) sont `a support compact dans G(Fx) et les fonctions K_ψ^G,ρ

x (g,•)sur GLr(Fx)sont deψ_(r)-type de Whittaker,

• en toute placex∈ |F| −S⊂ |F| −Sρ,K_ψ^G,ρ

x est un “noyau local” du transfert non ramifi´e parρ: cela signifie que K_ψ^G,ρ

x est invariante `a gauche et `a droite par G(O_x)en la variable g∈G(F_x), invariante

`

a droite par GL_r(O_x)en la variable g⁰ ∈GL_r(F_x) et compatible avec l’homomorphisme ρ^∗_x:H^r_x,∅→ H^G_x,∅

au sens que

K_ψ^G,ρ

x ∗2ϕ⁰_x=K_ψ^G,ρ

x ∗1ρ^∗_x(ϕ⁰_x), ∀ϕ⁰_x∈ H^r_x,∅. Remarque :

La derni`ere condition surK_ψ^G,ρ

x ´equivaut `a demander que sa d´ecomposition spectrale sous la double action par convolution `a droite de H^G_x,∅ et H^r_x,∅ ne fasse apparaˆıtre que des paires de caract`eres (zx : H^G_x,∅ →C, z⁰_x:H^r_x,∅ →C) reli´es par la condition

z_x⁰ =z_x◦ρ^∗_x= (ρ_x)_∗(z_x).

Afin de construire des noyaux locaux du transfert non ramifi´e K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C

v´erifiant les conditions de la d´efinition I.6 ci-dessus en les places x∈ |F| −S ⊂ |F| −Sρ, on a besoin de pr´eciser la forme des homomorphismes

ρ^∗_x:H_x,∅^r → H^G_x,∅, x∈ |F| −Sρ, et pour cela de rappeler l’isomorphisme de Satake :

Proposition I.7.–

Soitxune place en laquelle le groupe quasi-d´eploy´eGest non ramifi´e, et soit S^x_G={w∈S_G|σ_x(w) = w} le groupe de WeylF_x-rationnel deG.

SoientT_x^d le plus grand sous-tore deT qui est d´eploy´e surFx,Tb_x^dson tore complexe dual muni de l’action deS^x_G, etImTb_x^d le plus grand sous-tore r´eel compact deTb_x^d.

Alors :

(i) Il existe un isomorphisme, appel´e isomorphisme de Satake, S_x^G:H^G_x −→^∼ C[Tb_x^d]^SxG

si bien que les caract`eres de l’alg`ebre commutative H^G_x sont associ´es aux ´el´ements de Tb_x^d, modulo l’action du groupe fini S^x_G.

(ii) Pour tout ´el´ement λ∈Tb_x^d, il existe une unique fonction

ϕ^G_x,λ:G(O_x)\G(F_x)/G(O_x)→C telle que

ϕ^G_x,λ∗ϕx=ϕx∗ϕ^G_x,λ=S_x^G(ϕx)(λ)·ϕ^G_x,λ, ∀ϕx∈ H_x,∅^G et

ϕ^G_x,λ(1) = 1.

(iii) Il existe une unique mesure dλ sur ImTb_x^d, appel´ee la mesure de Plancherel, telle que pour tout ϕx ∈ H^G_x,∅, on ait

ϕ_x(g) = Z

ImTb_x^d

dλ·S_x^G(ϕ_x)(λ)·ϕ^G_x,λ(g), ∀g∈G(F_x).

Si Tr=G^rm d´esigne le tore maximal de GLret Tbr= (C^×)^r son tore dual, on dispose de mˆeme en toute placex∈ |F| de l’isomorphisme de Satake sur GLr(Fx)

S_x^r:H^r_x,∅−→^∼ C[Tbr]^Sr.

Passons maintenant aux homomorphismesρ^∗_xen les placesx∈ |F| −Sρ : Lemme I.8.–

Quitte `a remplacer la repr´esentation de transfertρ:GboΓF →GLr(C)par une repr´esentation conjugu´ee, supposons – ce que nous ferons toujours d´esormais – qu’elle induit un homomorphisme entre tores maximaux

ρ_T :Tb→Tb_r= (C^×)^r.

En une place non ramifi´ee arbitrairex∈ |F| −Sρ, notonsexl’ordre de l’´el´ement de Frobeniusσxagissant sur l’espaceC^r deGLr(C). Alors :

(i) Le dual Tb_x^d de T_x^d s’identifie au quotient de Tb par le sous-tore {λ·σx(λ⁻¹) | λ ∈ Tb}, si bien que l’homomorphisme

Tb → Tbr

λ 7→ ρT(λ·σx(λ). . . σ_x^ex−1(λ)) d´efinit un homomorphisme

ρT ,x:Tb_x^d→Tbr. (ii) Il est possible d’ordonner la famille

ε_x= (ε¹_x, . . . , ε^r_x)∈(C^×)^r

desrvaleurs propres de σx agissant surC^r, de telle fa¸con que l’homomorphisme d’alg`ebres ρ^∗_x:H^r_x,∅→ H^G_x,∅,

vu comme un homomorphisme

ρ^∗_x:C[Tbr]^Sr →C[Tb_x^d]^SxG v´erifie

ρ^∗_x(px)(λ^ex) =px(εx·ρT ,x(λ)), ∀λ∈Tb_x^d, ∀px∈C[Tbr]^Sr.

En toute placex∈ |F|et pour tout caract`ereλ⁰∈Tbr= (C^×)^r, il existe une unique fonction deψ_(r)-type de Whittaker

W_x,λ^r,ψ0^x: GLr(Fx)/GLr(Ox)→C telle que

W_x,λ^r,ψ0^x∗ϕ⁰_x=S_x^r(ϕ⁰_x)(λ⁰)·W_x,λ^r,ψ0^x

et

W_x,λ^r,ψ0^x

























γ_x^r−1 0 . . . 0 0 . .. . .. ... ... . .. γ_x 0 0 . . . 0 1

























= 1

pour n’importe quel ´el´ement γx∈F_x^× de valuationvx(γx) ´egale au conducteurNψ_x de la composanteψxde ψenx.

On a :

Proposition I.9.–

En toute placex∈ |F|−S⊂ |F|−Sρ, les noyaux locaux du transfert non ramifi´e au sens de la d´efinitionI.6 K_ψ^G,ρ

x :G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)×GLr(Fx)/GLr(Ox)→C sont exactement les fonctions de la forme

K_ψ^G,ρ

x (g, g⁰) = Z

ImTb_x^d

dλ^ex·p_x(λ^ex)·ϕ^G_x,λex(g)·W_x,ε^r,ψx

x·ρT ,x(λ)(g⁰) pour un certain polynˆome sym´etrique px∈C[Tb_x^d]^SxG.

Remarque :

Pour que le produit infini Q

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x ait un sens comme fonction sur (G×GL_r)(A), on demande que

px= 1 en presque toute placex∈ |F| −S.

Notons µG : Gm →ZG ⊂Gle cocaract`ere central de Gbien d´efini surF qui correspond au caract`ere bµG:Gb→C^× compos´e deGb−→^ρ GLr(C) et du d´eterminant.

On remarque : Corollaire I.10.–

Soit

ω_ρ:A^×/F^×→C^×

le caract`ere automorphe d’ordre fini qui correspond, via la th´eorie du corps de classes, au caract`ere ΓF →C^×

compos´e deΓF →GLr(C)et du d´eterminant.

Alors, en toute placex∈ |F| −S ⊂ |F| −S_ρ, les noyaux locaux du transfert non ramifi´e K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C v´erifient la condition

K_ψ^G,ρ

x (g, z g⁰) =K_ψ^G,ρ

x (µG(z)g, g⁰)·ωρ(z), ∀z∈F_x^×.

Remarque :

Il est naturel de demander `a la suite de ce corollaire – et nous le ferons toujours d´esormais – que, en toutes les placesx∈ |F|sans exception, les facteursK_ψ^G,ρ

x de la d´efinition I.6 v´erifient la mˆeme condition K_ψ^G,ρ

x (g, z g⁰) =K_ψ^G,ρ

x (µ_G(z)g, g⁰)·ω_ρ(z), ∀z∈F_x^×. D´emonstration du corollaire :

La conclusion r´esulte de ce que, en toute placex∈ |F| −Sρ, le produitε¹_x. . . ε^r_x desr composantes de εx= (ε¹_x, . . . , ε^r_x) est ´egal au d´eterminant deσxagissant sur l’espaceC^rde GLr(C). En effet,εx= (ε¹_x, . . . , ε^r_x) est la famille desrvaleurs propres de cette action.

´

Etant donn´ee une famille de fonctions locales K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C, x∈ |F|,

v´erifiant toutes les conditions que nous avons ´enonc´ees, leψ_(r)-coefficient unipotent W_(r)^ψ K:G(F)\G(A)×G(F)\G(A)×GL_r(A) → C

(g1, g2, g) 7→ X

γ∈G(F)



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g₁⁻¹γ g2, g)

correspond `a une fonction cuspidale

K^c=K_ψ^G,ρ: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A) → C

(g1, g2, g) 7→ X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W_(r)^ψK(g1, g2, δg)

qui, en toute placex∈ |F|−S⊂ |F|−Sρ, est compatible avecρ^∗_x:H^r_x,∅→ H^G_x,∅et avec l’involutionϕx7→ϕ^∨_x deH^G_x,∅.

Conjecture I.11.–

Si en chaque place x∈S, la fonction locale K_ψ^G,ρ

x :G(Fx)×GLr(Fx)→C

v´erifient certaines conditions qui d´ependent de la restriction de ρen GboΓ_Fx →GL_r(C), il est possible de construire une fonction

K^nc=K_ψ^G,ρ: (G×G×Q_r)(F)\(G×G×GL_r)(A)→C qui est non cuspidale au sens que

W_(r)^ψ K^nc= 0,

est compatible avecρ^∗_x :H_x,∅^r → H_x,∅^G et avec l’involution ϕx7→ϕ^∨_x deH^G_x,∅ en toute placex∈ |F| −S, et telle que la somme

K^G,ρ=K=K^c+K^nc=K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ

soit invariante `a gauche parGLr(F) et d´efinisse un S-noyau du transfert parρ.

Dans le but d’essayer de prouver cette conjecture, on introduit comme dans la th´eorie des “th´eor`emes r´eciproques” (voir [Cogdell, Piatetski-Shapiro]) les matrices de permutation en rangr

wr=













0 . . . 0 1 ... . ..

. .. 0 0 . ..

. .. ... 1 0 . . . 0













, wr−1=

















0 . . . 0 1 0 ... . ..

. .. 0 ... 0 . ..

. .. ... ... 1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1

















, αr=wrwr−1=

















0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 0 0 . .. . .. ... ... ... . .. . .. 0 ... 0 . . . 0 1 0















 ,

et le sous-groupe mirabolique inf´erieur

Q^op_r = (α⁻¹_r N_rα_r)·GL_r−1= GL_r−1·(α⁻¹_r N_rα_r) =





















∗ . . . ∗ 0 ... ... ...

∗ . . . ∗ 0

∗ . . . ∗ 1



















 .

Remarquant que

(α_r⁻¹Nrαr)∩GL_r−1=N_r−1, on forme la somme

Ke_ψ^G,ρ(g1, g2, g) = X

δ∈N(r−1)(F)\GLr−1(F)

W_(r)^ψ K(g1, g2, αrδg).

La fonction ainsi d´efinie sur (G×G×GLr)(A) est compatible avec ρ^∗_x : H_x,∅^r → H^G_x,∅ et avec l’involution ϕx7→ϕ^∨_x deH^G_x,∅en toute place x∈ |F| −S, et elle est invariante `a gauche par (G×G×GLr)(F).

La conjecture suivante implique la pr´ec´edente : Conjecture I.12.–

Sous les hypoth`eses de la conjectureI.11, il est possible de construire deux fonctions compl´ementaires K_ψ^G,ρ: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C,

Ke_ψ^G,ρ: (G×G×Q^op_r )(F)\(G×G×GL_r)(A)→C,

toutes deux compatibles avec ρ^∗_x : H^r_x,∅ → H^G_x,∅ et avec l’involution ϕx 7→ ϕ^∨_x de H^G_x,∅ en toute place x∈

|F| −S, et telles que K_ψ^G,ρ soit non cuspidale, et

K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ=Ke_ψ^G,ρ+Ke_ψ^G,ρ.

Remarque :

L’implication r´esulte de ce que GL_r(F) est engendr´e par ses sous-groupesQ_r(F) etQ^op_r (F).