IV. Formules de Poisson non lin´eaires et noyaux du transfert automorphe

IV. Formules de Poisson non lin´eaires et noyaux du transfert automorphe

On consid`ere toujours le groupe r´eductif quasi-d´eploy´e Gsur F muni de la repr´esentation de transfert ρ:GboΓF →GLr(C) et, pour tout degr´er⁰≥2, le groupe crois´e associ´eGr⁰ muni de la repr´esentation de transfert crois´eeρ_r⁰ :Gb_r⁰oΓ_F →GL_rr⁰(C).

Le but du pr´esent paragraphe est de montrer, en sens inverse du paragraphe pr´ec´edent, que la “formule de Poisson sans terme de bord relative `aρ<sub>r−1</sub>surG<sub>r−1</sub>(A)” permet de construire, pour toute partie non vide S de |F|contenant S<sub>ρ</sub>, suffisamment de “S-noyaux du transfert” pour en d´eduire le transfert automorphe global parρdeG`a GL_r.

On reprend donc la construction deS-noyaux du transfert parρl`a o`u nous l’avions laiss´ee aux paragraphes I et II.

On est parti d’une famille de “noyaux locaux du transfert non ramifi´e par ρ” en les placesx∈ |F| −S, K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C, compl´et´ee en les placesx∈S par une famille de fonctions

K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C

astreintes `a certaines conditions automatiquement v´erifi´ees en les placesx∈ |F| −S: En toute placex∈ |F|, K_ψ^G,ρ

x est deψ_(r)-type de Whittaker en la variableg⁰ ∈GLr(Fx), elle est `a support compact en la variable g∈G(Fx), et elle satisfait l’´equation

K_ψ^G,ρ

x (g, z g⁰) =K_ψ^G,ρ

x (µ_G(z)g, g⁰)·ω_ρ(z), ∀z∈F_x^×. Le produit

Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x :G(A)×GL_r(A)→C

est donc de ψ(r)-type de Whittaker en la variable g⁰ ∈ GLr(A), il est `a support compact en la variable g∈G(A), et il satisfait l’´equation



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g, z g⁰) =



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(µ_G(z)g, g⁰)·ω_ρ(z), ∀z∈A^×. On a pos´e pour tous g₁, g₂∈G(A) etg∈GL_r(A)

W_(r)^ψ K(g₁, g₂, g) = X

γ∈G(A)



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g₁⁻¹γ g₂, g),

K_ψ^G,ρ(g1, g2, g) = X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W_(r)^ψK(g1, g2, δg),

Ke_ψ^G,ρ(g1, g2, g) = X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W_(r)^ψ K(g1, g2, αrδg).

Les fonctions K_ψ^G,ρ et Ke_ψ^G,ρ sur (G×G×GL_r)(A) sont respectivement invariantes `a gauche par les sous- groupes discrets (G×G×Q_r)(F) et (G×G×Q^op_r )(F).

Afin de les comparer, on a introduit une fonction test localement constante `a support compact arbitraire h= O

x∈|F|

hx: GLr−1(A)→C,

et form´e les produits scalaires

K_ψ^G,ρ,h(g1, g2, g) = Z

GLr−1(A)

dg⁰·K_ψ^G,ρ(g1, g2, g⁰g)·h(g⁰),

Ke_ψ^G,ρ,h(g1, g2, g) = Z

GLr−1(A)

dg⁰·Ke_ψ^G,ρ(g1, g2, g⁰g)·h(g⁰). Ceux-ci s’´ecrivent

K_ψ^G,ρ,h(g₁, g₂, g) = X

γ∈G(F)

X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W_ψ,g^G,ρ,h

1,g2,g(γ, δ), Ke_ψ^G,ρ,h(g1, g2, g) = X

γ∈G(F)

X

δ∈GLr−1(F)/Nr−1(F)

fW_ψ,g^G,ρ,h

1,g2,g(γ, δ) o`u

W_ψ,g^G,ρ,h

1,g₂,g = O

x∈|F|

W_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g : (G×GLr−1)(A)→C, Wf_ψ,g^G,ρ,h

1,g₂,g = O

x∈|F|

Wf_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g : (G×GL_r−1)(A)→C sont deux fonctions produits dont les facteurs locauxW_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g et Wf_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g en les places x∈ |F| −S ⊂

|F| −Sρ sont analys´es spectralement dans les th´eor`emes II.2 et II.4.

Afin de reformuler le lien entre fonctionsW_ψ^G,ρ,hx

x,g1,g2,g etWf_ψ^G,ρ,hx

x,g1,g2,g que ces th´eor`emes ´etablissent en toutes les placesx∈ |F| −S, on pose la d´efinition suivante :

D´efinition IV.1.–

Consid´erons un degr´e arbitrairer⁰≥2.

Une fonction locale en une placex∈ |F| [resp. globale]

Wx:Gr⁰(Fx)→C [resp. W :Gr⁰(A)→C]

qui est deψ(r⁰)-type de Whittaker, sera dite “de typeLlocal surGr⁰(Fx)[resp. global surGr⁰(A)] relativement

`

aρr⁰” s’il existe une fonction “de type Llocal [resp. global] relatif `aρ” au sens de la d´efinitionII.15(i)[resp.

III.6(i)]

H_x:G_r⁰(F_x)→C [resp.H :G_r⁰(A)→C] telle que

W_x=W_(r^ψ0)H_x [resp. W =W_(r^ψ0)H].

On appelle alors ψx-transform´ee de Fourier deWx [resp.ψ-transform´ee de Fourier deW] relativement

`

aρla fonction

Wcx: (g, g⁰) 7→

Z

N_r0(Fx)

du⁰_x·ψ⁻¹_(r0)(u⁰_x)·Hbx(g, g⁰u⁰⁻¹_x ) [resp. Wc: (g, g⁰) 7→

Z

N_r0(A)

du⁰·ψ⁻¹_(r0)(u⁰)·H(g, gb ⁰u⁰⁻¹)].

Elle ne d´epend pas du choix du rel`evementHx [resp.H] de Wx [resp.W].

Remarque :

En toute placex∈ |F| −Sρ, on appelle “fonction deψ(r⁰)-type de Whittaker de typeLstandard” (relatif

`

aρ) leψ_(r0)-coefficient unipotent

Wx=W_(r^ψ0)Hx

de la “fonction de typeLstandard” (relatif `a ρ)

Hx:Gr⁰(Fx)→C au sens de la d´efinition II.15(iii).

Une fonction produit deψ_(r⁰₎-type de Whittaker W = O

x∈|F|

Wx:Gr⁰(A)→C

est de typeLglobal relatif `aρlorsque tous ses facteursWx,x∈ |F|, sont de typeL local relatif `aρet que presque tous sont la fonction standard.

On d´eduit imm´ediatement de cette d´efinition : Lemme IV.2.–

Etant donn´´ e un degr´er⁰ ≥2, supposons que la “formule de Poisson sans terme de bord relative `aρr⁰ sur Gr⁰(A)” est connue.

Cela signifie que pour toute fonction produit de typeLglobal relatif `aρr⁰

H = O

x∈|F|

Hx:Gr⁰(A)→C

dont un facteur localHx au moins est le produit

G_r⁰(F_x)3(g, g⁰)7→H_x(g, g⁰) =H_x⁰(g, g⁰)·ω_x(det_G(g))

d’une fonctionH_x⁰ :Gr⁰(Fx)→Cde ramification born´ee et d’un caract`ereωx◦detG =ωx◦detsuffisamment ramifi´e en fonction de cette borne, on connaˆıt la formule

X

(γ,γ⁰)∈G_r0(F)

H(γ, γ⁰) = X

(γ,γ⁰)∈G_r0(F)

Hb(γ, γ⁰).

Alors, pour toute fonction produit de type de Whittaker de typeLglobal relatif `aρr⁰

W = O

x∈|F|

Wx:Gr⁰(A)→C

dont un facteur localWx au moins est le produit

Wx=W_x⁰ ·ωx◦detG

d’une fonctionW_x⁰ :Gr⁰(Fx)→Cde ramification born´ee et d’un caract`ereωx◦detG=ωx◦detsuffisamment ramifi´e en fonction de cette borne, on connaˆıt la formule

X

(γ,γ⁰)∈N_r0(F)\G_r0(F)

W(γ, γ⁰) = X

(γ,γ⁰)∈G_r0(F)/N_r0(F)

Wc(γ, γ⁰).

Revenant aux noyaux locaux du transfert non ramifi´e parρen les placesx∈ |F| −S ⊂ |F| −Sρ

K_ψ^G,ρ

x :G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)×GLr(Fx)/GLr(Ox)→C, et aux fonctionsW_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g,fW_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,gsurG(Fx)×GLr−1(Fx)⊃Gr−1(Fx) qui s’en d´eduisent par int´egration contre des fonctions tests arbitraireshx: GLr−1(Fx)→C, les th´eor`emes II.2 et II.4 impliquent :

Th´eor`eme IV.3.–

Modulo multiplication par le caract`ere(m, m⁰)7→ |detG(m)|⁻x¹²·|detρ(m)|⁻x¹²·|det(m⁰)|⁻

r−2

x 2 , la restriction

` a

Gr−1(Fx)⊂G(Fx)×GLr−1(Fx) de la fonction deψ_(r−1)-type de Whittaker

W_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g: (G×GL_r−1)(Fx)→C

est “de typeLlocal relatif `aρr−1” en toute place x∈ |F| −S⊂ |F| −Sρ, et elle se confond avec la fonction standard en presque toute telle place.

De plus, saψx-transform´ee de Fourier relative `aρ<sub>r−1</sub> n’est autre que la restriction `a G_r−1(Fx)⊂G(Fx)×GL_r−1(Fx),

multipli´ee par le mˆeme caract`ere|det_G(•)|⁻x¹² · |det_ρ(•)|⁻x¹² · |det(•)|⁻

r−2

x 2 , de la fonction G(Fx)×GL_r−1(Fx)3(m, m⁰)7→Wf_ψ^G,ρ,hx

x,g1,g2,g(m,(−1)^r−1m⁰) en toute placex∈ |F| −S⊂ |F| −Sρ.

Consid´erons maintenant les placesx∈S.

Jusqu’`a pr´esent, on n’a demand´e aux fonctions deψ_(r)-type de WhittakerK_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→C en ces placesx∈S que de satisfaire l’´equation

K_ψ^G,ρ

x (g, z g⁰) =K_ψ^G,ρ

x (µG(z)g, g⁰)·ωρ(z), ∀z∈F_x^×. Autrement dit, la d´ecomposition spectrale de ces fonctions K_ψ^G,ρ

x ne doit faire apparaˆıtre que des paires (π_x, π⁰_x) de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles unitaires de G(F_x) et GL_r(F_x) telles que

χπ_x⁰ =χπ_x·ωρ.

Un lemme inspir´e de [Cogdell, Piatetski-Shapiro] permet d’imposer aux fonctionsK_ψ^G,ρ

x des conditions suppl´e- mentaires qui seront suffisantes pour ´etendre partiellement la conclusion du th´eor`eme IV.3 ci-dessus aux placesx∈S :

Lemme IV.4.–

En une place x∈ S, consid´erons l’ensemble {(πx, π⁰_x)} des paires de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles unitaires deG(Fx) etGLr(Fx) qui v´erifient

χπ⁰_x=χπ_x·ωρ

et dont la ramification n’exc`ede pas une borne donn´ee.

Soit ωx :F_x^× →C^× un caract`ere unitaire suffisamment ramifi´e pour que tout ´el´ement (πx, π_x⁰) de l’en- semble{(πx, π_x⁰)}v´erifie les conditions suivantes :

• D’une part, la repr´esentation π⁰_x⊗(ωx◦det) =π_x⁰ ωx deGLr(Fx)satisfait la double conclusion de la propositionII.13

Lx(π⁰_xωx, Z) = 1, ε_x(π⁰_xω_x, ψ_x, Z) =ε_x(χ_π⁰

xω_x, ψ_x, Z)·ε_x(ω_x, ψ_x, Z)^r−1.

• D’autre part, pour toute repr´esentation non ramifi´ee irr´eductible z de GLr−1(Fx) de valeurs propres de Heckez1, . . . , zr−1, la repr´esentation (πxz)⊗(ωx◦detG) = (πxz)⊗(ωx◦det) = (πxz)·ωx

deGr−1(Fx)satisfait la conclusion du corollaire II.14, au sens qu’elle est “de type L” relativement `a ρr−1 avec

L_x(ρ_r−1,(π_xz)·ω_x, Z) = 1, εx(ρ_r−1,(πxz)·ωx, ψx,1) = Y

1≤j≤r−1

εx(χπ_xωρωx, ψx, zjZ)·εx(ωx, ψx, zjZ)^r−1.

Alors, si N_x ∈ N est un entier assez grand en fonction de l’ensemble {(πx, π_x⁰)} et du caract`ere tr`es ramifi´eω_x:F_x^×→C^×, il est possible de construire une fonction deψ_(r)-type de Whittaker

K_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r−1(F_x)→C telle que :

• K_ψ^G,ρ

x (g, z g⁰) =K_ψ^G,ρ

x (µ_G(z)g, g⁰), ∀z∈F_x^×,

• chaqueK_ψ^G,ρ

x (•, g⁰),g⁰∈GLr(Fx), est `a support compact dans G(Fx),

• en la premi`ere variableg∈G(F_x),K_ψ^G,ρ

x est invariante `a gauche et `a droite par un certain sous-groupe ouvert compact de G(F_x),

• en la seconde variable g⁰ ∈GLr(Fx),K_ψ^G,ρ

x est invariante `a droite par le sous-groupe ouvert compact GLr(Ox)N_x ⊂GLr(Ox)⊂GLr(Fx)

des matrices enti`eres inversibles dont la r´eduction modulo$^N_x^x a la forme











∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 1









 ,

• la d´ecomposition spectrale deK_ψ^G,ρ

x ne fait apparaˆıtre que des paires de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles de G(Fx)etGLr(Fx)de la forme

(πxωx, π⁰_xωx) avec (πx, π_x⁰)∈ {(πx, π_x⁰)}, et la composante de K_ψ^G,ρ

x dans l’espace propre associ´e `a toute premi`ere projection πxωx d’une telle paire ne s’annule pas uniform´ement sur G(Fx)×GLr(Fx)N_x.

Remarque :

Le sous-groupe ouvert compact GL_r(O_x)_Nx de GL_r(F_x) introduit ci-dessus contient comme sous-groupe GL_r−1(O_x).

L’´equation fonctionnelle locale de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika permet de compl´eter le th´eor`eme IV.3 ci-dessus de la mani`ere suivante :

Th´eor`eme IV.5.–

En n’importe quelle placex∈S, supposons que la fonction K_ψ^G,ρ

x :G(Fx)×GLr(Fx)→C

satisfait toutes les conditions du lemme IV.4 ci-dessus relativement `a la famille donn´ee {(πx, π<sub>x</sub><sup>0</sup>)}, `a un caract`ere unitaire ωx : F<sub>x</sub><sup>×</sup> →C<sup>×</sup> assez ramifi´e en fonction de cette famille, et `a un entier Nx ∈N assez grand en fonction de cette famille et deωx.

Soit une fonction test localement constante `a support compact hx: GL_r−1(Fx)→C

qui est sph´erique ou, plus g´en´eralement, dont la d´ecomposition spectrale ne fait apparaˆıtre que des repr´esenta- tions non ramifi´eesz.

Alors, modulo multiplication par le caract`ere

(m, m⁰)7→ |detG(m)|⁻x¹² · |detρ(m)|⁻x¹² · |det(m⁰)|⁻

r−2

x 2 , la restriction `aGr−1(Fx)de la fonction deψ_(r−1)-type de Whittaker

W_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g: (G×GL_r−1)(Fx)→C

est “de type L local relatif `a ρr−1”, et sa ψx-transform´ee de Fourier relative `a ρr−1 n’est autre que la restriction `aGr−1(Fx) de la fonction

G(Fx)×GLr−1(Fx)3(m, m⁰)7→fW_ψ^G,ρ,hx

x,g₁,g₂,g(m,(−1)^r−1m⁰), multipli´ee par le mˆeme caract`ere|detG(•)|⁻x¹² · |detρ(•)|⁻x¹² · |det(•)|⁻

r−2

x 2 .

De plus, sa d´ecomposition spectrale ne fait apparaˆıtre que des repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles unitaires deG_r−1(F_x)de la forme

(π_xz)·ω_x,

o`u πx est la premi`ere projection d’un ´el´ement (πx, π_x⁰)de l’ensemble {(πx, π_x⁰)} etz est une repr´esentation non ramifi´ee deGL_r−1(Fx).

Si la partie finieS⊃Sρ de|F|n’est pas vide et que les fonctionsK_ψ^G,ρ

x :G(Fx)×GLr(Fx)→C,x∈S, satisfont les propri´et´es du lemme IV.4, toutes les conditions n´ecessaires pour appliquer la “formule de Poisson sans terme de bord” relative `a ρr−1 surGr−1(A) sont satisfaites. On obtient d’apr`es le lemme IV.2 : Corollaire IV.6.–

Supposons que la “formule de Poisson sans terme de bord relative `aρ_r−1 sur G_r−1(A)” est connue.

Etant donn´´ ee une partie finie non vide S de |F| qui contient S_ρ, compl´etons la famille de noyaux du transfert non ramifi´e parρen les placesx∈ |F| −S

K_ψ^G,ρ

x :G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)×GLr(Fx)/GLr(Ox)→C, par une famille de fonctions en les placesx∈S

K_ψ^G,ρ

x :G(Fx)×GLr(Fx)/GLr(Ox)Nx→C qui satisfont les conditions du lemmeIV.4.

Soient des ´el´ements g1, g2∈G(A)etg∈GLr(A).

Soit enfin une fonction test localement constante `a support compact h= O

x∈|F|

h_x: GL_r−1(A)→C

dont les facteurshx en les placesx∈S sont sph´eriques ou, plus g´en´eralement, ne font apparaˆıtre dans leur d´ecomposition spectrale que des repr´esentations non ramifi´ees.

Alors on a

X

(γ,δ)∈Nr−1(F)\Gr−1(F)

W_ψ,g^G,ρ,h

1,g2,g(γ, δ) = X

(γ,δ)∈Gr−1(F)/Nr−1(F)

fW_ψ,g^G,ρ,h

1,g2,g(γ,(−1)^r−1δ).

Remarque :

La conclusion du corollaire s’applique ´egalement aux translat´ees `a gauche^δ00hdehpar tous les ´el´ements δ₀⁰ ∈GL_r−1(F).

En faisant la somme sur toutes les classesδ₀⁰ ∈GL_r−1(F)/SL_r−1(F), on obtient X

γ∈G(F)

X

δ∈Nr−1(F)\GLr−1(F)

W_ψ,g^G,ρ,h

1,g₂,g(γ, δ) = X

γ∈G(F)

X

δ∈GLr−1(F)/N_r−1(F)

Wf_ψ,g^G,ρ,h

1,g₂,g(γ, δ).

De la remarque qui suit ce corollaire, combin´ee avec le lemme II.1, on d´eduit : Corollaire IV.7.–

Etant donn´´ ee une partie finie non videS de|F|contenant S_ρ, consid´erons une famille de fonctions K_ψ^G,ρ

x : (G×GL_r)(F_x)→C, x∈ |F|,

qui sont des noyaux locaux du transfert non ramifi´e parρen les placesx∈ |F| −S, et satisfont les conditions du lemmeIV.4 en les placesx∈S.

Alors :

(i) Pour tous ´el´ements g1, g2 ∈ G(A), g ∈ GLr(A), et pour toute fonction test localement constante `a support compact

h= O

x∈|F|

hx: GL_r−1(A)→C

qui est invariante `a gauche et `a droite par GLr−1(Ox)en toute placex∈S, le produit scalaire K_ψ^G,ρ,h(g₁, g₂, g) =

Z

GLr−1(A)

dg⁰·K_ψ^G,ρ(g₁, g₂, g⁰g)·h(g⁰) est ´egal au produit scalaire

Ke_ψ^G,ρ,h(g₁, g₂, g) = Z

GLr−1(A)

dg⁰·Ke_h^G,ρ(g₁, g₂, g⁰g)·h(g⁰).

(ii) SiGLr(A)N_S d´esigne le sous-groupe ouvert deGLr(A)image r´eciproque du sous-groupe ouvert Y

x∈S

GLr(Ox)N_x⊂ Y

x∈S

GLr(Fx),

les fonctions K_ψ^G,ρ etKe_ψ^G,ρ ont mˆeme restriction `aG(A)×G(A)×GLr(A)N_S.

(iii) La restriction commune deK_ψ^G,ρ et Ke_ψ^G,ρ `aG(A)×G(A)×GLr(A)NS est invariante `a gauche par le sous-groupe discret

G(F)×G(F)×GL_r(F)_NS si l’on noteGLr(F)N_S = GLr(F)∩GLr(A)N_S.

D´emonstration :

(ii) r´esulte de (i) puisque, pour tous ´el´ementsg1, g2∈G(A) etg∈GLr(A)N_S, les fonctions GLr−1(A)3g⁰ 7→ K_ψ^G,ρ(g1, g2, g⁰g)

et g⁰ 7→ Ke_ψ^G,ρ(g1, g2, g⁰g) sont invariantes `a droite par Q

x∈S

GLr−1(Ox).

(iii) Par construction, K_ψ^G,ρ est invariante `a gauche par G(F)×G(F)×Qr(F) et Ke<sub>ψ</sub><sup>G,ρ</sup> est invariante `a gauche parG(F)×G(F)×Q^op_r (F).

La conclusion r´esulte du lemme suivant tir´e de [Cogdell, Piatetski-Shapiro] : Lemme IV.8.–

Le sous-groupe discret

GL_r(F)_NS = GL_r(F)∩GL_r(A)_NS deGLr(A)N_S est engendr´e par ses sous-groupes

Qr(F)NS =Qr(F)∩GLr(A)NS

et

Q^op_r (F)_NS =Q^op_r (F)∩GL_r(A)_NS.

De plus, on a :

Lemme IV.9.–

Le sous-groupeGL_r(F) est dense dans le produit fini Q

x∈S

GL_r(F_x).

Par cons´equent, l’image r´eciproque GLr(A)N_S dans GLr(A) du sous-groupe ouvert Q

x∈S

GLr(Ox)N_x de Q

x∈S

GL_r(F_x)v´erifie

GLr(A) = GLr(F)·GLr(A)N_S, et l’inclusion

GLr(A)NS ⊂GLr(A) d´efinit un isomorphisme

GL_r(F)_NS\GL_r(A)_NS −→^∼ GL_r(F)\GL_r(A).

Cet isomorphisme est compatible avec les actions `a droite desGLr(Fx)en toutes les placesx∈ |F| −S, et avec celles des sous-groupesGLr(Ox)N_x en les places x∈S.

On d´eduit de ce lemme et du corollaire IV.7 : Corollaire IV.10.–

Dans les conditions du corollaireIV.7, la restriction commune `aG(A)×G(A)×GLr(A)N_S des fonctions K_ψ^G,ρ etKe_ψ^G,ρ peut ˆetre vue comme une fonction

K: (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C.

Cette fonction est un “S-noyau du transfert automorphe parρ” au sens de la d´efinition I.3.

De plus, on a pour tous ´el´ements g1, g2∈G(A)etg∈GLr(A)N_S la formule

W_(r)^ψ K(g₁, g₂, g) = X

γ∈G(F)



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g₁⁻¹γ g₂, g).

D´emonstration :

La derni`ere formule r´esulte de ce qu’il est possible de relever le quotient compact N_r(F)\Nr(A)

en une partie compacte deN_r(A) dont la projection dans Q

x∈|F|

N_r(F_x) est contenue dans Q

x∈|F|

GL_r(O_x)_Nx.

On a enfin : Th´eor`eme IV.11.–

Supposons toujours que la “formule de Poisson sans terme de bord relative `a ρ_r−1 sur G_r−1(A)” est connue.

Alors la construction des corollairesIV.7etIV.10ci-dessus fournit suffisamment de “S-noyaux du trans- fert automorphe parρ”

K: (G×G×GL_r)(F)\(G×G×GL_r)(A)→C pour r´ealiser le transfert automorphe global deG `aGLr parρ.

D´emonstration :

Consid´erons une repr´esentation automorphe irr´eductibleπ= N

x∈|F|

π_xdeG(A) et une partie finie non vide S de|F| contenantSρ et les placesxo`uπx est ramifi´ee.

Il existe des caract`eres automorphes unitaires ω= O

x∈|F|

ωx:A^×/F^×→C^×

qui sont non ramifi´es en les placesx∈ |F| −S et arbitrairement ramifi´es en les placesx∈S.

Si les facteurs ωx : F_x^× → C^×, x ∈ S, sont suffisamment ramifi´es, on peut r´ealiser les conditions du lemme IV.4 de telle fa¸con que la composante dans l’espace propre de π⊗ω de la fonction

(g1, g2, g)7→ X

γ∈G(F)



 Y

x∈|F|

K_ψ^G,ρ

x



(g₁⁻¹γ g2, g) ne s’annule par uniform´ement sur GL_r(A)_NS.

On conclut d’apr`es le corollaire IV.10.