Formules de Poisson non lin´eaires et principe de fonctorialit´e de Langlands ∗

Formules de Poisson non lin´eaires et principe de fonctorialit´e de Langlands ^∗

par Laurent Lafforgue

∗Ces notes ont servi de base `a un double expos´e donn´e au s´eminaire Takagi, `a Tokyo, les 25 et 26 mai 2013, ainsi qu’`a un expos´e `a l’universit´e Tsinghua de P´ekin, au titre de “Loo-Keng Hua Distinguished Lecture”, le 8 novembre 2013.

L’auteur remercie chaleureusement les organisateurs de ces s´eminaires qui l’ont invit´e. Il ex- prime ´egalement sa grande reconnaissance `a C´ecile Gourgues, qui a r´ealis´e la frappe du ma- nuscrit avec son efficacit´e et sa disponibilit´e toujours parfaites, ainsi qu’au traducteur du texte en langue chinoise.

On connaˆıt la transformation de Fourier sur R. Elle d´efinit un automor- phisme unitaire de l’espace des fonctions de carr´e int´egrable R→C. De plus, cet automorphisme et son inverse respectent le sous-espace des fonctions de Schwartz, c’est-`a-dire des fonctions de classe C<sup>∞</sup> `a d´ecroissance rapide. Enfin, une telle fonction de Schwartzf et sa transform´ee de Fourierfbsont reli´ees par la formule de Poisson

X

n∈Z

f(n) =X

n∈Z

fb(n).

Etant donn´´ e un “corps global”F, c’est-`a-dire une extension finie deQou du corpsF<sup>q</sup>(X) des fonctions rationnelles sur un corps finiF<sup>q</sup>, la th´eorie de l’anneau des ad`elesA= `Q

x∈|F|

FxdeF a permis `a Tate, en 1950 dans sa fameuse th`ese, de transporter et d’exploiter transformation de Fourier et formule de Poisson dans un cadre arithm´etique. Il choisit pour cela un caract`ere additif continu unitaire non trivialψ = Q

x∈|F|

ψx :A= `Q

x∈|F|

Fx →U(1) ={z ∈C^× | |z|= 1} invariant par le sous-groupe discretF deA.

En toute “place” x de F, c’est-`a-dire pour toute compl´etion F<sub>x</sub> de F re- lativement `a une certaine norme, que celle-ci soit “archim´edienne” (avec alors F_x ∼=R ouC) ou “ultram´etrique” (si bien que F_x est une extension finie d’un corpsp-adiqueQp ou d’un corpsFq((X)) de s´eries de Laurent), le caract`ereψ<sub>x</sub> d´efinit un op´erateur de transformation de Fourier fx 7→ fbx. Cet op´erateur est un automorphisme unitaire de l’espace des fonctions de carr´e int´egrable surFx. De plus, cet op´erateur et son inverse respectent un certain sous-espace de fonctions de Schwartz qui, lorsquexest une place ultram´etrique, est simplement l’espace des fonctions localement constantes `a support compact surFx. Le sous- espace des fonctions de Schwartz en les places ultram´etriques est stable par translations multiplicatives si bien qu’il admet une caract´erisation spectrale. Il s’av`ere que cette caract´erisation peut s’exprimer en termes de certaines fractions rationnelles

Lx(χ, Z)

associ´ees aux caract`eres multiplicatifsχ:F_x^× →C^×.

D’autre part, la transformation de Fourier est compatible avec les transla- tions multiplicatives, et son action sur l’espace des fonctions de Schwartz admet une caract´erisation spectrale. Il s’av`ere que cette caract´erisation peut s’exprimer en termes de certains monˆomes

εx(χ, Z) =εx(χ, ψx, Z)

´egalement associ´es aux caract`eres multiplicatifsχ:F_x^×→C^×.

En les places archim´ediennes, la d´ecomposition spectrale des espaces de fonctions de Schwartz et de leur automorphisme de transformation de Fourier conduit `a d´efinir de mani`ere analogue des facteurs

Lx(χ, s) et εx(χ, s) =εx(χ, ψx, s)

associ´es aux caract`eres multiplicatifs χ : F_x^× → C^× et qui sont cette fois des fonctions analytiques des∈C.

Le produit des op´erateurs de transformation de Fourier “locale” sur lesFx

associ´es aux composantes ψx de ψ d´efinit un op´erateur de transformation de Fourier “globale” surA= Q`

x∈|F|

Fxassoci´e `aψ. Il envoie chaque fonction produit f = N

x∈|F|

fx sur fb = N

x∈|F|

fbx. C’est un automorphisme unitaire de l’espace des fonctions de carr´e int´egrable surA. Il pr´eserve le sous-espace des fonctions de Schwartz globales, d´efini comme sous-espace engendr´e par les produits de fonctions de Schwartz locales sur les compl´etions Fx.

Tate a alors d´emontr´e que toute fonction de Schwartz globale f : A → C satisfait la formule de Poisson

X

γ∈F

f(γ) =X

γ∈F

fb(γ).

Puis, en d´ecomposant spectralement cette identit´e sous l’action du groupe mul- tiplicatifA^×, il en a d´eduit les propri´et´es globales des fonctions L

C3s7→L(χ, s) =





Y

x∈|F|ultram´etrique

Lx(χx, q^−s_x )



·





Y

x∈|F|archim´edienne

Lx(χx, s)





associ´ees aux caract`eres multiplicatifs χ= Y

x∈|F|

χx:A^×→C^×

qui sont “automorphes”, c’est-`a-dire invariants par le sous-groupe discretF<sup>×</sup> deA<sup>×</sup>. Ces propri´et´es sont la convergence absolue pour Re (s) assez grande, le prolongement analytique `a Ctout entier et l’´equation fonctionnelle

L(χ⁻¹,1−s) =L(χ, s)·ε(χ, s) avec

ε(χ, s) =





Y

x∈|F|ultram´etrique

εx(χx, q_x^−s)



·





Y

x∈|F|archim´edienne

εx(χ, s)



. Au d´ebut des ann´ees 1970, Godement et Jacquet ont g´en´eralis´e la th´eorie de Tate aux groupes lin´eaires GLr de rang arbitraire plong´es dans les espaces de matricesMr.

Ils ont d´efini une transformation de Fourier et un espace de fonctions de Schwartz sur Mr(Fx) pour toute place x. La d´ecomposition spectrale de ces espaces et de ces op´erateurs leur a permis d’associer des facteurs locaux

Lx(π,•) et εx(π,•)

`

a toute repr´esentation irr´eductibleπdu groupe GLr(Fx).

Puis, en faisant le produit sur toutes les places x de F, ils ont d´efini une transformation de Fourier globale surMr(A), ainsi qu’un espace de fonctions de Schwartz globalesf :M_r(A)→Csatisfaisant la formule de Poisson

X

γ∈M_r(F)

f(γ) = X

γ∈M_r(F)

fb(γ).

La d´ecomposition spectrale de cette identit´e sous l’action du groupe multipli- catif GLr(A) a permis `a Godement et Jacquet d’´etablir les propri´et´es globales (convergence absolue dans un demi-plan, prolongement analytique et ´equation fonctionnelle) des fonctionsL globales

L(π,•) = Y

x∈|F|

L_x(π_x,•) des repr´esentations irr´eductibles π = N

x∈|F|

πx de GLr(A) = `Q

x∈|F|

GLr(Fx) qui sont “automorphes”, c’est-`a-dire admettent une r´ealisation dans l’espace des fonctions p´eriodiques

GLr(F)\GLr(A)→C.

SiGest un groupe r´eductif (d´eploy´e) surF, on dispose plus g´en´eralement de la notion de repr´esentation irr´eductible “automorphe” de G(A) = Q`

x∈|F|

G(Fx), c’est-`a-dire qui admet une r´ealisation dans l’espace des fonctions p´eriodiques

G(F)\G(A)→C.

Dans le cas g´en´eral, on ne dispose surGd’aucune structure lin´eaire qui permette de reproduire les constructions et les d´emonstrations de Tate g´en´eralis´ees par Godement et Jacquet.

Cependant, on dispose du “principe de fonctorialit´e” conjectur´e par Lan- glands en 1967.

Selon Langlands, on doit pouvoir associer `a toute repr´esentation ρ:Gb→GLr(C)

du groupe r´eductif complexeGb dual deG, une application π= O

x∈|F|

πx7−→π⁰= O

x∈|F|

π⁰_x

de l’ensemble des repr´esentations automorphes de G(A) vers l’ensemble des repr´esentations automorphes de GLr(A). Cette application doit ˆetre essentielle- ment compatible avec une famille d’applications entre ensembles de repr´esenta- tions irr´eductibles locales deG(Fx) et GLr(Fx)

πx7→π⁰_x

qui, lorsque lesπx sont “non ramifi´ees”, sont d´efinies par une r`egle tr`es simple associ´ee `aρ.

Si ces applications πx 7→ π_x⁰ existent, elles permettent donc d’associer aux repr´esentations irr´eductiblesπx desG(Fx) des facteurs

Lx(ρ, πx,•) =Lx(π⁰_x,•) et εx(ρ, πx,•) =εx(π⁰_x,•). A toute repr´` esentation automorphe π=N

x

πx de G(A) est alors associ´ee une fonctionL globale relative `a ρ

L(ρ, π,•) = Y

x∈|F|

Lx(ρ, πx,•)

qui poss`ede les propri´et´es globales usuelles des fonctions L si le principe de fonctorialit´e de Langlands est connu.

Bien sˆur, les arguments de Tate, Godement et Jacquet pourraient ˆetre repro- duits surG(A), et conduire `a une d´emonstration directe des propri´et´es globales des fonctionsLdes repr´esentations automorphes deG(A), si l’on disposait sur lesG(Fx) et sur G(A) de transformations de Fourier naturellement d´efinies `a partir deρ, d’espaces de fonctions de Schwartz respect´es par ces transformations et d’une formule de Poisson convenable sur l’espace des fonctions de Schwartz globales. Ce vœu a ´et´e exprim´e pour la premi`ere fois dans la litt´erature dans un article de Braverman et Kazhdan publi´e en l’an 2000.

Le but du pr´esent texte d’exposition est d’expliquer qu’il y a en fait ´equivalen- ce entre le principe de fonctorialit´e de Langlands et le probl`eme d’associer `a toute repr´esentationρ:Gb→GL_r(C) des op´erateurs de transformation de Fourier lo- caux, des espaces de fonctions de Schwartz locales et une formule de Poisson globale.

Plus pr´ecis´ement, la connaissance de facteurs locaux Lx(ρ, πx,•) permet de construire en chaque place un espace de fonctions de Schwartz. Celle de facteurs locaux εx(ρ, πx,•) permet de d´efinir un op´erateur de transformation de Fourier agissant sur cet espace. Enfin, les propri´et´es globales des fonctions L(ρ, π,•) = Q

x∈|F|

L_x(ρ, π_x,•) associ´ees aux repr´esentations automorphes π = N

x∈|F|

π_x de G(A) permettent de d´efinir sur l’espace des fonctions de Schwartz globales une certaine forme lin´eaire fix´ee par la transformation de Fourier.

1 Transformation de Fourier sur M

( R )

MunissonsRd’un caract`ere additif continu unitaire non trivial ψ∞:R→U(1)⊂C^×,

par exemple

t7→e^2πit.

Ce choix d´etermine celui de l’unique mesure invariante de R qui attribue le volume 1 au quotient compact de R par son sous-groupe discret Kerψ_∞, et donc de la mesure invariante produit deM_r(R) =R^r

2. On a :

Proposition–

La ψ_∞-transformation de Fourier

f 7→fb=

"

m⁰7→

Z

M_r(R)

dm·f(m)·ψ_∞(Tr(mm⁰))

#

d´efinit un automorphisme de l’espace des fonctions de Schwartz (c’est-`a-dire C<sup>∞</sup> `a d´ecroissance rapide)

f :M_r(R)→C.

Son automorphisme r´eciproque est laψ_∞=ψ_∞⁻¹-transformation de Fourier.

Le groupe des ´el´ementsg∈GL_r(R) agit par translation `a droitef 7→f<sup>g</sup> = f(•g) et par translation `a gauche f 7→ ^gf =f(g•) sur l’espace des fonctions de Schwartz. Ces actions sont compatibles avec la transformation de Fourier au sens suivant :

Lemme–

Pour toute fonction de Schwartz

f :Mr(R)→C et pour tout ´el´ementg∈GLr(R), on a

cf^g=|det(g)|^−r· ^g−1f ,b c^gf =|det(g)|^−r·fb^g−1.

2 Transformation de Fourier sur M

(F

)

R est une compl´etion de Q. Or Qposs`ede d’autres compl´etions : les corps p-adiquesQp.

On appelle “corps locaux”Fx les ´el´ements de la liste suivante :

• Ret son unique extension finieC,

• les corpsQp et leurs extensions finies,

• les corps de s´eries de LaurentF^qx((X)) sur un corps finiF^qx.

Tout corps localFxest muni d’une unique norme| • |xtelle que tout ´el´ement γ∈F_x^× agisse sur les mesures additives deF_xpar|γ|x.

Si Fx=RouC,Fxest dit “archim´edien”.

Sinon, il est dit “ultram´etrique” car sa norme| • |_x satisfait l’in´egalit´e

|a+b|x≤max{|a|x,|b|x}, ∀a, b∈Fx. Dans ce cas, Fx poss`ede le sous-anneau ouvert compact

O_x={a∈F_x| |a|_x≤1}

dont le quotient par l’id´eal maximal ouvert

mx={a∈Fx| |a|x<1}

est un corps finiFqx.

Si Fx est un corps local, une fonction de Schwartz Mr(Fx) → C est une fonction

• C^∞ `a d´ecroissance rapide siFxest archim´edien,

• localement constante `a support compact siFx est ultram´etrique.

Choisissant un caract`ere additif continu unitaire non trivial ψx:Fx→U(1)⊂C^×

puis une mesure invariantedmxdeMr(Fx), on a Proposition–

(i) La ψ_x-transformation de Fourier f_x7→fb_x=

"

m⁰_x7→

Z

M_r(F_x)

dm_x·f_x(m_x)·ψ_x(Tr(m_xm⁰_x))

#

d´efinit un automorphisme de l’espace des fonctions de Schwartz.

(ii) Il existe une unique mesure invariantedmx(dite autoduale) pour laquelle l’automorphisme r´eciproque est la ψ_x-transformation de Fourier.

(iii) Pour toute fonction de Schwartz fx:Mr(Fx)→C et tout ´el´ement gx∈ GLr(Fx), on a

fdx^gx = |det(g_x)|^−r_x · ^g−1xfb_x,

gd_xfx = |det(gx)|^−r_x ·fb^g

−1

xx .

3 L’espace des repr´ esentations lisses admissibles irr´ eductibles de G(F

)

Pour tout corps local F_x, il est naturel de chercher `a d´ecomposer l’espace des fonctions de Schwartz sous la double action de GLr(Fx).

Dans ce but, il faut d’abord introduire un ensemble de repr´esentations irr´e- ductibles de GL_r(F_x) assez riche pour permettre une telle d´ecomposition, et montrer que cet ensemble a une structure naturelle.

Traitons le cas o`u le corps localFxest ultram´etrique.

D´efinition–

SoitGun groupe lin´eaireGLrou, plus g´en´eralement, un groupe r´eductif sur un corps local ultram´etrique Fx.

Une repr´esentation complexeπ deG(F_x) est dite “lisse admissible” si

• pour tout sous-groupe ouvert compact K⊂G(Fx), πK ={v∈π|K·v=v}

est de dimension finie sur C,

• π est la r´eunion filtrante de ses sous-espaces πK.

Le groupe topologique localement compactG(F_x) est unimodulaire et peut ˆetre muni d’une mesure bi-invariantedg_x. Soient alorsH^G_x l’alg`ebre de convolu- tion des fonctions localement constantes `a support compact

h_x:G(F_x)→C

et, pour toutK⊂G(Fx),H^G_x,K sa sous-alg`ebre des fonctions `a support compact K\G(Fx)/K →C.

Pour toute repr´esentation lisse admissible π de G(Fx), chaque πK est une repr´esentation de dimension finie deH^G_x,K et π= lim

−→πK peut ˆetre vue comme une repr´esentation deH^G_x = lim

−→H^G_x,K.

Notons {π}^G_x l’ensemble des classes d’isomorphie de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles de G(Fx) et, pour tout K ⊂G(Fx), {π}^G_x,K le sous- ensemble desπtelles queπK6= 0.

Pour toutK⊂G(Fx), les ´el´ementshx∈ H^G_x,K d´efinissent des fonctions {π}^G_x,K 3π7→Trπ(hx),

et on peut noterA^G_x,K l’alg`ebre de fonctions {π}^G_x,K →C qu’elles engendrent. On a :

Th´eor`eme–

Soit toujours un groupe r´eductif G sur un corps local ultram´etrique Fx. Alors :

(i) Pour tout K ⊂ G(O_x), l’alg`ebre A<sup>G</sup><sub>x,K</sub> est un produit fini d’alg`ebres de type fini et int`egres surC. Autrement dit,SpecA<sup>G</sup><sub>x,K</sub> est r´eunion disjointe finie de vari´et´es alg´ebriques affines int`egres sur C.

(ii) Toute π ∈ {π}^G_x,K d´efinit un caract`ere A^G_x,K → C de A^G_x,K qui le ca- ract´erise, si bien que{π}^G_x,K se plonge dans le spectre maximal deA^G_x,K. C’est un ouvert de Zariski.

(iii) La r´eunion filtrante {π}^G_x = lim

−→{π}^G_x,K s’´ecrit comme une r´eunion dis- jointe de vari´et´es alg´ebriques int`egres sur C, de telle fa¸con que chaque {π}^G_x,K est une r´eunion finie de composantes connexes.

Remarque :

Dans le cas d’un corps local archim´edien Fx =R ouC, on a un th´eor`eme analogue : cette fois, l’ensemble des repr´esentations irr´eductibles a une structure naturelle de vari´et´e analytique complexe.

Pour toutK⊂G(Fx), soit Im{π}^G_x,K ⊂ {π}^G_x,K le sous-ensemble des repr´e- sentations unitaires. On a :

Th´eor`eme–

Soit toujours un groupe r´eductifGsur un corps local ultram´etriqueFx. Alors, pour toutK⊂G(Fx), on a :

(i) Le sous-ensemble Im{π}^G_x,K des repr´esentations unitaires est une sous- vari´et´e alg´ebrique r´eelle de la vari´et´e alg´ebrique complexe{π}^G_x,K. (ii) Il existe sur Im{π}^G_x,K une unique mesure dπ, appel´ee mesure de Plan-

cherel, telle que, pour tout hx∈ H^G_x,K, on ait hx(1) =

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·Trπ(hx).

Disons qu’une fonction

{π}^G_x,K →C

est “polynomiale” si elle est ´el´ement de l’alg`ebre A^G_x,K engendr´ee par les fonc- tions traces

π7→Tr_π(h_x), h_x∈ H^G_x,K.

En rempla¸cant les fonctionsh_xpar leurs translat´eesh^g_xou^gh_x, on d´eduit du th´eor`eme ci-dessus :

Corollaire–

Pour toutK⊂G(F_x)et sidπd´esigne la mesure de Plancherel surIm{π}^G_x,K, on a :

(i) Toute fonction h_x∈ H^G_x,K s’´ecrit sous la forme h_x(g) =

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·h_x,π(g), g∈G(F_x), o`u :

• pour toutg∈G(Fx),

π7→hx,π(g) est une fonction polynomiale sur{π}^G_x,K,

• pour touteπ∈ {π}^G_x,K, la fonction surG(Fx) g7→hx,π(g)

est ´el´ement de l’espaceπ^∨_KπK engendr´e par les “coefficients matri- ciels” v^∨v : g 7→ hv^∨, g·vi= hg⁻¹·v^∨, vi associ´es `a un vecteur v∈πK et une forme lin´eairev^∨:π→Cinvariante par K.

(ii) Cette d´ecomposition spectrale de toute fonctionhx∈ H_x,K^G est unique, et on a

hx,π(g) = Trπ(h^g_x) = Trπ(^ghx), ∀π , ∀g∈G(Fx).

4 D´ ecomposition spectrale de la transformation de Fourier lin´ eaire

Revenons aux groupes lin´eaires GLr sur un corps local ultram´etriqueFx. Comme les fonctions de Schwartz (c’est-`a-dire localement constantes `a sup- port compact)Mr(Fx)→Csont d´etermin´ees par leurs restrictions `a GLr(Fx), et que leur espace est stable par translation `a gauche ou `a droite, on s’attend `a pouvoir caract´eriser cet espace en termes spectraux. Effectivement, on a :

Th´eor`eme–

Pour tout K ⊂ GL_r(F_x), il est possible d’associer `a toute repr´esentation π∈ {π}^GL_x,K^r={π}^r_x,K une fraction rationnelle

Lx(π, Z) telle que :

(1) L’inverse Lx(π, Z)⁻¹ est un polynˆome en π ∈ {π}^r_x,K et Z qui vaut 1 pour Z= 0.

(2) On a

Lx(π⊗ |det(•)|^s, Z) =Lx(π, q^−s_x ·Z), ∀π , ∀s∈C. (3) Une fonction

f_x:K\GL_r(F_x)/K→C

se prolonge en une fonction de Schwartz sur Mr(Fx) si et seulement si ses restrictions aux fibres de l’homomorphisme

|det(•)|x: GLr(Fx)→q_x^Z

sont `a support compact, et qu’elle se d´ecompose spectralement sous la forme

f_x(g) =|det(g)|⁻x^r2 · Z

Im{π}^r_x,K

dπ·f_x,π(g)·L_x π^∨, qx⁻¹²

o`u

• pour toutg∈GLr(Fx)

π7→fx,π(g) est une fonction polynomiale sur{π}^r_x,K,

• pour touteπ∈ {π}^r_x,K, la fonction surGLr(Fx) g7→fx,π(g)

est ´el´ement de l’espace π_K^∨ πK,

• π^∨ = lim

−→π^∨_K d´esigne la repr´esentation contragr´ediente de toute π∈ {π}^r_x.

Comme la transformation de Fourier est compatible avec les translations `a gauche et `a droite, on obtient :

Corollaire–

Le caract`ere non trivial ψ<sub>x</sub> : F<sub>x</sub> → U(1) ⊂C<sup>×</sup> ´etant choisi, il est possible d’associer `a toute repr´esentation π ∈ {π}^r_x,K un monˆome (c’est-`a-dire un po- lynˆome inversible) en πetZ^±1

εx(π, ψx, Z) =εx(π⊗ |det(•)|^s, q_x^s·Z), ∀s∈C, tel que, pour toute fonction de Schwartz surMr(Fx)

fx:K\GLr(Fx)/K →C d´ecompos´ee spectralement sous la forme du th´eor`eme

fx(g) =|det(g)|⁻x^r2 · Z

Im{π}^r_x,K

dπ·fx,π(g)·Lx

π^∨, qx⁻¹²

, ∀g ,

saψx-transform´ee de Fourierfbx soit donn´ee par la d´ecomposition spectrale

fbx(g) =|det(g)|⁻x^r2· Z

Im{π}^r_x,K

dπ·fx,π(g⁻¹)·Lx

π, q⁻

1

x2

·εx

π, ψx, q⁻

1

x2

, ∀g .

Remarque :

On utilise le fait que siϕ_π: GL_r(F_x)→Cest ´el´ement de l’espace π_K^∨ π_K des coefficients matriciels de π_K, alors g 7→ ϕ_π(g⁻¹) est ´el´ement de l’espace πKπ_K^∨ des coefficients matriciels deπ_K^∨.

Le calcul des facteursLxet εxdes repr´esentationsπ∈ {π}^r_xde GLr(Fx) se ram`ene `a celui des facteurs correspondants des caract`eresχ∈ {π}¹_xdeF_x^×dans au moins deux cas extrˆemes :

• le cas des repr´esentations non ramifi´ees, c’est-`a-dire des π ∈ {π}<sup>r</sup><sub>x,∅</sub> = {π}<sup>r</sup><sub>x,K</sub> o`uK= GL_r(O_x),

• le cas des repr´esentations de la forme

π·ω=π⊗(ω◦det(•))

o`u π ∈ {π}<sup>r</sup><sub>x,K</sub> pour un certainK ⊂GL<sub>r</sub>(F<sub>x</sub>) et ω : F<sub>x</sub><sup>×</sup> → C<sup>×</sup> est un caract`ere assez ramifi´e en fonction deK.

Les repr´esentations non ramifi´ees sont connues grˆace au th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme (Satake)–

SiK= GLr(Ox), l’alg`ebre de convolution “non ramifi´ee”

H^r_x,∅=H^GL_x,K^r=C_c(GL_r(O_x)\GL_r(F_x)/GL_r(O_x)) est commutative et canoniquement isomorphe `a

(H^T_x,∅^r)^Sr =Cc(Tr(Fx)/Tr(Ox))^Sr =C[Tbr]^Sr

o`u Tr=G^rm d´esigne le tore diagonal deGLr etTbr= (C^×)^r son tore complexe dual.

Remarque :

Comme H^r_x,∅ est commutative, elle s’identifie aussi `a l’alg`ebre A^r_x,∅ = A^GL_x,GL^r

r(O_x).

Il r´esulte de ce th´eor`eme que se donner une repr´esentation non ramifi´ee π∈ {π}<sup>r</sup><sub>x,∅</sub> ´equivaut `a se donner une famille dercaract`eres non ramifi´es

χ¹_π, . . . , χ^r_π:F_x^×/O^×_x →C^× bien d´efinie `a l’ordre pr`es.

On a : Th´eor`eme–

(i) (Godement, Jacquet)Pour toute repr´esentation non ramifi´eeπ∈ {π}^r_x,∅, on a

Lx(π, Z) = Y

1≤i≤r

Lx(χⁱ_π, Z) et

εx(π, ψx, Z) = Y

1≤i≤r

εx(χⁱ_π, ψx, Z).

(ii) (Jacquet, Shalika) Si π ∈ {π}^r_x,K pour un certain K ⊂GLr(Fx) et ω : F_x^×→C^× est un caract`ere assez ramifi´e en fonction deK, on a

Lx(π·ω, Z) = 1 et

εx(π·ω, ψx, Z) =εx(χπ·ω, ψx, Z)·εx(ω, ψx, Z)^r−1 o`uχπ:F<sub>x</sub><sup>×</sup>→C<sup>×</sup> d´esigne le caract`ere central deπ.

En dehors de ces cas, les facteursLx et surtout εx des repr´esentationsπ∈ {π}^r_x sont beaucoup plus complexes et ne peuvent en g´en´eral ˆetre ramen´es au cas du rangr= 1.

5 Transformations de Fourier sur G(F

)

La d´ecomposition spectrale sur GLr(Fx) de laψx-transformation de Fourier surMr(Fx) am`ene `a poser la d´efinition suivante :

D´efinition–

SoitFxun corps local ultram´etrique.

SoitGun groupe r´eductif sur Fxmuni d’un caract`ere non trivial detG:G→Gm.

Soitρla donn´ee d’un caract`ere

detρ:G→Gm

et d’une mani`ere d’associer `a toute π∈ {π}^G_x une fraction rationnelle enZ L_x(ρ, π, Z) =L_x(ρ, π⊗ |detG(•)|^s_x, q^s_x·Z), ∀s ,

et un monˆome en Z^±1

ε_x(ρ, π, Z) =ε_x(ρ, π⊗ |det_G(•)|^s_x, q^s_x·Z), ∀s , tels que :

• l’inverse Lx(ρ, π, Z)⁻¹est un polynˆome enZ etπsur chaque{π}^G_x,K qui vaut 1 pourZ = 0,

• le monˆome εx(ρ, π, Z) est un polynˆome inversible en Z etπ sur chaque {π}^G_x,K.

Alors :

(i) On appelleρ-fonctions sur G(Fx) les fonctions fx:K\G(Fx)/K→C dont les restrictions aux fibres de l’homomorphisme

|detG(•)|x:G(Fx)→q_x^Z

sont `a support compact, et qui se d´ecomposent spectralement sous la forme

fx(g) =|detρ(g)|⁻x¹² · Z

Im{π}^G_K

dπ·fx,π(g)·L

ρ, π^∨, q⁻

1

x2

o`u

• pour toutg∈G(Fx),

π7→f_x,π(g) est une fonction polynomiale sur{π}^G_x,K,

• pour touteπ∈ {π}^G_x,K, la fonction surG(Fx) g7→f_x,π(g) est ´el´ement de l’espace π_K^∨ πK,

• π^∨= lim

−→π_K^∨ d´esigne la repr´esentation contragr´ediente de chaqueπ∈ {π}^G_x.

(ii) On appelle ρ-transformation de Fourier l’op´erateur qui associe `a toute ρ-fonction fx d´ecompos´ee spectralement comme ci-dessus la fonction

fb_x(g) =|det_ρ(g)|⁻x¹²· Z

Im{π}^G_x,K

dπ·f_x,π(g⁻¹)·L

ρ, π, q⁻x¹²

·ε_x

ρ, π, q⁻x¹²

.

Remarque :

Il r´esulte de la d´efinition que l’espace des ρ-fonctions fx est invariant par translation `a gauche ou `a droite par les ´el´ementsg∈G(Fx) et que

fcx^g=|detρ(g)|⁻¹_x · ^g−1fbx,

gcfx=|detρ(g)|⁻¹_x ·fb_x^g−1.

SiG=T est un tore d´eploy´e (c’est-`a-dire isomorphe `a une puissance deGm) surF_x, on noteTble tore complexe “dual” deT d´efini en ´echangeant les r´eseaux de caract`eres et de cocaract`eres

XTb=X_T^∨, X^∨

Tb =XT.

Voici une mani`ere naturelle de d´efinir sur un telG=T une donn´eeρcomme ci-dessus :

Proposition–

SoitG=T un tore d´eploy´e surFx muni d’un caract`ere detG= detT :T →Gm. Soit

ρT = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb→(C^×)^r=Tbr

une collection de caract`eres de Tb telle que :

• ρT est injectif, si bien que l’homomorphisme dual ρ^∨_T = (ρ^1∨_T , . . . , ρ^r∨_T ) :T_r=G^rm→T est surjectif,

• pour 1≤i≤r, le compos´e du caract`ere ρ<sup>i</sup><sub>T</sub> :Tb→C<sup>×</sup> et du cocaract`ere detcT :C^×→Tbdual de detT est l’identit´e deC^×.

Posons

detρ_T = detT

et, pour tout caract`ere χ∈ {π}^T_x deT(Fx), Lx(ρT, χ, Z) = Y

1≤i≤r

Lx(χ◦ρ^i∨_T , Z), εx(ρT, χ, Z) = Y

1≤i≤r

εx(χ◦ρ^i∨_T , ψx, Z). Alors :

(i) Les ρ_T-fonctions sur T(F_x) sont exactement les fonctions d´eduites des fonctions localement constantes `a support compact

F_x^r→C

par int´egration le long des fibres de l’homomorphisme surjectif ρ^∨_T : (F_x^×)^r→T(F_x).

(ii) LaρT-transformation de Fourier surT(Fx)est induite par laψx-transfor- mation de Fourier sur F_x^r via ρ^∨_T.

Si G est un groupe r´eductif d´eploy´e sur F_x, il poss`ede un tore maximalT d´eploy´e sur F<sub>x</sub>, muni d’une action du groupe de Weyl W<sub>G</sub>. Si de plus ρ<sub>T</sub> = (ρ<sup>1</sup><sub>T</sub>, . . . , ρ<sup>r</sup><sub>T</sub>) :Tb→(C<sup>×</sup>)<sup>r</sup> est une famille de caract`eres deTb comme ci-dessus, stable par l’action deW_G, les facteurs

L_x(ρ_T, χ, Z) et ε_x(ρ_T, χ, Z)

des caract`eresχ∈ {π}^T_x sont invariants par l’action induite deW_G sur{π}^T_x. Or on a :

Th´eor`eme–

SoitGun groupe r´eductif d´eploy´e surF_x, de tore maximal T. Alors :

(i) Ga une structure O_x-rationnelle naturelle, etG(O_x)est un sous-groupe ouvert compact de G(Fx).

(ii) Si K=G(Ox), l’alg`ebre de convolution “non ramifi´ee”

H^G_x,∅=H^G_x,K =Cc(G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)) est commutative et canoniquement isomorphe `a

(H^T_x,∅)^WG =Cc(T(Fx)/T(Ox))^WG =C[Tb]^WG.

Il r´esulte de ce th´eor`eme que se donner une repr´esentation non ramifi´ee π∈ {π}^G_x,∅={π}^G_x,G(O

x)´equivaut `a se donner un caract`ere z_π :T(F_x)/T(O_x)→C^× bien d´efini modulo l’action deWG.

Si donc la famille ρT = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) de caract`eres ρⁱ_T, 1≤i ≤r, deTb est stable par l’action deW_G, on peut poser

L_x(ρ, π, Z) = L_x(ρ_T, z_π, Z) εx(ρ, π, Z) = εx(ρT, zπ, Z) pour toute repr´esentation non ramifi´eeπ∈ {π}^G_x,∅.

Sous la mˆeme hypoth`ese, le caract`ere µbG= Y

1≤i≤r

ρⁱ_T :Tb→C^×

est fix´e par l’action deW_G, et il lui correspond un cocaract`ere central µG :G^m→G .

Pour touteπ∈ {π}^G_x,F_x^× agit surπviaµGpar un caract`ereχπ:F<sub>x</sub><sup>×</sup>→C<sup>×</sup> que l’on peut appeler le caract`ere central deπ.

Pour toutK ⊂G(F_x), touteπ ∈ {π}^G_x,K et tout caract`ere ω :F_x^× →C^×, notons

π·ω=π⊗(ω◦det_G(•)).

Siω est assez ramifi´e en fonction deK, il est naturel de poser Lx(ρ, π·ω, Z) = 1,

ε_x(ρ, π·ω, Z) = ε_x(χ_πω, ψ_x, Z)·ε_x(ω, ψ_x, Z)^r−1.

Restent, bien sˆur, bien d’autres repr´esentationsπ∈ {π}^G_x pour lesquelles on ne saurait d´efinir naturellement des facteurs

Lx(ρ, π, Z) et εx(ρ, π, Z)

`

a partir d’une donn´ee

ρT = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb→(C^×)^r stable parWG comme ci-dessus.

6 Formule de Poisson sur M

( R ) puis M

( A )

Revenons au corpsRmuni du caract`ere ψ∞:R3t7→e^2πit et aux op´erateurs deψ_∞-transformation de Fourier

f 7→fb=

"

m⁰7→

Z

Mr(R)

dm·f(m)·ψ_∞(Tr(mm⁰))

#

des espaces de fonctions de Schwartzf :M_r(R)→C.

Le groupe additif localement compactRcontientZcomme sous-groupe dis- cret. Le quotient R/Z est compact et de volume 1 pour la mesure autoduale.

Les caract`eres deRtriviaux surZsont exactement les R3t7→ψ<sub>∞</sub>(n·t), n∈Z, d’o`u l’on d´eduit la formule de Poisson :

Th´eor`eme–

Pour toute fonction de Schwartz

f :M_n(R)→C, on a

X

γ∈M_n(Z)

f(γ) = X

γ∈M_n(Z)

fb(γ).

Nous allons rappeler la g´en´eralisation arithm´etique de cette formule d´emontr´ee par Tate dans le cadre de la th´eorie des ad`eles.

Consid´erons pour cela un “corps global”F, c’est-`a-dire

• Qou une extension finie deQ, appel´ee “corps de nombres”,

• Fq(X) ou une extension finie deFq(X), appel´ee “corps de fonctions”.

Notons|F|l’ensemble des corps locaux (F_x,|•|x) qui s’obtiennent en compl´e- tantF par une norme|•|x. Cet ensemble est toujours d´enombrable ; ses ´el´ements xs’appellent les places. Si F est un corps de fonctions, toutes ses places sont ultram´etriques. Si F est un corps de nombres, il a un nombre fini de places archim´ediennes – telles que F_x∼=RouC– et les autres sont ultram´etriques.

L’anneau topologique des “ad`eles” deF est d´efini comme le sous-anneau AF ⊂ Y

x∈|F|

Fx

constitu´e des familles (ax∈Fx)_x∈|F|telles que a_x∈O_x, soit|a_x|_x≤1,

en “presque toute” placex∈ |F|(ce qui signifie “toute place sauf un ensemble fini”).

Le sous-groupe diagonalF ,→ Q

x∈|F|

Fxest contenu dansA, ce qui signifie que pour toutγ∈F^×, on a

|γ|x= 1 en presque toute placex∈ |F|. On a :

Proposition–

(i) (“Formule du produit”)Pour tout γ∈F^×, on a Y

x∈|F|

|γ|x= 1.

(ii) F est un sous-groupe discret du groupe topologique localement compact A.

(iii) Le quotient A/F est compact.

Choisissons une fois pour toutes un caract`ere additif continu non trivial

ψ= Y

x∈|F|

ψ_x:A→C^×

qui est trivial sur le sous-groupe discret cocompactF. Ce caract`ere est n´ecessaire- ment unitaire, ainsi que ses composantes

ψx:Fx→C^×.

En toute place x ∈ |F|, munissons Fx et Mr(Fx) de la mesure additive

“autoduale” pour laquelle l’automorphisme r´eciproque de laψx-transformation de Fourier des fonctions de Schwartz

f_x7→fb_x=

"

m⁰ 7→

Z

Mr(Fx)

dm·f_x(m)·ψ_x(Tr(mm⁰))

#

est laψ_x=ψ_x⁻¹-transformation de Fourier.

MunissonsAetM_r(A) de la mesure produit, et appelons fonctions de Schwartz surMr(A) les combinaisons lin´eaires de produits

f = O

x∈|F|

fx

de fonctions de Schwartzfx:Mr(Fx)→C´egales `a la fonction caract´eristique 1I_Mr(Ox)en presque toute place ultram´etriquex.

Laψ-transformation de Fourier globale f 7→fb=

"

m⁰7→

Z

M_r(A)

dm·f(m)·ψ(Tr(mm⁰))

#

envoie chaque N

x∈|F|

fx sur N

x∈|F|

fbx. On montre que les caract`eres

A/F →C^× sont exactement les

A3a7→ψ(γ·a), γ∈F , et que le volume du quotient compactA/F est 1.

On en d´eduit la formule de Poisson ad´elique de Tate : Th´eor`eme–

Pour toute fonction de Schwartz

f :Mr(A)→C, on a

X

γ∈M_r(F)

f(γ) = X

γ∈M_r(F)

fb(γ).

7 Nouvelle expression de la formule de Poisson sur GL

( A )

De la mˆeme fa¸con que nous avons ramen´e les transformations de Fourier desM_r(F_x) aux GL_r(F_x) et, `a partir de l`a, propos´e une forme tr`es g´en´erale de transformation de Fourier sur les groupes r´eductifs locauxG(F_x), nous voudrions ramener les formules de Poisson desMr(A) aux GLr(A) afin de proposer une forme plus g´en´erale de formule de Poisson sur les groupes r´eductifs ad´eliques G(A).

Toute la difficult´e r´eside dans la contribution des matrices non-inversibles γ∈M_r(F)−GL_r(F) `a la fonctionnelle de Poissonf 7→ P

γ∈Mr(F)

f(γ).

Voici une mani`ere simple de faire disparaˆıtre les termes de bord associ´es `a ces matrices dans le cas d’une fonction de Schwartzf = N

x∈|F|

fxtr`es ramifi´ee en au moins une place :

Proposition– Soit f = N

x∈|F|

f_x : M_r(A) → C une fonction de Schwartz telle que, en au moins une place ultram´etrique x₀, le facteur f_x0 est le produit

fx₀ =f_x⁰₀·ωx₀◦det(•)

d’une fonctionf_x⁰₀ invariante par un certain sous-groupe ouvert compact K ⊂ GLr(Fx₀)et d’un caract`ere ωx<sub>0</sub> :F<sub>x</sub><sup>×</sup><sub>0</sub> →C<sup>×</sup> tr`es ramifi´e en fonction de K.

Alors le support def_x0 est une partie compacte deGL_r(F_x0), de mˆeme que celui defb_x0, et on a

X

γ∈GLr(F)

f(γ) = X

γ∈GLr(F)

fb(γ).

Dans le cas g´en´eral d’une fonction de Schwartz arbitraire

f :Mr(A)→C, on a besoin de la d´efinition suivante :

D´efinition–

Soitx₀ une place ultram´etrique de F.

Soitfx₀ :Mr(Fx₀)→Cune fonction de Schwartz qui est non-ramifi´ee, c’est-

`

a-dire invariante `a gauche et `a droite par GLr(Ox₀), et dont la d´ecomposition spectrale a la forme

f_x0(g) =|det(g)|⁻x₀^r2 · Z

Im{π}^r_x,∅

dπ·f_x0,π(g)·L_x0 π^∨, q⁻x₀¹²

, ∀g .

Alors, pour tous N, N⁰∈N, on note

f_x^N,N₀ ⁰ :Mr(Fx₀)→C la fonction de Schwartz d´efinie par l’expression spectrale

f_x^N,N0

0 (g) = |det(g)|⁻x₀^r2 · Z

Im{π}^r_x,∅

dπ

· fx₀,π(g)·Lx₀

π^∨, q⁻x₀¹²

·I_x^N₀ π, qx⁻₀¹²

·I_x^N₀⁰ π^∨, qx⁻₀¹²

o`u I_x^N₀(π, Z) d´esigne le polynˆome en Z etπproduit de L_x0(π, Z)⁻¹

et du monˆome de degr´e N en Z qui apparaˆıt dans le d´eveloppement en s´erie formelle enZ de l’inverse

Lx₀(π, Z). Remarque :

On remarque que chaque fonctionf_x^N,N₀ ⁰ et sa transform´ee de Fourierf\x^N,N0 ⁰

sont `a support compact dans GLr(Fx₀).

D’autre part, on a dans l’anneau des s´eries formelles enZ l’´egalit´e X

N∈N

I_x^N₀(π, Z) = 1 d’o`u l’on d´eduit

X

N,N⁰∈N

f_x^N,N0

0 (g) =f_x0(g), ∀g∈GL_r(F_x0).

Cette d´efinition permet de formuler le th´eor`eme suivant qui ram`ene l’expres- sion de la formule de Poisson deMr(A) `a GLr(A) :

Th´eor`eme– Soit f = N

x∈|F|

fx : GLr(A) → C une fonction de l’espace de Schwartz de M_r(A).

Soitx0∈ |F|une place ultram´etrique en laquelle le facteurfx₀ def est non ramifi´e.

Alors :

(i) La s´erie formelle

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· X

γ∈GLr(F)



f_x^N,N₀ ⁰⊗



 O

x6=x0

fx







(γ) est une fraction rationnelle en Z.

(ii) Sa “valeur r´egularis´ee” enZ= 1(d´efinie en soustrayant l’unique expres- sion de la forme P

1≤i≤k

a_i·(Z−1)⁻ⁱqui fait disparaˆıtre l’´eventuel pˆole en Z = 1), not´eeS(f), ne d´epend pas du choix de la placex0.

(iii) On a

X

γ∈Mr(F)

f(γ) =



 X

γ∈GLr(F)

f(γ)



+



 X

γ∈GLr(F)

fb(γ)



−S(f).

Remarque :

La d´emonstration de ce th´eor`eme utilise :

– le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands,

– les propri´et´es globales des fonctionsLd´emontr´ees par Godement et Jac- quet.

8 Forme cherch´ ee de formules de Poisson sur G( A )

Consid´erons maintenant un groupe r´eductif Gsur un corps globalF, muni d’un caract`ere non trivial

detG:G→Gm. Soitρla donn´ee de :

• un caract`ere detρ:G→Gm,

• en toute place ultram´etrique x ∈ |F|, une mani`ere d’associer `a toute π∈ {π}^G_x une fraction rationnelle enZ

L_x(ρ, π, Z) =L_x(ρ, π⊗ |detG(•)|^s_x, q_x^s·Z), ∀s , et un monˆome enZ^±1

εx(ρ, π, Z) =εx(ρ, π⊗ |detG(•)|^s_x, q_x^s·Z), ∀s , v´erifiant les propri´et´es du paragraphe 5,

• en toute place archim´ediennex∈ |F|, des facteurs spectraux analogues.

Comme on a vu, ρ permet de d´efinir en toute place ultram´etrique x de F l’espace desρ-fonctions

fx(•) =|detρ(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^G_x,K

dπ·fx,π(•)·Lx

ρ, π^∨, q⁻

1

x2

puis laρ-transformation de Fourier de ces fonctions f_x7→fb_x(•) =|detρ(•)|⁻x¹²·

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·fx,π((•)⁻¹)·Lx

ρ, π, qx⁻¹²

·εx

ρ, π, qx⁻¹²

.

Et de mˆeme en les places archim´ediennes deF.

En presque toute place ultram´etrique xdeF, le groupe r´eductifGest “non ramifi´e”, donc admet une structureO_x-rationnelle, et le groupeG(F_x) contient le sous-groupe ouvert compactG(O_x). En une telle place, on appelle “ρ-fonction standard” l’uniqueρ-fonction non-ramifi´ee

fx:G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)→C

dont les raies spectralesfx,π,π∈ {π}^G_x,∅={π}^G_x,G(O

x)v´erifient fx,π(1) = 1, ∀π .

On appelleρ-fonction globale

f :G(A)→C les combinaisons lin´eaires de produits

O

x∈|F|

fx:G(A)→C deρ-fonctions locales

f_x:G(F_x)→C presque toutes ´egales auxρ-fonctions standard.

Par analogie avec le cas de GL_r, posons : D´efinition–

Soitx0une place ultram´etrique deF en laquelle le groupe r´eductifGest non ramifi´e.

Soit fx₀ : G(Fx₀)→C une ρ-fonction non ramifi´ee, c’est-`a-dire invariante

`

a gauche et `a droite par G(Ox), et dont la d´ecomposition spectrale a la forme fx₀(•) =|detρ(•)|⁻x₀¹² ·

Z

Im{π}^G_x,∅

dπ·fx₀,π(•)·Lx₀

ρ, π^∨, q⁻

1

x₀2

.

Alors, pour tous N, N⁰∈N, on note

f_x^N,N₀ ⁰ :G(Fx₀)→C laρ-fonction d´efinie par l’expression spectrale

f_x^N,N₀ ⁰(•) = |detρ(•)|⁻x0¹² · Z

Im{π}^G_x,∅

dπ

·fx0,π(•)·Lx0

ρ, π^∨, q⁻

1

x₀2

·I_x^N₀ ρ, π, q⁻

1

x₀2

·I_x^N₀⁰

ρ, π^∨, q⁻

1

x₀2

o`u I_x^N₀(ρ, π, Z)d´esigne le polynˆome enZ etπ produit de L_x0(ρ, π, Z)⁻¹

et du monˆome de degr´e N en Z qui apparaˆıt dans le d´eveloppement en s´erie formelle enZ de l’inverse

L_x0(ρ, π, Z).

Remarque :

Comme dans le cas lin´eaire, on remarque que chaque fonction f_x^N,N₀ ⁰ et sa ρ-transform´ee de Fourierf\x^N,N0 ⁰ sont `a support compact dansG(Fx₀).

D’autre part, on a dans l’anneau des s´eries formelles enZ l’´egalit´e X

N∈N

I_x^N

0(ρ, π, Z) = 1 d’o`u l’on d´eduit

X

N,N⁰∈N

f_x^N,N₀ ⁰(g) =fx₀(g), ∀g∈G(Fx₀).

Le cas de GLr et de la transformation de Fourier lin´eaire surMr(A) am`ene

`

a envisager la forme g´en´erale suivante pour d’´eventuelles autres formules de Poisson :

D´efinition–

Soit G un groupe r´eductif sur un corps global F, muni d’un caract`ere non trivialdet_G:G→Gm.

Soitρune donn´ee globale comme ci-dessus.

(i) On dira que ρ satisfait la formule de Poisson restreinte si, pour toute ρ-fonction

f = O

x∈|F|

fx:G(A)→C

dont le facteur fx₀ en au moins une place ultram´etriquex0est le produit f_x0:f_x⁰

0·ω◦det_G(•)

d’une fonctionf_x⁰₀ invariante par un certain sous-groupe ouvert compact K ⊂G(Fx₀) et d’un caract`ere ωx<sub>0</sub> :F<sub>x</sub><sup>×</sup><sub>0</sub> →C<sup>×</sup> tr`es ramifi´e en fonction deK, on a

X

γ∈G(F)

f(γ) = X

γ∈G(F)

fb(γ).

(ii) On dira que ρ satisfait la formule de Poisson g´en´erale si, pour toute ρ-fonction

f = O

x∈|F|

fx:G(A)→C

et pour toute place ultram´etrique x₀∈ |F|en laquelleGetf_x0 sont non- ramifi´es, la s´erie formelle

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· X

γ∈G(F)



f_x^N,N₀ ⁰⊗



 O

x6=x0

fx







(γ)