C’est un espace vectoriel filtrant de fonctions surRd

9.1. Application d’int´egration

Soient M un ensemble non-vide et S un espace vectoriel de fonctions r´eelles sur M. On dit que S est filtrant si pour tout couple (f, g) de fonctions dans S, on a min(f, g)∈S.

SiSest un espace vectoriel filtrant de fonctions surM, alors pour tout couple (f, g) de fonctions dansS, on a max(f, g)∈S. En effet, on a max(f, g) =f+g−min(f, g).

Exemple 9.1. — Soitd>1 un entier. SoitL¹_sim(R^d) l’espace des fonctions simples int´egrable surR^d. C’est un espace vectoriel filtrant de fonctions surR^d.

D´efinition 9.2. — SoientM un ensemble non-vide etS un espace vectoriel filtrant de fonctions sur M. On appelle application d’int´egration sur S toute application lin´eaireR

deSversRqui envoie toute fonction positive en un nombre positif, et telle que, pour toute suite d´ecroissante (fn)n>1dansS qui converge vers 0, on a

n→+∞lim Z

f_n = 0.

Exemple 9.3. — Le th´eor`eme 8.4 montre queR

dxest une application d’int´egration sur leL¹_sim(R^d).

Proposition 9.4. — Soient M un ensemble non-vide, S un espace vectoriel filtrant de fonctions sur M et R

: S → R une application d’int´egration sur S. Si (f_n)_n>0 est une suite croissante de fonctions dans S telle que f = sup_n>0fn ∈S, alors on a R f = sup_n>0R

fn.

D´emonstration. — La suite (f−fn)n>0 dansS est d´ecroissante et converge vers 0.

On a donc

n→+∞lim Z

f−fn= 0,

38 S ´EANCE 9-10 : FONCTIONS INT ´EGRABLES

d’o`u

sup

n>0

Z

f_n= lim

n→+∞

Z f_n =

Z f.

9.2. Prolongement d’une application d’int´egration

Soient M un ensemble non-vide etS un espace vectoriel filtrant de fonctions sur M. On d´esigne parS_↑ l’ensemble de fonctions surM (`a valeurs dansR∪ {+∞}) qui s’´ecrivent comme la limite d’une suite croissante de fonctions dansS.

Lemme 9.5. — Soient (fn)n>0 une suite dans S et f un ´el´ement de S. Si f 6

n→+∞lim fn, alors on a

Z

f 6 lim

n→+∞

Z f_n.

D´emonstration. — Pour tout entier n ∈N, soit gn = min(fn, f). La suite (gn)n>0

est croissante et converge versf. On a alors Z

f = lim

n→+∞

Z

gn 6 lim

n→+∞

Z fn.

Proposition 9.6. — Si(f_n)_n>0et(g_n)_n>0sont deux suites croissantes dansS telles que lim

n→+∞fn 6 lim

n→+∞gn. Alors on a

n→+∞lim Z

fn 6 lim

n→+∞

Z gn. D´emonstration. — Pour tout entiermon agm6 lim

n→+∞fn. Par le lemme pr´ec´edent,

on a Z

gm6 lim

n→+∞

Z fn.

Par passage `a la limite quandm→+∞, on obtient le r´esultat souhait´e.

La proposition pr´ec´edente permet d’´etendreR

en une application deS↑ versR∪ {+∞} : sif est une fonction dans S_↑, on d´efinit

Z

f = lim

n→+∞

Z fn,

o`u (f_n)_n>0 est une suite croissante dansS qui convergent versf. Cette d´efinition ne depend pas du choix de la suite (fn)n>0. On v´erifie facilement les propri´et´es suivantes.

(1) L’ensembleS_↑ est stable par l’addition. En outre, sif et g sont deux fonctions dansS_↑, alors on aR

f+g=R f +R

g.

(2) L’ensembleS_↑ est stable par la dilatation par un scalaire positif. En outre, sif est une fonction dansS↑ et siλ>0 est un nombre r´eel, alorsR

λf=λR f.

(3) Sif etg sont deux ´el´ements dansS↑ tels que f 6g, alors on aR f 6R

g.

(4) Sif etgsont deux ´el´ements dansS_↑, alors min(f, g) et max(f, g) sont aussi dans S_↑.

Proposition 9.7. — Si(f_n)_n>0 est une suite croissante de fonctions dansS_↑, alors f = sup_n>0fn∈S_↑. En outre, on a R

f = sup_n>0R fn.

D´emonstration. — Pour toutn∈N, soit (gn,m)m>0 une suite d’applications dansS qui converge vers fn. Pour tout m ∈ N, soit hm = max(g1,m, . . . , gm,m). C’est un

´

el´ement dansS. En outre, on afm>hm>gn,mpourm>n. Doncf = sup_m>0hm. On a alors

Z

f = sup

m>0

Z

hm6 sup

m>0

Z fm.

Le th´eor`eme est ainsi d´emontr´e.

On d´esigne parS_↓ l’ensemble des applications deM versR∪ {−∞} qui s’´ecrivent comme la limite d’une suite d´ecroissante dansS. On aS_↓={−f|f ∈S_↑}. De fa¸con similaire, on peut montrer que l’ensemble S↓ est stable par l’addition, la dilatation par un scalaire positif et la limite d´ecroissante. L’application R

se prolonge en une application deS_↓ versR∪ {−∞} qui pr´eserve l’addition et la multiplication par un scalaire positif, et tel que, pour toute suite d´ecroissante (gn)n>0dansS_↓, on a

Z

n→+∞lim gn = lim

n→+∞

Z

gn= inf

n>0

Z gn.

9.3. Fonction int´egrable

SoientM un ensemble non-vide,S un espace vectoriel filtrant de fonctions surM. On d´esigne parL¹(S,R

) l’ensemble des fonctions f sur M telle que sup

g∈S↓, g6f

Z

g= inf

h∈S↑, h>f

Z

h∈R, et on d´esigne parR

f cette quantiti´e. On obtient alors une application Z

:L¹(S,R

)−→R

Proposition 9.8. — L’ensemble L¹(S,R

) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions surM etR

:L¹(S,R

)→Rest une application lin´eaire positive (i.e., R

envoie une fonction positive en une valeur positive).

D´emonstration. — Par d´efinition L¹(S,R

) est stable par l’addition et la dilatation par un scalaire positif etR

:L¹(S,R

)→Rpr´eserve l’addition et la multiplication par

40 S ´EANCE 9-10 : FONCTIONS INT ´EGRABLES

un scalaire positif. En outre, sif est un ´el´ement deL¹(S,R ), alors sup

g∈S↓, g6−f

Z

g=− inf

h∈S↑, h>f

Z

h=− sup

g∈S↓g6f

Z

g= inf

h∈S↑, h>−f

Z h.

Donc−f ∈L¹(S,R ) etR

−f =−R

f. La derni`ere assertion est triviale.

Th´eor`eme 9.9. — Soient (fn)n>0 une suite croissante de fonctions dans L¹(S,R ) telle que f := sup_n>0f_n soit une fonction r´eelle. Si sup_n>0R

f_n <+∞, alors on a f ∈L¹(S,R

)etR

f = sup_n>0R fn.

D´emonstration. — Quitte `a remplacerfn parfn−f0, on peut supposer quef0= 0.

Soit ε > 0. Pour tout entier n > 0, on choisit une fonction hn dans S_↑ telle que f_n−f_n−16h_n et queR

f_n−f_n−1≥(R

h_n)−ε/2ⁿ. On a alorsf_n6h₁+· · ·+h_net Z

f_n≥( Z

h₁+· · ·+ Z

h_n)−ε.

Soith=P

n>1hn. On ah∈S_↑ etR h=P

n>1hn. En outre, on af 6het

n→+∞lim Z

fn>

Z h−ε.

Pour tout entier n > 0 on peut choisir gn ∈ S_↓ telle que gn 6 fn 6 f et que R fn 6 R

gn +ε. Donc pour n assez grand on a R h 6 R

gn + 3ε. Comme ε est arbitraire, on obtientf ∈L¹(M,R

) et R

f = lim_n→+∞R f_n. Remarque 9.10. — Si f et g sont deux ´el´ements dans L¹(S,R

), alors max(f, g) et min(f, g) sont dans L¹(S,R

). Donc L¹(S,R

) est un espace vectoriel filtrant de fonctions surM.

9.4. Classes monotones

Soit M un ensemble non-vide. On appelle classe monotone toute famille M de fonctions sur M qui est stable par les limites des suites monotones (croissantes ou d´ecroissantes). Si S est une famille de fonctions sur M, on d´esigne par M(S) l’intersection de toutes les classes monotones contenantS. C’est la plut petite classe monotone contenantS.

Proposition 9.11. — SiS est un espace vectoriel filtrant de fonctions surM, alors M(S) l’est aussi.

D´emonstration. — Soit f une fonction surM. Soit M(f) l’ensemble des fonctions g telles queg+f et min(f, g) soient dansM(S). C’est une classe monotone. Si de plus f ∈ S, alors M(f) contient S, et donc il contient M(S); autrement dit, pour toute fonction g ∈ M(S), on ag+f ∈ M(S) et min(f, g) ∈ M(S). Cela montre que, pour toutf ∈M(S), on a M(f)⊃S et doncM(f)⊃M(S). En particulier,

pour tout couple (f, g) de fonctions dansM(S), les fonctionsf+g et min(f, g) sont dans M(S). Par l’argument similaire, on peut montrer que, si S est stable par la multiplication, alorsM(S) l’est aussi.

Soitλ∈R. On d´esigne par Mλ l’ensemble des fonctionsf telle queλf ∈M(S).

On aMλ⊃S. En outre,Mλest une classe monotone, doncMλ⊃M(S). Le r´esultat est ainsi d´emontr´e.

Lemme 9.12. — SoitS un espace vectoriel filtrant de fonctions surM. Toute fonc- tionf dansM(S)est born´ee sup´erieurement par une fonction dansS_↑

D´emonstration. — Soit M l’ensemble des fonctions qui v´erifient cette propri´et´e.

L’ensembleM est une classe monotone qui contientS, donc il contient M(S).

Lemme 9.13. — SoitS un espace vectoriel filtrant de fonctions surM. On d´esigne parS⁺ l’ensemble des fonctions positives dansS. Alors on aM(S⁺) =M(S)⁺, o`u M(S)⁺ d´esigne l’ensemble des fonctions positives dans M(S).

D´emonstration. — CommeM(S)⁺est une classe monotone contenantS⁺, on obtient M(S⁺)⊂M(S⁺).

Soit f ∈ S⁺. L’ensemble des fonctions g telles que min(f, g) ∈ M(S⁺) est une classe monotone contenant S⁺. On en d´eduit que, pour tout f ∈ S⁺ et tout g ∈ M(S⁺), on a min(f, g)∈M(S⁺).

Soith∈M(S)⁺. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, il existeξ∈S_↑ tel queh6ξ. On choisit une suite croissante (ξ_n) de fonctions positives dansStelle queξ_nconverge vers ξ lorsque ntend vers l’infini. Pour tout n, min(ξn, h) est un ´el´ement dans M(S⁺).

En outre, la suite (min(ξn, h))n>0est croissante et converge versh. On en d´eduit que h∈M(S⁺). Le r´esultat est ainsi d´emontr´e.

D´efinition 9.14. — Soient S un espace vectoriel filtrant de fonctions sur M. On d´esigne parL¹(S,R

) l’interesction deL¹(S,R

) avecM(S). Les fonctions dansL¹(S,R ) sont appel´ees des fonctions int´egrables.

Th´eor`eme 9.15. — Soient S un espace vectoriel filtrant de fonctions sur M et R une application d’int´egration sur S. Soit f une fonction dans M(S). Alors f est int´egrable si et seulement s’il existe g∈L¹(S,R

)telle que |f|6g.

D´emonstration. — La n´ecessit´e est trivial : il suffit de prendreg=|f|. Dans la suite, on d´emontre la suffissance. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer f positive.

L’ensemble des fonctions h∈ M(S)⁺ telles que min(f, h)∈ L¹(S,R

) est une classe monotone contenantS⁺, donc il contientM(S⁺). En particulier, on af = min(f, g)∈ L¹(S,R

).

Si une fonction positivef dansM(S) n’est pas int´egrable, on convient queR f = +∞. Si une applicationf deM versR+∪ {+∞}s’´ecrit comme la limite d’une suite

42 S ´EANCE 9-10 : FONCTIONS INT ´EGRABLES

croissante (fn)n>0de fonctions positives dansM(S), on d´efinit Z

f = lim

n→+∞

Z

fn∈R∪ {+∞}.

Th´eor`eme 9.16 (Fatou). — Soit (fn)n>0 une suite de fonctions positives dans M(S). Alors on a

Z lim inf

n→+∞f_n 6lim inf

n→+∞

Z f_n.

D´emonstration. — Pour tout entier n >0, soit gn := infm>nfm. La suite (gn)n>0

est croissante et on a lim

n→+∞g_n= lim inf

n→+∞f_n. Par cons´equent, on a Z

lim inf

n→+∞f_n= lim

n→+∞

Z

g_n6lim inf

n→+∞

Z f_n

car pour tout entiern>0 on ag_n 6f_n.

Th´eor`eme 9.17 (Convergence domin´ee). — Soit(fn)n>0une suite de fonctions dans M(S) qui converge vers une fonction f. S’il existe une fonction int´egrable g telle que |fn|6g pour tout entier n>0, alors f est int´egrable et on a

Z

f = lim

n→+∞

Z fn.

D´emonstration. — On applique le th´eor`eme de Fatou aux suites positives (g−fn)n>0

et (g+fn)n>0 pour obtenir Z

g−f 6lim inf

n→+∞

Z

g−f_n,

Z

g+f 6lim inf

n→+∞

Z

g+f_n.

On en d´eduit queg−f etg+f sont int´egrables. Doncf est int´egrable, et lim inf

n→+∞

Z fn>

Z

f >lim sup

n→+∞

Z fn,

d’o`u lim

n→+∞

Z f_n=

Z f.

9.5. Le cas de R^d

SiU est un ouvert dansR^d, alors 1l_U s’´ecrit comme la limite croissante de fonctions simples int´egrables. Donc 1lU ∈M(L¹_sim(R^d)). On end´eduit que, si F est une partie ferm´ee deR^d, alors 1lF est aussi dansM(L¹_sim(R^d)) car M(L¹_sim(R^d)) est un espace vectoriel surR. CommeM(L¹_sim(R^d)) est une classe monotone, on en d´eduit que les fonctions indicatrices de la r´eunion et de l’intersection d’une suite de parties ouvertes ou ferm´ees sont aussi dansM(L¹_sim(R^d)).

On d´esigne parL¹(R^d) l’espace des fonctions int´egrables sur R^d.

Proposition 9.18. — Toute fonction continue est dans M(L¹_sim)

D´emonstration. — Soitfune fonction continue surR^d. Commef = sup_n>0inf(f, n), on peut suppose quef est born´e sup´erieurement. Par la mˆeme raison on peut supposer quef est born´ee inf´erieurement. On suppose queA6f < B. Soitδ=B−A. Pour tout entiern>1, soit

f_n=

n

X

k=1

(A+kδ/n)1l_Ωn,k, o`u

Ωn,k={x∈R^d|A+ (k−1)δ/n6f(x)< A+kδ/n}.

L’ensemble Ωn,k est l’intersection d’un ouvert avec un ferm´e. Donc 1lΩ_n,k ∈ M(L¹_sim(R^d)) etf_n l’est aussi. Commef est la limite d´ecroissante desf_n, le r´esultat est d´emontr´e.

Proposition 9.19. — Sif est une fonction dansM(L¹_sim(R^d))et siAest une partie deR^d telle que 1l_A∈M(L¹_sim(R^d)), alors on a1l_Af ∈M(L¹_sim(R^d))

D´emonstration. — On d´esigne par MA l’ensemble des fonctions f telles que 1lAf ∈ M(L¹_sim(R^d)). C’est une classe monotone.

On commence par le cas o`u A est un pav´e. Dans ce cas-l`a on a MA ⊃L¹_sim(R^d) et donc MA ⊃M(L¹_sim(R^d)) et donc le r´esultat est vrai. Cela montre aussi que, si A est une partie deR^d telle que 1lA ∈M(L¹_sim(R^d)) et si f est une fonction simple int´egrable, alors 1lAf ∈M(L¹_sim(R^d)) (on ´ecritf comme une combinaison lin´eaire de fonctions indicatrices de pav´es). Par cons´equent on a toujours MA ⊃ L¹_sim(R^d) et doncMA⊃M(L¹_sim(R^d)). Le r´esultat est d´emontr´e.

D´efinition 9.20. — SoientAune partie deR^dtelle que 1lA∈M(L¹_sim(R^d)) etgune fonction d´efinie surAqui s’identifie `a la restriction d’une fonctionf ∈M(L¹_sim(R^d))

`

a A, on d´efinitR

Ag(x) dxcomme Z

1lA(x)f(x) dx, pourvu que 1lAf est int´egrable.