Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e Laurent Lafforgue

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent Lafforgue

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette

Expos´e III (23 et 31 mai 2006) : D´eveloppements asymptotiques 1. L’op´erateur de Shalika appliqu´e aux s´eries d’Eisenstein 2. Diagonalisation des noyaux d’Eisenstein transform´es 3. Le casG= GL2: calcul de r´esidus

4. Le casG= GL2: d´eplacement des contours d’int´egration 5. Le cas de l’induction automorphe de GL1`a GL2

6. D´eveloppements asymptotiques et formules de traces

7. D´eveloppements asymptotiques et partie spectrale du principe de fonctorialit´e

Expos´e III :

D´eveloppements asymptotiques

Dans le cadre d’un homomorphisme de transfert ^LG −→^{ρ L}H entre les L-groupes de deux groupes lin´eaires G et H dont le premier est ab´elien, nous montrons comment ne pas perdre la partie du spectre automorphe de G dont le transfert par ρ est dans le spectre d’Eisenstein de H. Dans l’Expos´e VI, nous g´en´eraliserons cette approche au cadre du transfert automorphe entre deux groupes lin´eaires quelconques.

La plus grande partie du travail se fait sur un seul groupe lin´eaire, avant d’ˆetre finalement appliqu´ee au groupe d’arriv´eeH.

Nous donnons des d´emonstrations compl`etes seulement dans le cas de l’induction automorphe de GL1 `a GL₂via une extension quadratique.

1 L’op´ erateur de Shalika appliqu´ e aux s´ eries d’Eisenstein

Nous sommes toujours en compagnie d’un groupe alg´ebrique lin´eaire G= Y

i∈I_G

Res_Ei/FGLr_i.

Consid´erons une paire discr`ete (P, π) telle queP ∈ P0 soit un sous-groupe parabolique non trivial deG, et que tous les facteurs deπsoient cuspidaux.

Si h∈ H^G/A_G est une fonction de Hecke invariante `a droite et `a gauche par un sous-groupe ouvertK deK₀^G, on peut ´ecrire

Λ₁Λ₂K_h^(P,π)(g₁, g₂) = 1

|Fixe (π)|· X

ϕ∈BK(P,π)

Z

Im Λ_P

dλ_P·ΛE_P^G(h(ϕ, λ_P), λ_P)(g₁)·ΛE_P^G(ϕ, λ_P)(g₂)

si bien que pour ´evaluer Λ1Λ2K_h^(P,π)(•,•), on doit ´etudier les expressions ΛE_P^G(ϕ, λP)

pour toute fonctionϕ∈L²_K(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π) et quandλP d´ecrit le tore ΛP. Commen¸cons par ´etudier les coefficients de Fourier

W E_P^G(ϕ, λP)(g) = Z

NB(F)\NB(A)

dnB·ψB(nB)·E_P^G(ϕ, λP)(nB·g). Ce sont des fractions rationnelles enλP ∈ΛP.

Pla¸cons-nous dans un ouvert de ΛP 3 λP o`u la s´erie d’Eisenstein E_P^G(ϕ, λP)(•) est d´efinie par la s´erie absolument convergente

E_P^G(ϕ, λP)(g) = X

δ∈P(F)\G(F)

(ϕ·λP)(δ·g).

Il n’y a pas de restriction `a supposer que le sous-groupe paraboliqueP<sup>op</sup>∈ P0 oppos´e deP contienneBou, si l’on pr´ef`ere, queP contienneB^op, le sous-groupe des matrices triangulaires inf´erieures. Dans ce cas, on a : Lemme III.1.– Pour tousP, π etϕcomme ci-dessus, et si P^op⊇B, on a pour toutλ_P de l’ouvert de Λ_P o`u la s´erie d’EisensteinE_P^G(ϕ, λ_P)converge absolument

W E_P^G(ϕ, λP)(g) = Z

M_P(F)∩NB(F)\NB(A)

dnB·ψB(nB)·(ϕ·λP)(nB·g).

D´emonstration.On part de la d´efinition de

E^G_P(ϕ, λ_P)(g) = X

δ∈P(F)\G(F)

(ϕ·λ_P)(δ·g) comme s´erie convergente.

D’apr`es la d´ecomposition de Bruhat deG(F), on peut ´ecrire P(F)\G(F) = a

w∈W_MP\WG

{w·ηB |ηB∈(w⁻¹P(F)w∩NB(F))\NB(F)}

d’o`u on tire la formule

W E_P^G(ϕ, λP)(g) = X

w∈W_MP\WG

Z

w⁻¹P(F)w∩NB(F)\NB(A)

dnB·ψB(nB)·(ϕ·λP)(w·nB·g).

L’hypoth`eseP<sup>op</sup>⊇B entraˆıne que siw∈W<sub>MP</sub>\W<sub>G</sub> est diff´erent de la classe de l’identit´e, la restriction du caract`ereψB `aNB(A)∩w<sup>−1</sup>NP(A)west non triviale, et donc l’int´egrale ci-dessus d’indicewvaut 0. La seule contribution qui subsiste est celle associ´ee `a w= Id, et elle vaut

Z

P(F)∩N_B(F)\N_B(A)

dn_B·ψ_B(n_B)·(ϕ·λ_P)(n_B·g).

On conclut en remarquant queP∩NB =MP∩NB puisqueP^op⊇B.

Nous voulons maintenant donner des propri´et´es g´en´erales des sommes ΛE^G_P(ϕ, λP)(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W E_P^G(ϕ, λP)(γ·g).

Dans ce but, notonsLK,ψ_B(ZG(F)·NB(F)\G(A)) l’espace des fonctions ϕ:Z_G(F)·N_B(F)\G(A)→C telles que

• ϕest invariante `a droite par le sous-groupe ouvertK deK₀^G,

• ϕ(n_B·g) =ψ_B(n_B)⁻¹·ϕ(g),∀n_B∈N_B(A),∀g∈G(A).

Et notonsL_K,cusp(Q(F)\G(A)) l’espace des fonctions ϕ⁰:Q(F)\G(A)→C telles que

• ϕ⁰ est invariante `a droite parK,

• pour tout sous-groupe parabolique non trivialP Gtel queNP ⊆NB, soit P ⊇B, on a Z

NP(F)\NP(A)

dnP·ϕ⁰(nP·g) = 0, ∀g∈G(A). Enfin, rappelons qu’on dispose surG(A) des applications “degr´es absolus”

deg :G(F)\G(A)→Z^IG, et “degr´es relatifs `aQ”

deg_Q:Q(F)\G(A)/AG→Z^IG, qui sont toutes deux invariantes `a droite par K₀^G. On a :

Proposition III.2.– On fixe un sous-groupe ouvertK deK₀^G. (i)Pour toute fonction ϕ∈ L_K,ψB(Z_G(F)·N_B(F)\G(A)), la somme

ϕ⁰(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

ϕ(γ·g)

est localement finie.

(ii)Cette somme d´efinit un isomorphisme

LK,ψB(Z_G(F)·N_B(F)\G(A))−→ L^∼ K,cusp(Q(F)\G(A)) dont l’isomorphisme r´eciproque est

ϕ⁰7→ϕ= g7→

Z

NB(F)\NB(A)

dnB·ψB(nB)·ϕ⁰(nB·g)

! .

(iii)Si on se restreint auxg∈Q(F)\G(A)dont les images pardeg etdeg_Qsont fix´ees, les supports de toutes les fonctionsϕ⁰∈ LK,cusp(Q(F)\G(A))sont contenus dans une partie compacte qui ne d´epend que deK.

D´emonstration.Pour chacune des assertions de la proposition, il suffit de traiter le cas o`uG= GL_r. (i) Consid´erons une fonction ϕde l’espaceLK,ψ_B(ZG(F)·NB(F)\G(A)), et un pointg∈G(A). Ce point a une d´ecomposition d’Iwasawa de la forme

g=n·m·k0

avec

k0 ∈ K₀^G= GLr(O_A), n ∈ N_r(A),

m ∈ MB_r(A) =TG(A) = (A^×)^r. On a

ϕ(g) =ψ⁻¹_r (n)·ϕ(m·k0),

et commeϕest invariante `a droite parK, on voit queϕ(g) ne peut ˆetre non nul que si la restriction deψr

`

aNr(A)∩m·k0·K·k₀⁻¹·m⁻¹ est triviale. En notantm= (λ1, λ2, . . . , λr), cela impose que

∀x∈ |X|, ∀i < r , vx(λi)−vx(λ_i−1)≥ −ax

pour une famille d’entiersax∈N,x∈ |X|, presque tous nuls et qui ne d´ependent que deK. On a montr´e : Lemme III.3.–Pour toute fonctionϕ∈ LK,ψ_B(ZG(F)·NB(F)\G(A))et tout ´el´ementg∈G(A), l’ensemble

{g⁰ ∈ZG(F)NB(F)\Q(A)|deg(g⁰) = 0, deg_Q(g⁰) = 0, ϕ(g⁰·g)6= 0}

est contenu dans une partie compacte qui ne d´epend que deK etg.

Suite de la d´emonstration de la Proposition III.2.

(i) r´esulte de ce que N_B⁻(F)\G⁻(F) est une partie discr`ete deZG(F)NB(F)\Q(A).

(ii) Consid´erons ϕ∈ LK,ψ_B(ZG(F)NB(F)\G(A)) et la fonction associ´ee ϕ⁰ :g7→ϕ⁰(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

ϕ(γ·g) = X

γ∈ZG(F)NB(F)\Q(F)

ϕ(γ·g).

La d´ecomposition de Bruhat permet d’´ecrire Z(F)N_B(F)\Q(F) =a

w

{w·η |η∈Z_G(F)·(w⁻¹N_B(F)w∩N_B(F))\B(F)}

o`uwd´ecrit l’ensemble des ´el´ements de WG=Sr tels quew(r) =r.

On a donc

ϕ⁰(g) = X

w∈Sr w(r)=r

X

η∈ZG(F)·(w⁻¹NB(F)w∩NB(F))\B(F)

ϕ(wη·g).

Mais pour tout sous-groupe parabolique non trivial P G tel que NB ⊇NP, soit B ⊆P, et pour toute permutationw ∈ Sr telle que w(r) = r, la restriction du caract`ere ψB `a NB(A)∩w NP(A)w⁻¹ est non triviale, et donc

Z

N_P(F)\NP(A)

dn_P·ϕ⁰(n_P·g) = 0, ∀g∈G(A), ce qui signifie que la fonctionϕ⁰ est ´el´ement de l’espace LK,cusp(Q(F)\G(A)).

De plus, pour toute permutation w ∈ Sr = WG telle que w(r) = r, la restriction du caract`ere ψB

`

a NB(A)∩w NB(A)w⁻¹ ne se confond avec celle du caract`ere ψB(w⁻¹•w) que si w est la permutation identique. Cela montre

Z

N_B(F)\NB(A)

dn_B·ψ_B(n_B)·ϕ⁰(n_B·g) =ϕ(g).

R´eciproquement, la preuve que pour toute fonctionϕ⁰∈ L_K,cusp(Q(F)\G(A)), on a

ϕ⁰(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

ϕ(γ·g)

si on poseϕ(g) =R

N_B(F)\NB(A)dnB·ψB(nB)·ϕ⁰(nB·g) est donn´ee dans le paragraphe 5 de [Shalika,1974].

(iii) Consid´erons une fonctionϕ⁰ ∈ LK,cusp(Q(F)\G(A)) et la fonction ϕ∈ LK,ψB(Z_B(F)N_B(F)\G(A)) qui lui correspond. Elles sont reli´ees par la formule

ϕ⁰(g) = X

γ∈Z_B(F)N_B(F)\Q(F)

ϕ(γ·g).

La conclusion r´esulte alors du Lemme III.3.

Toutes les assertions de la Proposition III.2 s’appliquent donc aux s´eries ΛE_P^G(ϕ, λB)(g) = X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W E_P^G(ϕ, λB)(γ·g).

En particulier, si on se restreint auxg∈Q(F)\G(A) dont les images par deg et deg_Qsont fix´ees, les supports de toutes les fonctions

g7→ΛE_P^G(ϕ, λB)(g)

sont contenus dans une partie compacte qui ne d´epend pas deλB ∈ΛB et deϕmais seulement deK.

A partir de la fonction

g7→Λ₁Λ₂K_h^(P,π)(g, g),

on peut donc introduire la s´erie formelle en le paquet de variableZ_•= (Zi)_i∈IG d´efinie comme la somme X

N•∈N^IG

Z_•^N•· Moyenne

deg_Q(g)=N•

Λ₁Λ₂K_h^(P,π)(g, g)

!

o`u on rappelle que par d´efinition

Moyenne

deg_Q(g)=N•

Λ₁Λ₂K_h^(P,π)(g, g) = Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ₁Λ₂K_h^(P,π)(g, g) vol{g∈Q(F)\G(A)/AG|deg_Q(g) =N•} . Notre but est de montrer que cette s´erie formelle est une fraction rationnelle et d’´etudier ses pˆoles.

2 Diagonalisation des noyaux d’Eisenstein transform´ es

Rappelons que pour toute fonction

Φ : [G(F)\G(A)/A_G]²→C (g₁, g₂)7→Φ(g₁, g₂)

invariante `a droite en les 2 variables par un sous-groupe ouvertK deK₀^G, on a pos´e W1W2Φ(g1, g2) =

Z Z

[N_B(F)\NB(A)]²

dn1·dn2·ψB(n1)·ψB(n2)·Φ(n1g1, n2g2) puis

Λ₁Λ₂Φ(g₁, g₂) = X

γ₁,γ₂∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W₁W₂Φ(γ₁g₁, γ₂g₂). Montrons :

Lemme III.4.–Pour toute fonction

Φ : [G(F)\G(A)/A_G]²→C comme ci-dessus, et `a condition de poser

W1W2Φ(g1, g2) = Z Z

[NB(F)\NB(A)]²

dn1·dn2·ψB(n1)·ψB(n2)·Φ(n1g1, n2g2),

on a pour toutN_•∈Z^IG l’´egalit´e Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ₁Λ₂Φ(g, g)

= Z

Q(F)\G(A)/AG

dg·1(deg_Q(g) =N_•)· X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W1W2Φ(γg, γg)

= Z

ZG(F)NB(A)\G(A)/AG

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·W1W2Φ(g, g).

D´emonstration.La d´efinition de l’op´erateur Λ ne d´epend pas du choix du caract`ereψB, donc on a Λ1Λ2Φ(g1, g2) = X

γ₁,γ₂∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

W1W2Φ(γ1g1, γ2g2).

Il n’y a pas de restriction `a supposer que la fonction Φ est un produit de fonctions d´efinies sur les diff´erents facteurs deG= Q

1≤i≤kG

Res_Ei/FGLr_i. Comme tous les groupes qui apparaissent,G, NB, Q, G⁻, N_B⁻, ZG, sont des produits de facteurs index´es par les indicesi∈IG, on peut supposer queGcompte un seul facteur puis queG= GLr.

Alors on a :

Q=Q_r−1,1=





















∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 ∗





















G⁻= GL⁻_r =





















∗ . . . ∗ 0 ... ... ...

∗ . . . ∗ 0 0 . . . 0 1





















N_B⁻ =N_r⁻=



































1 ∗ . . . ∗ 0 0 . .. . .. ... ... ... . .. . .. ∗ ... 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 1

































 Consid´erons l’ensemble des paires

(γ₁, γ₂) d’´el´ements deN_r⁻(F)\GL⁻_r(F).

Le groupe GL⁻_r(F) agit `a droite sur cet ensemble, qui se d´ecompose donc en orbites dont l’une est la diagonale. Soit Γ une des orbites diff´erentes de la diagonale. L’expression

X

(γ1,γ2)∈Γ

Z Z

[Nr(F)\Nr(A)]²

dn₁·dn₂·ψ_r(n₁·n⁻¹₂ )·Φ(n₁γ₁g, n₂γ₂g)

vue comme fonction deg∈G(A) reste invariante `a gauche parQ_r−1,1(F) etA_G.

Il s’agit de prouver que son image par la fonctionnelle d’int´egration Z

Qr−1,1(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N), vaut 0.

Pour tout rangr⁰, 1≤r⁰< r, on peut identifier GLr⁰ au sous-groupe des matrices de la forme





















∗ ... 0

. . . .

... 1 0

0 ... . ..

... 0 1



















 r⁰





 r−r⁰

dans GL_r. Les sous-groupes

Qr⁰ =





















∗ . . . ∗ ∗ ... ... ...

∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 1





















= GLr⁰−1·Nr⁰

et

V_r⁰ =



































1 0 . . . 0 ∗ 0 . .. . .. ... ... ... . .. . .. 0 ... 0 . . . 0 1 ∗ 0 . . . 0 1



































de GLr⁰ peuvent alors ˆetre eux-mˆemes consid´er´es comme des sous-groupes de GLr. Pour tout entierr⁰, 1≤r⁰< r, on peut noter Γr⁰ l’image de l’orbite Γ dans

[Q_r0(F)N_r−1(F)\GLr−1(F)]². Par hypoth`ese, l’orbite Γ est diff´erente de la diagonale de

[N_r−1(F)\GL_r−1(F)]²,

donc il existe un entierr⁰, 1≤r⁰ ≤r−1, tel que l’orbite Γr⁰ soit diff´erente de la diagonale mais que, si r⁰< r−1, l’orbite Γr⁰+1 soit ´egale `a la diagonale.

Sir⁰=r−1, on notera Γr⁰+1= [GLr−1(F)\GLr−1(F)]²={1}².

Consid´erons un ´el´ement quelconque de Γr⁰+1 repr´esent´e par un couple (γ, γ) avecγ ∈ GL_r−1(F). Les

´el´ements de Γ dont l’image dans Γr⁰+1 est ´egale `a (γ, γ) sont ceux de la forme (γ₁·γ, γ₂·γ)

o`u (γ₁, γ₂) d´ecrit une orbite de

[Nr⁰(F)\GLr⁰(F)]² sous l’action de GL_r⁰(F) dont l’image dans

[Qr⁰(F)\GLr⁰(F)]²

est diff´erente de la diagonale.

Or on remarque que les caract`eres non triviaux de Vr⁰+1(F)\Vr⁰+1(A) sont exactement ceux de la forme n7→ψr(γ⁰·n)

avecγ⁰∈Q_r⁰(F)\GL_r⁰(F), cette correspondance ´etant bijective.

Comme tous nos couples (γ₁, γ₂) sont en-dehors de la diagonale de [Qr⁰(F)\GLr⁰(F)]², on en d´eduit que la moyenne des expressions

X

(γ₁,γ₂)

Z Z

[N_r(F)\Nr(A)]²

dn1·dn2·ψr(n1·n⁻¹₂ )·Φ(n1γ1γ n g, n2γ2γ n g)

sur lesn∈γ⁻¹·[Vr⁰+1(F)\Vr⁰+1(A)]·γ vaut n´ecessairement 0.

Cela entraˆıne la conclusion voulue puisque la fonction deg_Q est invariante `a gauche parγ⁻¹·V_r⁰₊₁(A)·γ.

En appliquant ce lemme aux noyauxK_h^(P,π), on obtient :

Lemme III.5.– Soient (P, π)une paire discr`ete telle queP G et queπ soit cuspidale, et h∈ H^G/AG

une fonction de Hecke invariante `a droite et `a gauche par un sous-groupe ouvert K deK₀^G. Alors on a pour toutN_•∈Z^IG

Z

Q(F)\G(A)/AG

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ1Λ2K_h^(P,π)(g, g)

= vol(Z_G(F)\ZG(A)/A_G)· 1

|Fixe(π)| · X

ϕ∈B_K(P,π)

Z

Im Λ_P

dλ_P

· Z

N_B(A)\G(A)/Z_G(A)

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·W E_P^G(h(ϕ, λ_P), λ_P)(g)·W E_P^G(ϕ, λ_P)(g).

On remarque que dans l’expression de ce lemme, l’int´egrale ad´eliqueR

N_B(A)\G(A)/Z_G(A)dg·est un produit d’op´erateurs d’int´egration locaux d´efinis place par place. De mˆeme, les coefficients de FourierW E_P^G(h(ϕ, λP), λP)(•) etW E_P^G(ϕ, λP)(•) se calculent place par place d’apr`es le Lemme III.1 : ce sont simplement les mod`eles de Whittaker des fonctionsh(ϕ, λ_P)·λ_P etϕ·λ_P.

Il en r´esulte que les expressions du lemme ci-dessus doivent pouvoir se calculer par d´eplacement de contours et calcul de r´esidus de fonctions analytiques d´efinies comme des produits eul´eriens d’int´egrales locales.

Nous allons mener tous ces calculs dans le cas o`u G= GL2.

3 Le cas G = GL

: calcul de r´ esidus

Nous allons mener les calculs jusqu’au bout dans le cas o`u G= GL2.

Dans ce cas, Q = B est le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures dans GL2, et les seules s´eries d’Eisenstein que nous ayons `a consid´erer sont celles associ´ees `a P =B^opet `a une paire de caract`eres π= (χ1, χ2) deF^×\A^× telle queχ1χ2 soit trivial surAG⊂ZG(A) =A^×.

Lemme III.6.–Dans cette situation, et en notantZ=q^−t, la s´erie

X

N∈Z

Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N)·Λ₁Λ₂K_h^P,π(g, g) Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N)

·Z^N

est ´egale, d`es queRet0, `a 1

vol(F^×\A^×0)· 1

|Fixe(π)|· X

ϕ∈BK(P,π)

Z

Im ΛP

dλP

Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|^t·W E_P^G(h(ϕ, λ_P), λ_P)

µ 0 0 1

k

·W E_P^G(ϕ, λ_P)

µ 0 0 1

k

.

D´emonstration.On sait d’apr`es le Lemme II.10(i) que pour toutN ∈Zle volume Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N) est ´egal `a

vol(F^×\A^×/A_G)·vol(F^×\A^×0)·q^N+(gX−1). D’autre part, si on ´ecritg=

µ 0 0 1

k, la fonctionnelle d’int´egration Z

N_B(A)\G(A)/Z_G(A)

dg

est ´egale `a

q^gX−1· Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|⁻¹

avec|µ|⁻¹=q^N siN = deg_Q(g) =−deg(µ).

Alors le Lemme III.6 est une r´e´ecriture du Lemme III.5.

Pour touteϕ∈ B_K(P, π), ceci am`ene `a consid´erer la fonction analytique Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|^t·W E^G_P(h(ϕ, λ1), λ1)

µ 0 0 1

k

·W E_P^G(ϕ,λ¯⁻¹₂ )

µ 0 0 1

k

ent∈Cetλ1, λ2∈ΛP.

On rappelle que Λ_P est le tore complexe des caract`eres (A<sup>×</sup>×A<sup>×</sup>)/AG→C<sup>×</sup> qui se factorisent `a travers

deg : (A^××A^×)→Z×Z.

On peut supposer que deg :AG→Zest un isomorphisme, et alors λ1 et λ2 peuvent s’´ecrire λ1= (| • |^s1,| • |^−s1)

λ2= (| • |^s2,| • |^−s2) avecs1, s2∈C/_log(q)^2πi ·Z.

On a encore :

Lemme III.7.–SiRet0,Res₁0 etRes₂0, l’int´egrale Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|^t·W E^G_P(h(ϕ, λ₁), λ₁)

µ 0 0 1

k

·W E_P^G(ϕ,λ¯⁻¹₂ )

µ 0 0 1

k

est ´egale `a

Z

A^×

dµ· |µ|^1+t+s1−s2· Z

A×A

du1·du2·ψ(µ·(u1−u2))· Z

K^G₀

dk ·

(h(ϕ, λ₁)·λ₁)

1 u₁

0 1

k

·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )

1 u₂

0 1

k

.

D´emonstration.Si Res₁0, on sait d’apr`es le Lemme III.1 que W E_P^G(h(ϕ, λ₁), λ₁)

µ 0 0 1

k

= Z

A

du₁·ψ(u₁)·(h(ϕ·λ₁), λ₁)

1 u₁

0 1

· µ 0

0 1

·k

.

Or on a

1 u₁

0 1

· µ 0

0 1

·k= µ 0

0 1

·

1 µ⁻¹·u₁

0 1

·k

puis

(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 u1

0 1

· µ 0

0 1

·k

=|µ|^−12+s1·χ1(µ)·(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 µ⁻¹·u1

0 1

·k

et de mˆeme

(ϕ·¯λ⁻¹₂ )

1 u2

0 1

· µ 0

0 1

·k

=|µ|^−12−s2·χ1(µ) (ϕ·λ¯⁻¹₂ )

0 µ⁻¹·u2

0 1

·k

.

On conclut en changeant les variablesu1et u2 enµ⁻¹·u1 etµ⁻¹·u2, puis la variable µenµ⁻¹. Nous allons maintenant d´emontrer :

Th´eor`eme III.8.– Toujours avec les mˆemes notations, l’int´egrale Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|^t·W E^G_P(h(ϕ, λ1), λ1)

µ 0 0 1

k

·W E_P^G(ϕ,λ¯⁻¹₂ )

µ 0 0 1

k

vue comme fonction analytique en les variablesq^−t,q^−s1,q^−s2 v´erifie les propri´et´es suivantes : (i)C’est le produit de

ζX(1 +t+s1−s2)·ζX(1 +t−s1+s2)

ζ_X(2 + 2t) ·

L_χ

2

χ1,1 +t−s1−s2

L_χ

2

χ₁,1−2s1

· L_χ

1

χ2,1 +t+s1+s2

L_χ

1

χ₂,1 + 2s2

et d’une fraction rationnelle qui n’a pas de pˆole dans la zone

Re (t+s1−s2)>−1,Re (t−s1+s2)>−1,Re (t−s1−s2)>−1,Re (t+s1+s2)>−1, Re (t)>−1,Re (−2s1)>−1,Re (2s2)>−1.

(ii)Le r´esidu de son pˆole simple ent+s₁−s₂= 0est le produit du facteur vol (F^×\A^×0)

q^gX−1 ·ζX(1 + 2t) ζX(2 + 2t) et de l’int´egrale

Z

K₀^G

dk·(h(ϕ, λ₁)·λ₁)(k)·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )(k). (iii)Le r´esidu de son pˆole simple ent−s1+s2= 0est le produit du facteur

vol (F^×\A^×0)

q^gX−1 ·ζ_X(1 + 2t) ζX(2 + 2t) et de l’int´egrale

Z

K₀^G

dk·(M_P^P(h(ϕ, λ1), λ1)·λ^op₁ )(k)·(M_P^P(ϕ,λ¯⁻¹₂ )·λ¯

−1 op

2 )(k). (iv)Lorsque χ₁=χ₂, le r´esidu en le pˆole simplet−s₁−s₂= 0 est le produit du facteur

vol (F^×\A^×0)

q^gX−1 ·ζX(1 + 2t) ζX(2 + 2t) et de l’int´egrale

Z

K^G₀

dk·(M_P^P(h(ϕ, λ₁), λ₁)·λ^op₁ )(k)·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )(k), tandis que le r´esidu en le pˆole simplet+s1+s2= 0 est le produit du facteur

vol (F^×\A^×0)

q^gX−1 ·ζ_X(1 + 2t) ζX(2 + 2t) et de l’int´egrale

Z

K^G₀

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)(k)·(M_P^P(ϕ,¯λ⁻¹₂ )·λ¯

−1 op

2 )(k).

D´emonstration. (i) Notre int´egrale est le produit sur toutes les places x ∈ |X| de sommes d’int´egrales locales de la forme

X

v∈Z

q^{(−1−t−s}_x ^1+s2)·v·S_x,v avec

Sx,v = Z

Fx^×

dµ·1(vx(µ) =v)· Z

Fx×Fx

ψx(µ·(u1−u2))·du1·du2· Z

GL2(Ox)

dk

(h(ϕ, λ1)·λ1)x

1 u1

0 1

·k

(ϕ·λ¯⁻¹₂ )x

1 u2

0 1

k

.

Pla¸cons-nous en une placexo`u

• le facteur localKxdeK est ´egal `a K₀^G = GL2(Ox), si bien queh, ϕet χ1, χ2sont non ramifi´es,

• le caract`ereψ<sub>x</sub> deF<sub>x</sub>est r´egulier, c’est-`a-dire trivial surO_xmais pas surπ⁻¹_x ·O_x. On remarque que siv_x(u₁)≥0, alors

1 u1

0 1

∈GL2(Ox) tandis que siv_x(u₁)<0, on peut ´ecrire

1 u1

0 1

=

u1 0 1 u⁻¹₁

·

u⁻¹₁ 1

−1 0

avec

u⁻¹₁ 1

−1 0

∈GL₂(O_x). On en d´eduit que l’int´egrale

Z

GL₂(O_x)

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)x·

1 u1

0 1

·k

·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )x

1 u2

0 1

k

est ´egale au produit de l’int´egrale Z

GL₂(Ox)

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)x(k)·(ϕ·¯λ⁻¹₂ )x(k) =Sx

et du facteur

q⁻¹_x ·zx

χ2

χ₁

·q_x^2s1

^max{0,−vx(u₁)}

·

q_x⁻¹·zx

χ1

χ₂

·q^−2s_x ²

^max{0,−vx(u₂)}

. Par cons´equent, l’int´egrale Sx,v est le produit de l’int´egraleSx ci-dessus et d’un facteur ´egal `a

• 0 siv <0,

• et siv≥0



1 + X

1≤v⁰≤v

1− 1

q_x

·q^v_x⁰·

q⁻¹_x ·zx

χ2

χ₁

·q_x^{2s1 v0}

− 1

q_x·q^v+1_x ·

q⁻¹_x ·zx

χ2

χ₁

·q_x^{2s1 v+1}





·



1 + X

1≤v⁰⁰≤v

1− 1

qx

·q^v_x⁰⁰·

q_x⁻¹·zx

χ1

χ2

·q^−2s_x ² v⁰⁰

− 1 qx

·q^v+1_x ·

q_x⁻¹·zx

χ1

χ2

·q_x^−2s2 v+1



=



1 + X

1≤v⁰≤v

1− 1

qx

·

z_x χ₂

χ1

·q_x^2s1 v⁰

− 1 qx

·

z_x χ₂

χ1

·q^2s_x¹ v+1



·



1 + X

1≤v⁰⁰≤v

1− 1

qx

·

z_x χ₁

χ2

·q_x^{−2s2 v00}

− 1 qx

·

z_x χ₁

χ2

·q^−2s_x ^{2 v+1}



.

En posant

T = q_x^{−1−t−s1+s2}, A₁ = z_x

χ₂ χ1

·q^2s_x¹,

A₂ = z_x χ₁

χ2

·q^−2s_x ²,

nous sommes amen´es `a calculer une somme de la forme du lemme suivant : Lemme III.9.–La s´erie formelle

X

v≥0

T^v·



1− 1 qx

·A^v+1₁ +

1− 1 qx

· X

1≤v⁰≤v

A^v₁⁰



·



1− 1 qx

·A^v+1₂ +

1− 1 qx

· X

1≤v⁰⁰≤v

A^v₂⁰⁰





est ´egale `a la fraction rationnelle

1−^A_q¹

x

· 1−^A_q²

x

·(1−A1A2T²) (1−T)·(1−A1T)·(1−A2T)·(1−A1A2T).

D´emonstration du Lemme III.9.Cette s´erie s’´ecrit encore X

v≥0

T^v·

1−A₁ qx

·



 X

0≤v⁰≤v

A^v₁⁰



·

1−A₂ qx

·



 X

0≤v⁰⁰≤v

A^v₂⁰⁰



.

En mettant en facteur 1−^A_q¹

x

· 1−^A_q²

x

, on trouve : X

0≤v⁰≤v⁰⁰≤v

A^v₁⁰·A^v₂⁰⁰·T^v+ X

0≤v⁰⁰≤v⁰≤v

A^v₂⁰⁰·A^v₁⁰·T^v− X

0≤v⁰≤v

A^v₁⁰A^v₂⁰·T^v.

Puis en mettant en facteur _1−T¹ , on obtient : X

0≤v⁰≤v⁰⁰

A^v₁⁰·(A2T)^v00+ X

0≤v⁰⁰≤v⁰

A^v₂⁰⁰(A1T)^v0−X

0≤v⁰

(A1A2T)^v0

= 1

1−A₂T · 1

1−A₁A₂T + 1

1−A₁T · 1

1−A₁A₂T − 1 1−A₁A₂T

= (1−A1T) + (1−A2T)−(1−A1T)(1−A2T) (1−A1T)·(1−A2T)(1−A1A2T)

= 1−A1A2T²

(1−A₁T)(1−A₂T)(1−A₁A₂T²).

Cela termine la d´emonstration du lemme.

Suite de la d´emonstration du Th´eor`eme III.8.Il r´esulte du lemme ci-dessus qu’en les places x∈ |X| o`uKx= GL2(Ox) etψxest r´egulier, l’int´egrale locale

Z

F_x^×

dµ· |µ|^1+t+s1−s2· Z

Fx×Fx

du₁·du₂·ψ(µ·(u₁−u₂))· Z

K^G_0,x

dk·

(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 u₁

0 1

k

·(ϕ·¯λ⁻¹₂ )

1 u₂

0 1

k

est ´egale au produit de

S_x= Z

K_0,x^G

dk·(h(ϕ, λ₁)·λ₁)_x(k)·(ϕ·¯λ⁻¹₂ )_x(k)

et du facteur

1−z_xχ

2

χ1

·q^−1+2s_x ¹

·

1−z_xχ

1

χ2

·q^−1−2s_x ²

·(1−q_x^−2−2t) (1−q^−1−t−sx ^1+s2)·

1−z_xχ

2

χ1

·q^−1−t+sx ^1+s2

·

1−z_xχ

1

χ2

·qx^{−1−t−s1−s2}

·(1−qx^{−1−t+s1−s2})

=

ζ_X,x(1 +t+s₁−s₂)·L_xχ

2

χ1,1 +t−s₁−s₂

·L_xχ

1

χ2,1 +t+s₁+s₂

·ζ_X,x(1 +t−s₁+s₂) L_xχ

2

χ1,1−2s₁

·L_xχ

1

χ2,1 + 2s₂

·ζ_X,x(2 + 2t)

.

Et en toutes les autres places, cette int´egrale locale d´efinit une fraction rationnelle qui n’a pas de pˆole dans la zone

Re (t+s1−s2)>−1, Re (t−s1−s2)>−1, Re (t+s1+s2)>−1, Re (t−s1+s2)>−1. Cela termine la preuve de la partie (i).

(ii) D’apr`es le Lemme III.7, notre int´egrale s’´ecrit encore Z

A^×

dµ· |µ|^1+t−s1+s2· Z

A×A

du1·du2·ψ(µ·(u1−u2))· Z

K₀^G

dk·

(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 u1

0 1

k

·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )

1 u2

0 1

k

. On remarque que

Y

x∈|X|

1− 1

q_x

· |µx| ·dµx

est la mesure de Haar sur `Q

x∈|X|

F_x=Aqui attribue le volume 1 `aO<sub>A</sub>. Elle est ´egale `a la mesure auto-duale deAmultipli´ee par la constante q^gX−1.

Donc le r´esidu de notre int´egrale en le pˆole simplet−s1+s2= 0 est ´egal `a q^gX−1· vol (F^×\A^×0)

q^gX−1 · Z

A

du· Z

K₀^G

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 u 0 1

k

·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )

1 u 0 1

k

.

Ceci am`ene `a consid´erer les int´egrales locales Z

GL2(Ox)

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)x

1 u 0 1

k

·(ϕ·¯λ⁻¹₂ )x

1 u 0 1

k

en fonction deu∈Fx.

Elles sont ´egales au produit de Z

GL₂(O_x)

dk·(h(ϕ, λ₁)·λ₁)_x(k)·(ϕ·¯λ⁻¹₂ )_x(k) et du facteur

q⁻¹_x ·zx

χ2

χ1

·q_x^2s1

max{0,−vx(u)}

·

q_x⁻¹·zx

χ1

χ2

·q^−2s_x ²

max{0,−vx(u)}

.

Par cons´equent, l’int´egrale globale q^gX−1·

Z

A

du· Z

K^G₀

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1)

1 u 0 1

k

·(ϕ·λ¯⁻¹₂ )

1 u 0 1

k

est ´egale au produit de

Z

K^G₀

dk·(h(ϕ, λ1)·λ1) (k)·(ϕ·¯λ⁻¹₂ ) (k) et du facteur global

Y

x∈|X|



1 +

1− 1 q_x

·X

v≥1

q_x^v·(q_x^{−2+2s1−2s2})^v



 = Y

x∈|X|

1 +

1− 1

q_x

· q^−1+2s_x ^1−2s2 1−q^−1+2sx ^1−2s2

²

= Y

x∈|X|

1−q^−2+2s_x ^1−2s2 1−q^−1+2sx ^1−2s2

= ζ_X(1−2s₁+ 2s₂) ζX(2−2s1+ 2s2). Cela prouve la partie (ii) du th´eor`eme.

(iii) Nous voulons maintenant calculer le r´esidu en le pˆole simplet−s1+s2= 0 de l’int´egrale de l’´enonc´e.

On connaˆıt l’´equation fonctionnelle des s´eries d’Eisenstein

E_P^G(ϕ, λ_P)(g) =E_P^G(M_P^P(ϕ, λ_P), λ^op_P)(g) d’o`u on d´eduit imm´ediatement

W E_P^G(ϕ, λ_P)(g) =W E_P^G(M_P^P(ϕ, λ_P), λ^op_P)(g). Donc notre fonction analytique s’´ecrit encore

Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ· |µ|^t·W E_P^G(M_P^P(h(ϕ, λ₁), λ₁), λ^op₁ )

µ 0 0 1

k

·W E_P^G(M_P^P(ϕ,¯λ⁻¹₂ ),λ¯

−1 op

2 )

µ 0 0 1

k

puis, d’apr`es le Lemme III.7, Z

A^×

dµ· |µ|^1+t−s1+s2· Z

A×A

du1·du2·ψ(µ·(u1−u2))· Z

K₀^G

dk·

(M_P^P(h(ϕ, λ₁), λ₁)·λ^op₁ )

1 u₁

0 1

k

·(M_P^P(h(ϕ,λ¯⁻¹₂ )·¯λ

−1 op

2 )

1 u₂

0 1

k

. On conclut alors comme dans la d´emonstration de la partie (ii).

(iv) On proc`ede comme dans la d´emonstration des parties (iii) et (ii) mais en appliquant cette fois l’op´erateur d’entrelacementM<sub>P</sub><sup>P</sup> et l’´equation fonctionnelle des s´eries d’Eisenstein `a seulement un des deux foncteurs.

4 Le cas G = GL

: d´ eplacement des contours d’int´ egration

Nous allons d´emontrer comme cons´equence du Th´eor`eme III.8 :

Th´eor`eme III.10.–Fixons le caract`ere automorpheπ= (χ₁, χ₂)deM_P(A)\AG. Pour tout entier N ∈Net tout polynˆome en λP etλ⁻¹_P

λP 7→R(λP), consid´erons l’expression

X

ϕ∈BK(P,π)

Z

Im ΛP

dλP ·R(λP)· Z

K₀^G

dk· Z

A^×

dµ·1(deg(µ) =−N)