Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e Laurent Laﬀorgue

(1)

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent Lafforgue

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette

Exposé IV (7 juin 2006) : Et du côté géométrique ?

1. Expression géométrique des moyennes des noyaux tronqués 2. Modèles de Whittaker et décompositions spectrales locales

3. Convolution de deux noyaux de Whittaker locaux via un homomorphisme de transfert 4. Une conjecture vague d’interversion d’une limite et d’une somme

(2)

Expos´e IV :

Et du cˆ oté géométrique ?

On continue à s’intéresser au principe de fonctorialité de Langlands entre deux groupes algébriques linéairesGetH reliés par un homomorphisme de transfert entre leurs groupes duaux.

Dans le cas où le groupe linéaire de départGest abélien, on a introduit dans le précédent exposé un certain espace affine de fonctionnelles bilinéaires en les paires de fonctions de Hecke surGet H. Ces fonctionnelles ont été définies comme des limites formelles de séries dont les coefficients ont des expressions géométriques.

On aborde ici la question de chercher des formules g´eom´etriques explicites pour ces fonctionnelles.

En utilisant la décomposition de Bruhat et le théorème de Shintani sur les modèles de Whittaker des groupes linéaires, on s’engage dans une direction qui conduit à formuler une conjecture encore assez vague.

On suppose que nos fonctionnelles s’obtiennent en appliquant `a certaines fonctions explicites :

– d’abord une transformation par int´egration sur des produits de cercles index´es par un ensemble fini de places, pour la mesure de Haar ;

– puis une moyenne sur les éléments rationnels des fonctions sur les tores maximaux adéliques de Get H obtenues par la transformation précédente.

Le calcul de cette moyenne est difficile car les fonctions qu’on obtient sur ces tores adéliques sont très oscillantes. C’est ce qu’on voit dans le cas de l’induction automorphe de GL1 à GL2 via une extension quadratique, qui fera l’objet du prochain exposé.

Les calculs que nous ferons dans ce cas nous inciteront à proposer dans l’Exposé V une formule géométrique pour la valeur de cette moyenne sur les éléments rationnels, dans le cadre du transfert automorphe entre deux groupes linéaires dont le premier est abélien.

Si cette conjecture ´etait vraie, elle rendrait l’existence du transfert entre deux tels groupes lin´eaires

équivalente à une famille d’identités locales indexées par les places de F.

Dans l’Exposé VI, nous généraliserons notre approche et les conjectures du présent exposé IV et de l’Exposé V au cadre général du transfert entre deux groupes linéaires arbitraires.

1 Expression g´ eom´ etrique des moyennes des noyaux tronqu´ es

On considère un groupe linéaire général G= Y

i∈I_G

Res_E_i_/FGLr_i.

On rappelle que, pour toute famille d’entiersN_• = (N_i)_i∈I_G, on s’intéresse à la fonctionnelle qui associe à toute fonction de Heckeh∈ H^G/A_G la moyenne

Moyenne

deg (g)=N•

Λ1Λ2K_h^G(g, g) = Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ₁Λ₂K_h^G(g, g) Z

dg·1(deg (g) =N )

.

(3)

Dans le groupe de Weyl du groupe lin´eaireG WG= Y

i∈IG

Sr_i,

on dispose de l’élément de longueur maximalew₀ qui inverse l’ordre de l’ensemble {1,2, . . . , r_i} pour tout i ∈ I_G. Pour toute famille r = {r_i = r_i,1+· · ·+r_i,k_i} de partitions des entiers r_i, i ∈ I_G, on notera w_r l’élément de W_G tel que w₀w_r agit sur chaque {1,2, . . . , r_i} en inversant l’ordre des éléments dans {1,2, . . . , ri,1}, puis{ri,1+ 1, . . . , ri,1+ri,2}, . . .; puis{ri,1+ri,2+· · ·+ri,k_i−1+ 1, . . . , ri}. Autrement dit, la composante d’indicei∈IG dewr vue comme une matrice est :





 0







1 0

. ..

0 1





 . ..







1 0

. ..

0 1













1 0

. ..

0 1





 0







ri,k_i

...

r_i,2

r_i,1

Rappelant le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires sup´erieures B_G = Y

i∈IG

Res_E_i_/FB_r_i, et son radical unipotent

NB = Y

i∈I_G

Res_E_i_/FNr_i,

on notera pour toute famille{ri=ri,1+· · ·+ri,ki}=rde partitions comme ci-dessus Nr =NB∩wr·NB·wr = Y

i∈I_G

Res_E_i_/F(Nr_i,1× · · · ×Nr_i,ki), et

T_r ={(λi,k) i∈IG 1≤k≤ri

|λ_i,k=λ_i,k⁰ si 1≤k < k⁰≤r_i et w_r(k)< w_r(k⁰)}

le commutateur deNr dans le tore maximalTG= Q

i∈IG

Res_E_i_/FG^rmⁱ des matrices diagonales.

Prouvons :

Proposition IV.1.–Pour toute famille d’entiers N_•= (N_i)_i∈I_G, et toute fonction de Heckeh∈ H^G/A_G, l’int´egrale

Z

Q(F)\G(A)/AG

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ1Λ2K_h^G(g, g) est ´egale `a la somme

X

r

X

γ∈Tr(F)

Z

N_r(A)\G(A)/A_G·ZG(F)

dg·1(deg_Q(g) =N•)· Z

N_B(A)

dn·ψB(n)·h(g⁻¹·wr·γ·n·g).

(4)

Démonstration.On sait d’après le Lemme III.4 que l’intégrale Z

Q(F)\G(A)/A_G

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·Λ₁Λ₂K_h^G(g, g) est ´egale `a

Z

Q(F)\G(A)/AG

dg·1(deg_Q(g) =N_•)· X

γ∈N_B⁻(F)\G⁻(F)

Z

[NB(F)\NB(A)]²

dn₁·dn₂·ψ_B(n₁·n⁻¹₂ )

· K_h^G(n1·γ g, n2·γ g)

= Z

NB(F)\G(A)/AG·ZG(F)

dg·1(deg_Q(g) =N_•)· Z

NB(F)\NB(A)

dn·ψB(n)· X

δ∈G(F)

h(g⁻¹·δ·n·g)

= Z

NB(F)\G(A)/AG·ZG(F)

δ∈G(F)/NB(F)

Z

NB(A)

dn·ψB(n)·h(g⁻¹·δ·n·g).

Or, d’après la décomposition de Bruhat, tout élément deG(F) s’écrit de manière unique sous la forme η₂·w·γ·η₁

o`u

• w∈W_G est un élément du groupe de Weyl deG, identifié à une matrice de permutation,

• γ∈T_G(F) est une matrice diagonale,

• η₁ et η₂ sont deux éléments deN_B(F), modulo le sous-groupeN_B(F)∩w·N_B(F)·w⁻¹. Par conséquent, notre intégrale s’écrit encore comme une somme

X

w∈WG

Z

(NB(F)∩w·NB(F)·w⁻¹)\G(A)/AG·ZG(F)

γ∈TG(F)

Z

NB(A)

dn·ψ_B(n)·h(g⁻¹·w·γ·n·g).

On conclut grˆace au lemme suivant qui permet de ne garder dans la sommation que lesw de la forme wr et lesγ∈Tr(F) :

Lemme IV.2.–Une int´egrale de la forme Z

(NB(F)∩w·NB(F)·w⁻¹)\(NB(A)×NB(A))

dn1·dn2·ψB(n1n⁻¹₂ )·h(g₂⁻¹·n⁻¹₂ ·w·γ·n1·g1) avecg1, g2∈G(A),w∈WG,γ∈TG(F)etNB(F)∩w·NB(F)·w⁻¹ plong´e dans NB(A)×NB(A)par

η 7→(γ⁻¹·w⁻¹·η·w·γ, η) ne peut ˆetre non nulle que si west du type

wr

pour une certaine famille de partitionsr, et si

γ∈T_r(F).

(5)

2 Mod` eles de Whittaker et d´ ecompositions spectrales locales

On reste avec notre groupe lin´eaire

G= Y

i∈I_G

Res_E_i_/FGLr_i. SiK= Q

x∈|X|

K_x est un sous-groupe ouvert deK₀^G, on peut consid´erer l’espace LK,ψB(NB(F)\G(A))

des fonctions

ϕ:NB(F)\G(A)→C telles que

• ϕest invariante `a droite par K,

• ϕ(n·g) =ψB(n)⁻¹·ϕ(g),∀n∈NB(A),∀g∈G(A).

L’algèbre de HeckeH^G_K agit sur cet espace par convolution à droite, et toute fonctionh∈ H^G_K admet un noyau pour son action, qui s’écrit

K_h^G,ψ^B: (g₁, g₂)7→

Z

N_B(A)

dn·ψ_B(n)·h(g₂⁻¹·n·g₁). On voit en particulier que la somme de la Proposition IV.1 s’´ecrit encore

X

r

X

γ∈Tr(F)

Z

Nr(A)\G(A)/AG·ZG(F)

dg·1(deg_Q(g) =N_•)·K_h^G,ψ^B(g, γ·w_r⁻¹·g).

Pour toute placex∈ |X|, notonsψxla composante locale de ψB surNB(Fx) etLKx,ψx(G(Fx)) l’espace des fonctions

ϕ:G(F_x)→C telles que :

• ϕest invariante `a droite par Kx,

• ϕ(n_x·g_x) =ψ_x(n_x)⁻¹·ϕ(g_x),∀n_x∈N_B(F_x),∀g_x∈G(F_x).

L’alg`ebre de Hecke localeH^G_x,K

xagit sur cet espace par convolution `a droite, et l’action de toute fonction h_x∈ H^G_x,K

x admet un noyau qui s’´ecrit K_h^G,ψ^x

x : (g1, g2)7→

Z

N_B(F_x)

dnx·ψx(nx)·hx(g⁻¹₂ ·nx·g1).

L’espace LK,ψ_B(NB(F)\G(A)) est le produit tensoriel infini de tous les espaces locaux LK_x,ψ_x(G(Fx)), x∈ |X|, et sih= N

x∈|X|

hx est un élément deH^G_K décomposé en facteurs, les noyaux locaux et globaux sont reliés par la formule

K_h^G,ψ^B(•,•) = Y

x∈|X|

K_h^G,ψ^x

x (•,•).

Allons en une placex∈ |X|où le groupeG(c’est-à-dire les extensionsE_i,i∈I_G, deF) est non ramifié surF. ChaqueE_i,x=E_i⊗_FF_xse décompose en

Y

j∈Ii,x

F_x,i,j,

(6)

et on peut ´ecrire

G(Fx) = Y

i∈IG

Y

j∈Ii,x

GLr_i(Fx,i,j).

Si K_x=K_0,x^G et si la forme différentielle rationnelleω_X (qui sert à définir le caractèreψ_B) est régulière enx, c’est-à-dire n’y a ni zéro ni pôle, nous allons rappeler la décomposition spectrale de l’espace

LK_x,ψ_x(G(Fx))

muni de l’action par convolution à droite de l’algèbre de Hecke sphérique H^G_x,φ

S^G_x

−→∼ O

i∈I_G

O

j∈I_i,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1

i]^Sⁱ. On commence par rappeler le th´eor`eme suivant :

Théorème IV.3. (Shintani)– Supposons comme ci-dessus queG est non ramifié sur F en la place xet que la formeωX y est régulière.

(i)Alors, pour tout ´el´ement

λ_•= (λ_i,j,k)∈ Y

i∈IG

Y

j∈Ii,x

(C^×)^(rⁱ⁾, il existe une unique fonction

W_x,λ_• = Y

i∈IG

Y

j∈Ii,x

W_x,i,j,λ_• :G(F_x)→C telle que :

• Wx,λ• est invariante `a droite par K_0,x^G ,

• Wx,λ•(1) = 1 (etWx,i,j,λ•(1) = 1,∀i, j),

• Wx,λ•(nx·gx) =ψx(nx)⁻¹·Wx,λ•(gx),∀nx∈NB(Fx),∀gx∈G(Fx),

• Wx,λ•∗hx=S_x^G(hx)(λ_•)·Wx,λ•

pour toute fonction sph´eriquehx∈ H^G_x,φ.

(ii)De plus, les valeurs de cette fonctionW_x,λ_• et de ses composantes lesW_x,i,j,λ_• sont entièrement spécifiées par la règle suivante :

Sim_i,j =







µ₁ 0

. ..

0 µr_i





est une matrice diagonale dans GL_r_i(F_x,i,j)avec v1=vx◦Nm(µ1), . . . , vr_i =vx◦Nm(µr_i), Wx,i,j,λ_•(mi,j) n’est non nul que si

v1≥v2≥ · · · ≥vr_i, et dans ce cas il est ´egal au produit de

q

P

1≤k≤ri 2k−1−ri

2 ·vk

!

x · 1

Q

1≤k<k⁰≤ri

(λk−λk⁰)

(7)

et du d´eterminant.

λ^v₁¹^+rⁱ⁻¹ λ^v₂¹^+rⁱ⁻¹ . . . λ^v_r_i¹^+rⁱ⁻¹ ...

λ^v₁^ri λ^v₂^ri . . . λ^vr_i^ri

.

D´emonstration de (ii) quand G= GL2.Rappelons une preuve de la formule de (ii) quandG= GL2. Sim=

µ₁ 0 0 µ₂

avecv_x(µ₁) =v₁,v_x(µ₂) =v₂, il s’agit de d´emontrer Wx,λ•(m) =q

v2−v1

x 2 · X

n1 +n2 =v1 +v2 v1≥n1,n2≥v2

λⁿ₁¹·λⁿ₂².

Pour d´emontrer cette formule, on part de la fonctionϕx,λ_• surG(F2) = GL2(Fx) qui v´erifie :

• elle est invariante `a droite par GL₂(O_x) =K_0,x^G ,

• elle est invariante `a gauche par N_Bop(F_x),

• sim=

µ₁ 0 0 µ₂

avecv_x(µ₁) =v₁,v_x(µ₂) =v₂, on a ϕx,λ•(m) =λ^v₁¹·λ^v₂²·q

v1−v2

x 2 . On sait déjà que pour toute fonction sphériquehx∈ H^G_x,φ, on a

ϕ_x,λ_•∗h_x=S_x^G(h_x)(λ_•)·ϕ_x,λ_•.

Il en résulte que la fonction cherchéeW_x,λ_• est égale à une constante multiplicative près à la fonction gx7→

Z

N_B(F_x)

dnx·ψx(nx)·ϕx,λ•(nx·g) d`es que cette int´egrale converge.

Calculons donc l’int´egrale Z

Fx

dux·ψ(Res(ux·ωX))·ϕx,λ•

1 ux

0 1

µ1 0 0 µ2

= Z

F_x

dux·ψ(Res(ux·ωX))·ϕx,λ•

µ1 0 0 µ₂

1 ^µ_µ²

1ux

0 1

.

Comme la forme différentielleωX est régulière en x, cette intégrale vaut 0 sivx

_µ

2

µ1

≥1 soit v2> v1, car alorsu_x7→ϕ_x,λ_•

µ₁ 0 0 µ₂

·

1 ^µ_µ²

1u_x

0 1

est invariante par le groupe additifπ_x⁻¹·O_x. Au contraire, siv₁≥v₂, cette int´egrale vaut

q_x^v²^−v¹·(λ^v₁¹·λ^v₂²·q

v1−v2

x 2 ) + X

0<i≤v1−v2

q_x^v²^−v¹⁺ⁱ·

1− 1 qx

·

λ^v₁¹⁻ⁱ·λ^v₂²⁺ⁱ·q

v1−v2 2 −i x

−

λ^v₁²⁻¹·λ^v₂¹⁺¹·q

v2−v1

2 −1

x

= q

v2−v1

x 2 ·

1−λ⁻¹₁ ·λ₂ qx

·



 X

0≤i≤v1−v2

λ^v₁¹⁻ⁱ·λ^v₂²⁺ⁱ



.

(8)

On obtient la fonction cherch´ee Wx,λ• en divisant cette expression par la constante

1−^λ⁻¹¹_q^·λ²

x

.

Puis on a un énoncé de décomposition spectrale locale pour les fonctions non ramifiées :

Proposition IV.4.– Dans la situation du ThéorèmeIV.3, associons à tout polynôme en lesλi,j,k etλ⁻¹_i,j,k P :λ_•= (λi,j,k)i∈IG,j∈Ii,x

1≤k≤ri

7→P(λ_•) la fonction deL_KG

0,x,ψ_x(G(Fx))d´efinie par l’int´egrale Wx,P :g7→Wx,P(g) =

Z

|λi,j,k|=1

dλ•·Wx,λ•(g). Alors on a :

(i)PourP un tel polynôme en lesλ_i,j,ketλ⁻¹_i,j,k, la fonction|Wx,P|est à support compact surN_B(F_x)\G(Fx) dès que P s’annule sur tous les hyperplans

λ_i,j,k=λ_i,j,k⁰, i∈I_G, j∈I_i,x, 1≤k < k⁰≤r_i. (ii)SiP etP⁰ sont deux polynˆomes v´erifiant la condition de(i), on a

hWx,P;Wx,P⁰i=hP;P⁰i si on pose

hP;P⁰i= Z

|λi,j,k|=1

dλ_•·

P

σ,σ⁰∈ Q

i∈IG j∈Ii,x

S_ri

σ(P)(λ•)·σ⁰(P⁰)(λ•)

Q

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k<k0 ≤ri

|λi,j,k−λi,j,k⁰|² .

(iii)L’homomorphisme

P 7→W_x,P

induit donc un isomorphisme de l’espace de Hilbert des fonctions sym´etriques en les variablesλ_i,j,kmuni du produit hermitien d´efini par la formule de(ii)vers l’espace de Hilbert des fonctions deL_KG

0,x,ψx(G(Fx))dont le carr´e est int´egrable.

Démonstration dans le cas oùG= GL2.Dans ce cas,λ_• ne consiste qu’en deux variablesλ1 etλ2. Et siP est un monôme

P(λ1, λ2) =λ^−k₁ ¹·λ^−k₂ ² avec k1, k2∈Z, alors on a d’apr`es l’expression explicite des fonctionsWx,λ :

Wx,P

µ1 0 0 µ2

=





 q

vx(µ2 )−vx(µ1 )

x 2 si v_x(µ₁µ₂) =k₁+k₂, v_x(µ₁)≥k₁, k₂≥v_x(µ₂),

0 sinon.

Si doncP est un polynôme enλ^±1₁ , λ^±1₂ qui s’annule sur la diagonale λ1=λ2, la fonction|Wx,P| est à support compact surNB(Fx)\G(Fx), et a fortiori elle est de carré intégrable.

(9)

Etant donn´es deux tels polynˆomes P et P⁰ qui s’annulent sur la diagonale, nous voulons calculer le produit hermitien

hWx,P;Wx,P⁰i = Z

N_B(F_x)\G(Fx)

dg

dn·Wx,P(g)·Wx,P⁰(g)

= Z

F_x^××Fx^×

dµ₁·dµ₂·q_x^v^x^(µ¹^)−v^x^(µ²⁾·(W_x,P·W_x,P⁰)

µ₁ 0 0 µ₂

. Posons formellement

Φ(X1, X2;λ1, λ2) = X

k₁,k₂∈Z





 X

v1≥k1,k2≥v2 v1 +v2 =k1 +k2

X₁^v¹·X₂^v²





·λ^k₁¹·λ^k₂² = X

v₁≥v₂

Φv₁,v₂(λ1, λ2)·X₁^v¹·X₂^v²

avec

Φv₁,v₂(λ1, λ2) =λ^v₁¹·λ^v₂²+λ^v₁¹⁻¹·λ^v₂²⁺¹+· · ·+λ^v₁²·λ^v₂¹ = λ^v₁¹⁺¹·λ2−λ^v₁²·λ^v₂¹⁺¹ λ1−λ2

. Alors le produit hermitien

hWx,P;Wx,P⁰i est ´egal `a la somme finie

X

v₁≥v2

Z Z

|λ₁|=1=|λ₂|

dλ₁·dλ₂·Φ_v₁_,v₂(λ₁, λ₂)·P(λ₁, λ₂)

!

· Z Z

|λ⁰₁|=1=|λ⁰₂|

dλ⁰₁·dλ⁰₂·Φ_v₁_,v₂(λ⁰₁, λ⁰₂)·P⁰(λ⁰₁, λ⁰₂)

! . SiV est un entier assez grand, cette somme est égale à la même restreinte aux indices

v1≥v2≥ −V . Elle vaut

X

v₁≥v2≥−V

Z

· · Z

|λ1|=1=|λ2|

|λ0

1|=1+ε=|λ0 2|

dλ₁·dλ₂·dλ⁰₁·dλ⁰₂·

Φv₁,v₂(λ1, λ2)·Φv₁,v₂(λ⁰⁻¹₁ , λ⁰⁻¹₂ )·P(λ1, λ2)·P¯⁰(λ⁰⁻¹₁ , λ⁰⁻¹₂ ) avec

X

v1≥v2≥−V

Φv₁,v₂(λ1, λ2)·Φv₁,v₂(λ⁰₁, λ⁰₂)

= X

v₁≥v2≥−V

λ^v₁¹⁺¹·λ^v₂²−λ^v₁²·λ^v₂¹⁺¹ λ1−λ2

·λ^0−v₁ ¹⁻¹·λ^0−v₂ ²−λ^0−v₂ ²·λ^0−v₁ ¹⁻¹ λ⁰⁻¹₁ −λ⁰⁻¹₂

= 1

(λ1−λ2)·(λ⁰⁻¹₁ −λ⁰⁻¹₂ )·



 X

v₂≥−V

λ₁·λ₂ λ⁰₁·λ⁰₂

^v2



·



 X

v≥0

(λ^v+1₁ −λ^v+1₂ )·(λ^0−v−1₁ −λ^0−v−1₂ )





= 1

(λ1−λ2)·(λ⁰⁻¹₁ −λ⁰⁻¹₂ )· λ₁·λ2

λ⁰₁·λ⁰₂

−V2

1−^λ_λ¹0^·λ² 1·λ⁰₂

·

λ1λ⁰⁻¹₁

1−λ1λ⁰⁻¹₁ + λ2λ⁰⁻¹₂

1−λ2λ⁰⁻¹₂ − λ1λ⁰⁻¹₂

1−λ1λ⁰⁻¹₂ − λ2λ⁰⁻¹₁ 1−λ2λ⁰⁻¹₁

.

(10)

Par déplacement des contours d’intégration et calcul des résidus, on obtient hWx,P;Wx,P⁰i=

Z Z

|λ1|=1=|λ2|

dλ1·dλ2· 1

|λ1−λ2|² ·[P(λ1, λ2) +P(λ2, λ1)]·[P⁰(λ1, λ2) +P⁰(λ2, λ1)].

Cela termine la preuve dans le cas o`u G= GL2.

On d´eduit de la Proposition IV.4 :

Corollaire IV.5. – Dans la situation du Théorème IV.3, soit hx une fonction dans l’algèbre de Hecke sphériqueH_x,φ^G deG(Fx).

Alors le noyauK_h^G,ψ^x

x de l’op´erateur de convolution `a droite parhxdans l’espace de HilbertL_KG

0,x,ψx(G(Fx)) se d´ecompose en l’int´egrale

K_h^G,ψ^x

x (g₁, g₂) = Z

|λ_i,j,k|=1

dλ_•·c^G,ψ_x ^x(λ_•)·S_x^G(h_x)(λ_•)·W_x,λ_•(g₁)·W_x,λ_•(g₂) o`u on a pos´e

c^G,ψ_x ^x(λ_•) = Q

i∈I_G

Q

j∈I_i,x

Q

1≤k<k⁰≤ri

|λi,j,k−λ_i,j,k0|² Q

i∈IG

(ri!)^2|I^i,x^| .

3 Convolution de deux noyaux de Whittaker locaux via un homo- morphisme de transfert

Pla¸cons-nous maintenant dans la situation d’un homomorphisme de transfert (essentiellement injectif) général entre groupes linéaires :

LG ^ρ //

!!D

DD DD DD

D ^LH

||zzzzzzzz

W_F

Comme toujours, on consid`ere un sous-groupe ouvertK= Q

x∈|X|

KxdeK₀^G, une partie finieS0de|X|en dehors de laquelleGet H sont non ramifi´es surF etKx=K_0,x^G , puis un sous-groupe ouvertK⁰= Q

x∈|X|

K_x⁰ deK₀^H tel queK_x⁰ =K_0,x^H ,∀x /∈S₀, et que, en chaque placex∈S₀, K_x⁰ soit assez petit en fonction deK_x et de la ramification deGet H.

Enfin, on choisit une partie finieS⊂ |X| −S₀assez grande pour v´erifier les conclusions du Lemme II.2.

Il n’y a pas de restriction à supposer que la forme différentielle rationnelleω_X est régulière en toutes les placesx∈S.

Consid´erons deux fonctions de Heckeh∈ H^G_K/AG eth⁰ ∈ H^H_K0/AH. Si elles sont de la formeh= N

x∈|X|

hx

et h⁰ = N

x∈|X|

h⁰_x, on a les d´ecompositions naturelles des “noyaux de Whittaker” des actions de h et h⁰ sur LK,ψB(N_B(F)\G(A)/A_G) etLK⁰,ψ_B0(N_B⁰(F)\H(A)/A_H) :

K_h^G,ψ^B(g1, g2) = Y

K_h^G,ψ^x(g1, g2),

(11)

K_h^H,ψ0 ^B(g⁰₁, g₂⁰) = Y

x∈|X|

K_h^H,ψ0 ^x

x (g₁⁰, g⁰₂). Et en toute placex∈S, on peut ´ecrire d’apr`es le Corollaire IV.5

K_h^G,ψ^x

x (g1, g2) = Z

|λi,j,k|=1

dλ•·c^G,ψ_x ^x(λ•)·S_x^G(hx)(λ•)·Wx,λ•(g1)·Wx,λ•(g2) et

K_h^H,ψ0 ^x

x (g₁⁰, g⁰₂) = Z

|λ⁰_i₀_,j₀_,k₀|=1

dλ⁰_•·c^H,ψ_x ^x(λ⁰_•)·S_x^H(h⁰_x)(λ⁰_•)·Wx,λ⁰_•(g₁⁰)·Wx,λ•(g₂⁰). Souvenons-nous alors de l’´enonc´e du Lemme II.1 : Par composition avec les isomorphismes de Satake

S_x^G : H_x,φ^G −→^∼ O

i∈IG j∈Ii,x

C[X_i,j,1^±1 ;. . .;X_i,j,r^±1_i]^S^ri, H_x,φ^H −→^∼ O

i0 ∈IH j0 ∈Ii0,x

C[X_i^0±10,j⁰,1;. . .;X_i^0±10,j⁰,r_i0]^S^rⁱ⁰ ,

l’homomorphisme d’alg`ebre induit parρen la placex∈S ρ^∗_x:H_x,φ^H → H_x,φ^G

peut s’écrire en substituant à chaque variable X_i⁰0,j⁰,k⁰ un monôme de la forme εi⁰,j⁰,k⁰· Y

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k≤ri

X

1

dx·m_i0,j0,k0(i,j,k) i,j,k

où d_x= ppcm{[F_x,i,j :F_x],[F_x,i⁰_,j⁰ :F_x]}, les racines d_x-ièmes de l’unitéε_i⁰_,j⁰_,k⁰ et les multiplicitésm_i⁰_,j⁰_,k⁰ (i, j, k) ne dépendent que de l’image de Frob_x dans n’importe quel quotient fini de W_F à travers lequel se factorise son action sur les ensembles{ι:Ei,→F¯}et{ι⁰ :Ei⁰ ,→F¯}.

Il est naturel de poser la d´efinition suivante : D´efinition IV.6.– En toute placex∈S, on notera

(K_h^G,ψ^x

x ∗_ρK_h^H,ψ0 ^x

x )(g₁, g₂;g₁⁰, g⁰₂)

la fonction deg₁, g₂∈G(F_x)etg₁⁰, g⁰₂∈H(F_x) qui s’obtient en appliquant l’op´erateur d’int´egration Z

|λi,j,k|=1

dλ_•· Y

i⁰∈IH

(ri⁰!)^|Iⁱ⁰^,x^|

!

`

a la fonction

c^G,ψ_x ^x(λ_•)·S^G_x(h_x)(λ_•)·W_x,λ_•(g₁)·W_x,λ_•(g₂)·c^H,ψ_x ^x(λ⁰_•)·S_x^H(h⁰_x)(λ⁰_•)·W_x,λ⁰_•(g⁰₁)·W_x,λ⁰_•(g₂⁰) o`u on pose les relations

λ⁰_i0,j⁰,k⁰ =εi⁰,j⁰,k⁰· Y

i∈IG,j∈Ii,x 1≤k≤ri

λ

1

dx·m_i0,j0,k0(i,j,k)

i,j,k .

(12)

Pour les fonctions globalesh= N

x∈|X|

hx eth⁰= N

x∈|X|

h⁰_x, on peut alors poser (K_h^G,ψ^B∗_ρ,SK_h^H,ψ0 ^B⁰)(g₁, g₂;g⁰₁, g₂⁰) = Y

x∈S

(K_h^G,ψ^x

x ∗_ρK_h^H,ψ0 ^x

x )(g₁, g₂;g⁰₁, g₂⁰)

· Y

x∈|X|−S

K_h^G,ψ^x

x (g1, g2)·K_h^H,ψ0 ^x

x (g⁰₁, g₂⁰). La fonction surG(A)²×H(A)²

(K_h^G,ψ^B∗ρ,SK_h^H,ψ0 ^B⁰)(g1, g2;g₁⁰, g⁰₂)

est alors définie par bilinéarité pour toutes fonctionsh∈ H^G_K/AG,h⁰∈ H^H_K0/AH. LorsqueH =Get queρest l’homomorphisme identique, on notera simplement

(K_h^G,ψ^B∗SK_h^G,ψ^B

1 )(g1, g2;g⁰₁, g₂⁰).

4 Une conjecture vague d’interversion d’une limite et d’une somme

Nous consid´erons toujours un homomorphisme de transfert

LG→^LH

qui relie les groupes duaux de deux groupes linéairesGetH, mais nous supposons dans ce paragraphe que le groupe linéaire de départGest abélien, c’est-à-dire de la forme Q

i∈I_G

ResE_i/FGL1. Nous pouvons supposer d’autre part queH a un seul facteur Res_E⁰_/FGLr.

Dans ce cadre, le Problème III.16 de l’exposé précédent nous a permis de définir un certain espace affine Fonct^G,H_K,K0(ρ) de fonctionnelles bilinéaires enh∈ H_K^G/AG eth⁰∈ H^H_K0/AH tel que :

•Tout ´el´ement de Fonct^G,H_K,K0(ρ) est de la forme (h, h⁰)7→ X

π∈Πaut,K(G/AG) π⁰∈Πaut,c(H/AH) π⁰=ρ∗π

cπ·Trπ(h)·Trπ⁰(h⁰)

o`u lesc_π sont des constantes qui valent 1 quandπ⁰ =ρ_∗πest une repr´esentation cuspidale.

•Cet espace affine est engendr´e par les fonctionnelles de la forme Z

G(F)\G(A)/A_G

dg·

lim

(1−Z1 )=c·(1−Z) Z,Z17→1

(1−Z1)· X

N∈N

Z₁^N ·vol(H(F)\H(A)/AH)· Moyenne

deg_Q(g⁰)=N

[K^G(g, g)×Λ1Λ2K^H(g⁰, g⁰)]((h⊗h⁰)∗∆^G,H_S (Z)) o`u c est une constante multiplicative et ∆^G,H_S (Z) = N

x∈S

∆^G,H_x (•,•, Z) est un élément central de (H^G_K ⊗ H^H_K0)JZKdont les facteurs ∆^G,H_x (•,•, Z) vérifient les hypothèses du Lemme II.3.

D’autre part, la fonctionnelle bilin´eaire enh, h1∈ H^G_K/AG

(h, h₁)7→Diag^G_K,aut(h, h₁) = X

Tr_π(h)·Tr_π(h₁)

(13)

admet pour expression g´eom´etrique

vol(G(F)\G(A)/AG)· X

γ∈G(F)

(h∗h1)(γ).

Dans l’énoncé du Problème II.16, on a dit qu’on doit pouvoir montrer que l’espace affine Fonct^G,H_K,K0(ρ) contient une fonctionnelle bilinéaire enh∈ H^G_K/A_G et h⁰ ∈ H_K^H0/A_H égale à

(h, h⁰)7→ X

π∈Πaut,K(G/A_G) π⁰∈Π_aut,c,K0(H/A_H) π⁰=ρ∗π

Tr_π(h)·Tr_π⁰(h⁰).

Quoi qu’il en soit, pour montrer le principe de fonctorialit´e entre G et H, il suffirait de prouver que la fonctionnelle bilin´eaire

(h, h⁰)7→Diag^G_K,cusp(h, ρ^∗h⁰) est ´el´ement de l’espace affine Fonct^G,H_K,K0(ρ).

Rappelons enfin que pour tout entierN, on a la formule de la Proposition IV.1 : Z

Q(F)\H(A)/A_H

dg⁰·1(deg_Q(g⁰) =N)·Λ₁Λ₂K_h^H0(g⁰, g⁰)

=X

r

X

γ⁰∈T_r(F)

Z

N_r(A)\H(A)/A_H·ZH(F)

dg⁰·1(deg_Q(g⁰) =N)·K_h^H,ψ0 ^B(g⁰, γ⁰·w⁻¹_r ·g⁰)

oùrdécrit l’ensemble des partitions der,wrest la famille de matrices de permutations associée, etTr⊆TH

est le sous-tore diagonal associ´e.

La seule partition pour laquelleTr=THest celle en intervalles de longueur 1. Il lui correspond l’´el´ement wr =w0 dont toutes les composantes sont de la forme :







0 . . . 0 1 ... . .. . ..

0 . .. 0

. ..

. .. ... 1 0 . . . 0







Et c’est aussi la seule partition pour laquelle le groupe unipotent associé N_r est trivial. La contribution associée à cette partition est :

X

γ⁰∈TH(F)

Z

H(A)\AH·ZH(F)

dg⁰·1(deg_Q(g⁰) =N)·K_h^H,ψ0 ^B(g⁰, γ⁰·w0·g⁰).

Prenons le risque de proposer la conjecture suivante :

Conjecture IV.7.– Si ^LG−→^ρ ^LH est un homomorphisme de transfert essentiellement injectif qui relie deux groupes algébriques linéairesGetH dont le premier est abélien et le second a un seul facteur, il existe dans l’espace affine

Fonct^G,H_K,K0(ρ)