Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e Laurent Laﬀorgue

(1)

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´ e

Laurent Lafforgue

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette

Exposé V (22 juillet 2006) : Des calculs géométriques et une conjecture dans le cas de l’induction automorphe de GL1à GL2ou GLr

1. Le cas de l’induction automorphe quadratique de GL1`a GL2

2. Préparation au calcul des intégrales locales 3. Le cas où xest scindée etk1+k2= 0 4. Le cas où xest scindée etk1+k2= 1

5. Le cas o`u xest inerte et non ramifi´ee, ethx=1x

6. Calcul des coefficients de Fourier locaux

7. Une conjecture pour le calcul de la moyenne sur les éléments rationnels, dans le cas de l’induction automorphe de GL1 à GLr

(2)

Expos´e V :

Des calculs g´eom´etriques et une conjecture dans le cas de l’induction automorphe

de GL ₁ ` a GL ₂ ou GL _r

Dans les six premiers paragraphes du présent exposé, on se place dans le cas non abélien le plus simple de la fonctorialité de Langlands entre groupes linéaires : l’induction automorphe quadratique de GL1à GL2.

On calcule compl`etement dans ce cas les “noyaux locaux convol´es”

K_h^G

x∗ρK_h^H,ψ0 ^x x

qui ont été définis dans le précédent Exposé IV, puis les intégrales locales I_h^G,H,ρ

x,h⁰_x,ψx(δ,(γ₁, γ₂)) = Z

GL₂(F_x)/F_x^×

dg_x·q⁻^deg^Q^(g^x⁾·(K_h^G

x∗_ρK_h^H,ψ0 ^x x )

δ,1;

γ1 0 0 γ2

· 0 1

1 0

·g_x, g_x

comme fonctions deδ∈E_x^× et (γ1, γ2)∈(F_x^×)², puis les coefficients de Fourier de ces fonctions.

Il apparaˆıt que les coefficients de Fourier qui correspondent à des caractères invariants par le plongement F_x^× ,→(F_x^×)² :γ 7→(γ, γ⁻¹) vérifient de remarquables propriétés d’annulation (et de non annulation pour certaines fonctionsh_x eth⁰_xbien particulières).

Cela conduit à formuler dans le dernier paragraphe une conjecture qui complète la Conjecture IV.7 de l’Exposé IV dans le cas de l’induction automorphe de G = Res_E/FGL1 à H = GLr via une extensionE deF de degrérpartout non ramifiée (ou plus généralement dans le cas de tout transfert automorphe d’un groupe linéaire abélien partout non ramifiéG= Q

i∈I_G

ResE_i/FGL1`a un groupe H = GLr).

Cette conjecture propose une formule explicite pour le calcul de la fonctionnelle X

χ∈Π_aut,KG

0

(G(A)/A_G) π∈Π_aut,KH

0

(H(A)/A_H) π=ρ∗χ

Tr_χ(h)·Tr_π(h⁰)

du côté géométrique.

Si cette conjecture était vraie, elle réduirait la vérification du transfert automorphe non ramifié de Gà H à la vérification d’une famille d’identités locales indexées par toutes les places.

Dans le prochain exposé, nous généraliserons cette conjecture au cadre de la fonctorialité de Langlands entre deux groupes algébriques linéaires arbitraires sur un corps de fonctions.

Cela nous amènera à reprendre partiellement l’étude que nous avons déjà faite du côté spectral, pour développer une variante de notre première approche.

(3)

1 Le cas de l’induction automorphe quadratique de GL

₁

` a GL

₂

Nous nous pla¸cons dans la continuation de l’Exposé 4, dont nous allons utiliser les notations. Notre but est de calculer dans le cas le plus simple de transfert automorphe non abélien les différentes expressions générales qui ont été introduites dans l’Exposé 4.

Considérons donc le cas de l’induction automorphe de GL₁à GL₂ via une extension quadratique séparée EdeF, avec

G= Res_E/FGL1 et H = GL2. En toute placex∈ |X|, l’isomorphisme de Satake pourH s’´ecrit

S_x^H :H_x,φ^H −→^∼ C[X₁⁰, X₂⁰]^S².

Notons |X|₊ l’ensemble des places x où l’extension E de F est scindée et|X|₋ celui où l’extension E est inerte et non ramifiée. L’isomorphisme de Satake pourGs’écrit

S_x^G :H_x,φ^G −→^∼ C[X₁, X₂] en les placesx∈ |X|+, et

S_x^G :H_x,φ^G −→^∼ C[X²] =C[X,−X]^S² en les placesx∈ |X|₋.

Dans ce paragraphe, et avec les notations de l’Expos´e 4, nous voulons calculer les fonctions locales K_h^G

x∗ρK^H,ψ

0 x

h⁰_x =K_h^G

x∗ρ^∗_x(h⁰_x)∗ρK^H,ψ

0 x

1_x

surG(Fx)²×H(Fx)², en toute placexoùE est non ramifiée, et pour toutes fonctions sphériqueshx∈ H^G_x,φ eth⁰_x∈ H^H_x,φ. Il suffit de le faire dans le cas oùh⁰_xest l’unité1_xdeH^H_x,φ.

On commence par le cas où la placexest décomposée dansE :

Proposition V.1.– Soitx∈ |X|+ une place où E est scindée et où, de plus, la forme différentielleωX est régulière.

Soith_x∈ H^G_x,φ une fonction sph´erique dont la transform´ee de Satake est de la forme S_x^G(h_x) =X₁^−k²·X₂^−k².

Alors la fonction

(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )((t⁰, t); (g⁰, g)) des ´el´ements t= (t1, t2),t⁰ = (t⁰₁, t⁰₂)deE_x^×=F_x^××F_x^× etg=

1 u 0 1

·

µ1 0 0 µ2

·k, g⁰ =

1 u⁰ 0 1

·

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

·k⁰ deGL₂(F_x)ne prend des valeurs non nulles que dans la zone d´efinie par









 vx

t⁰₁t⁰₂ t1t2

+vx

µ⁰₁µ⁰₂ µ1µ2

=k1+k2, vx(µ1)≥vx(µ2),

v_x(µ⁰₁)≥v_x(µ⁰₂). Et dans cette zone, elle vaut suivant les cas

•ψ_x(u)·ψ_x(u⁰)⁻¹·q

1 2v_x

„µ2µ0 2 µ1µ0 1

«

x si

v_x t⁰₁

t1

+v_x

µ⁰₁ µ1

=k₁

⇔ v_x t⁰₂

t2

+v_x

µ⁰₂ µ2

=k₂

,

(4)

et

vx

t⁰₁ t₁

+vx

µ⁰₂ µ₂

=k1

⇔ vx

t⁰₂ t₂

+vx

µ⁰₁ µ₁

=k2

,

• ¹₂·ψ_x(u)·ψ_x(u⁰)⁻¹·q

1 2vx

„µ2µ0 2 µ1µ0 1

«

x si l’une de ces deux égalités est vérifiée et pas l’autre,

• −¹₂·ψ_x(u)·ψ_x(u⁰)⁻¹·q

1 2v_x

„µ2µ0 2 µ1µ0 1

«

x si

v_x t⁰₁

t1

+v_x

µ⁰₁ µ2

+ 1 =k₁

⇔ v_x t⁰₂

t2

+v_x

µ⁰₂ µ1

−1 =k₂

ou bien

v_x t⁰₁

t1

+v_x

µ⁰₂ µ1

−1 =k₁

⇔ v_x t⁰₂

t2

+v_x

µ⁰₁ µ2

+ 1 =k₂

,

•0 dans tous les autres cas.

Démonstration.L’intégrale qui définit la fonction

(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)((t⁰, t); (g⁰, g)) est ´egale `a

Z

|λ1|=1=|λ2|

dλ₁·dλ₂·|λ1−λ₂|²

2 ·λ^−k₁ ¹·λ^−k₂ ²·W_x,λ_•(t⁰)·W_x,λ_•(t)·W_x,λ⁰ _•(g⁰)·W_x,λ⁰

•(g), avec

W_x,λ_•(t⁰) =λ^v^x^(t

0 1) 1 ·λ^v^x^(t

0 2)

2 ,

W_x,λ_•(t) =λ^v₁^x^(t¹⁾·λ^v₂^x^(t²⁾, W_x,λ⁰ _•(g⁰) =ψ(u⁰)⁻¹·q

vx(µ0 2 )−vx(µ0

1 )

x 2 · X

n0 1+n0

2=vx(µ0 1µ0

2) vx(µ0

1)≥n0 1,n0

2≥vx(µ0 2)

λⁿ

0 1

1 ·λⁿ

0 2

2 ,

W_x,λ⁰ _•(g) =ψ(u)⁻¹·q

vx(µ2 )−vx(µ1 )

x 2 · X

n1 +n2 =vx(µ1µ2 ) vx(µ1 )≥n1,n2≥vx(µ2 )

λⁿ₁¹·λⁿ₂².

Enfin, comme|λ1|= 1 =|λ2|, on a

|λ1−λ₂|²

2 = (λ₁−λ₂)·(λ⁻¹₁ −λ⁻¹₂ )

2 =2−λ₁λ⁻¹₂ −λ₂λ⁻¹₁

2 .

Par conséquent, notre intégrale est égale au produit de 1

2·ψ(u)·ψ(u⁰)⁻¹·q

1 2vx

„µ2µ0 2 µ1µ0

1

«

x

et de

2·#









 (n₁, n₂)

(n⁰₁, n⁰₂)

n₁+n₂=v_x(µ₁µ₂) v_x(µ₁)≥n₁, n₂≥v_x(µ₂) n⁰₁+n⁰₂=v_x(µ⁰₁µ⁰₂) vx(µ⁰₁)≥n⁰₁, n⁰₂≥vx(µ⁰₂)

et

v_x(t⁰₁)−v_x(t₁) +n⁰₁−n₁=k₁

v_x(t⁰₂)−v_x(t₂) +n⁰₂−n₂=k₂











(5)

−#









 (n1, n2)

(n⁰₁, n⁰₂)

n1+n2=vx(µ1µ2) vx(µ1)≥n1, n2≥vx(µ2) n⁰₁+n⁰₂=vx(µ⁰₁µ⁰₂) v_x(µ⁰₁)≥n⁰₁, n⁰₂≥v_x(µ⁰₂)

et

vx(t⁰₁)−vx(t1) +n⁰₁−n1=k1+ 1

v_x(t⁰₂)−v_x(t₂) +n⁰₂−n₂=k₂−1











−#









 (n1, n2)

(n⁰₁, n⁰₂)

n1+n2=vx(µ1µ2) v_x(µ₁)≥n₁, n₂≥v_x(µ₂) n⁰₁+n⁰₂=v_x(µ⁰₁µ⁰₂) v_x(µ⁰₁)≥n⁰₁, n⁰₂≥v_x(µ⁰₂)

et

vx(t⁰₁)−vx(t1) +n⁰₁−n1=k1−1

v_x(t⁰₂)−v_x(t₂) +n⁰₂−n₂=k₂+ 1









 .

Ces trois cardinaux ne peuvent ˆetre non nuls que si vx

t⁰₁t⁰₂ t1t2

+vx

µ⁰₁µ⁰₂ µ1µ2

=k1+k2, et sous cette condition, le premier des trois par exemple est ´egal `a

#





 n1

n⁰₁

vx(µ1)≥n1≥vx(µ2) v_x(µ⁰₁)≥n⁰₁≥v_x(µ⁰₂)

et vx(µ⁰₁)−vx(µ1) +n⁰₁−n1=k1





 .

On conclut la démonstration en invoquant le lemme élémentaire suivant : Lemme V.2.– Pour tous entiersm1, m2, m⁰₁, m⁰₂, la différence des cardinaux

2·#





 n∈Z

m1≥n≥m2

m⁰₁≥n≥m⁰₂







−#





 n∈Z

m1≥n≥m2

m⁰₁−1≥n≥m⁰₂−1







−#





 n∈Z

m1≥n≥m2

m⁰₁+ 1≥n≥m⁰₂+ 1





 ne peut ˆetre non nulle que si m₁≥m₂ etm⁰₁≥m⁰₂. Dans ce cas, elle vaut

• 2sim₁=m⁰₁ etm₂=m⁰₂,

• 1sim₁=m⁰₁ etm₂6=m⁰₂,

• 1sim₁6=m⁰₁ etm₂=m⁰₂,

• −1sim⁰₁=m2−1,

• −1sim1=m⁰₂−1,

(6)

• 0dans tous les autres cas.

Passons maintenant aux placesxo`u l’extensionE est inerte et non ramifi´ee :

Proposition V.3. – Soit x ∈ |X|− une place où E est inerte et non ramifiée, et où, de plus, la forme différentielle ωX est régulière.

Soithx∈ H^G_x,φ une fonction sph´erique dont la transform´ee de Satake est de la forme S_x^G(hx) =X^−2k⁰.

Alors la fonction

(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )((t⁰, t); (g⁰, g)) des ´el´ements t, t⁰ deE_x^× etg=

1 u 0 1

·

µ₁ 0 0 µ₂

·k,g⁰ = 1 u⁰

0 1

·

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

·k⁰ deGL₂(F_x) ne prend des valeurs non nulles que dans la zone d´efinie par











vx◦Nm t⁰

t

+vx

µ⁰₁µ⁰₂ µ1µ2

= 2k0, v_x(µ₁)−v_x(µ₂)∈2N,

v_x(µ⁰₁)−v_x(µ⁰₂)∈2N, et dans cette zone elle vaut

ψ(u)·ψ(u⁰)⁻¹·q

1 2v_x

„µ2µ0 2 µ1µ0 1

«

x ·(−1)^v^x^(µ²^µ⁰²⁾.

Démonstration.L’intégrale qui définit la fonction (K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )((t⁰, t); (g⁰, g)) est ´egale `a

Z

|λ0|=1

dλ₀·λ^−2k₀ ⁰·W_x,λ₀(t⁰)·W_x,λ₀(t)·W_x,(λ₀_,−λ₀₎(g⁰)·W_x,(λ₀_,−λ₀₎(g) avec

Wx,λ0(t⁰) =λ^v^x^◦Nm(t

0)

0 ,

Wx,λ₀(t) =λ^v₀^x^◦Nm(t), W_x,(λ₀_,−λ₀₎(g⁰) =ψ(u⁰)⁻¹·q

vx(µ0 2 )−vx(µ0

1 )

x 2 · X

n0 1+n0

2=vx(µ0 1µ0

2) vx(µ0

1)≥n0 1,n0

2≥vx(µ0 2)

λⁿ

0 1

0 ·(−λ0)ⁿ⁰²,

W_x,(λ₀_,−λ₀₎(g⁰) =ψ(u)⁻¹·q

vx(µ2 )−vx(µ1 )

x 2 · X

n1 +n2 =vx(µ1µ2 ) vx(µ1 )≥n1,n2≥vx(µ2 )

λⁿ₀¹·(−λ0)ⁿ².

Par conséquent, notre intégrale est égale au produit de

ψ(u)·ψ(u⁰)⁻¹·q

1 2v_x

„µ2µ0 2 µ1µ0 1

«

x

(7)

et de

X

(n₁,n₂),(n⁰₁,n⁰₂)

(−1)ⁿ²⁺ⁿ⁰² o`u les (n1, n2) et (n⁰₁, n⁰₂) sont soumis aux conditions

n1+n2=vx(µ1µ2), vx(µ1)≥n1, n2≥vx(µ2), n⁰₁+n⁰₂=v_x(µ⁰₁µ⁰₂)

vx(µ⁰₁)≥n⁰₁, n⁰₂≥vx(µ⁰₂), et

vx◦Nm(t⁰)−vx◦Nm(t) + (n⁰₁+n⁰₂)−(n1+n2) = 2k0.

On en déduit l’énoncé de la proposition.

2 Pr´ eparation au calcul des int´ egrales locales

Nous nous pla¸cons toujours dans le même cadre : celui de l’induction automorphe deG= Res_E/FGL1 à H= GL2 via une extension quadratique séparéeE deF.

Nous allons continuer les calculs locaux en une placex∈ |X|oùEest non ramifiée surF et où la forme différentielleωX est régulière. On rappelle quew0désigne la matrice de transposition

0 1 1 0

. On consid`ere une fonction sph´erique

hx∈ H_x,φ^G , et on s’int´eresse aux int´egrales locales

Z

H(F_x)/Z_H(F_x)

dg·q⁻^deg^Q^(g)·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)(δ,1;γ w0g, g) comme fonction deδ∈E_x^× et de γ= (γ1, γ2)∈TH(Fx) =F_x^××F_x^×.

On a d’abord le lemme g´en´eral suivant :

Lemme V.4.– Dans les conditions ci-dessus, on a :

(i)Pour tous δ∈E_x^× etγ= (γ1, γ2)∈TH(Fx) =F_x^××F_x^×, l’int´egrale Z

H(F_x)/Z_H(F_x)

dg·q⁻^deg^Q^(g)·(K_h^G

x∗ρK₁^H,ψ^x

x )(δ,1;γ w₀g, g) est ´egale `a

Z

H(F_x)/Z_H(F_x)

dg·q⁻^deg^Q^(g)·(K_h^Gδ

x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)(1,1;γ w0g, g) sih^δ_x:t7→hx(δ·t)désigne la fonction sphérique déduite dehx par translation parδ.

(ii)Pour tousδ∈E^×_x,γ= (γ₁, γ₂)∈T_H(F_x) =F_x^××F_x^× etγ₀∈Z_H(F_x) =F_x^×, l’int´egrale Z

H(Fx)/ZH(Fx)

dg·q⁻^deg^Q^(g)·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )(δ,1;γ0γ w0g, g) est ´egale `a

Z

H(F_x)/Z_H(F_x)

x∗_ρK₁^H,ψ^x

x )(γ₀δ,1;γ w₀g, g).

(8)

Démonstration.C’est immédiat sur la formule de définition deK_h^G

x∗ρK₁^H,ψ_x ^x dans la D´efinition IV.6.

Ce lemme permettra de limiter les calculs au cas o`u δ = 1 et o`u le support de hx est contenu dans {t∈E_x^×|vx(Nm (t)) = 0 ou 1}.

Examinons maintenant l’intégrale locale associée ci-dessus à hx,δet γ.

Les élémentsg∈H(F_x)/Z_H(F_x) s’écrivent sous la forme g=

µ 0 0 1

· 1 u

0 1

·k aveck∈GL2(Ox),u∈Fx,µ∈F_x^×,

dg=dµ·du·dk , et

µ 0 0 1

· 1 u

0 1

=

1 µu

0 1

· µ 0

0 1

,

d(µu) =|µ| ·du=q^deg(µ)·du=q^deg^Q^(g)·du , si bien que notre intégrale locale est égale à

Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·(K_h^G

x∗ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ₁ 0 0 γ₂

·w₀· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

.

Commew0= 0 1

1 0

∈GL2(Ox), on calcule γ1 0

0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

·w0=

γ1 0 0 γ2

· 1 0

u µ

=

γ1 0 γ2u µ γ2

. C’est encore ´egal `a

γ1 0 0 µ γ2

· 1 0

u µ 1

et donc, siv_x(u)≥v_x(µ), on a (K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ1 0 0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

= ψx(u)·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ1 0 0 µ γ2

,

µ 0 0 1

qui, d’après les Propositions V.1 et V.3, ne peut être non nul que si vx(µ)≥ 0 et vx(γ1) ≥ vx(µ γ2). On remarque que sivx(u) ≥vx(µ) ≥0, on a nécessairement ψx(u) = 1 puisque la forme différentielleωX est régulière enx.

Sivx(u)≤vx(µ), on ´ecrit au contraire 1 0

u µ 1

= µ

u 1 0 ^u_µ

·

0 −1 1 ^µ_u

= 1 ^µ_u

0 1

· µ

u 0 0 ^u_µ

·

0 −1 1 ^µ_u

d’o`u

γ₁ 0 γ₂u µ γ₂

=

1 _µγ^γ¹

2 · ^µ_u

0 1

· µ

u ·γ₁ 0 0 ^u_µ ·µ γ₂

·

0 −1 1 ^µ_u

=

1 _γ^γ¹

2u

0 1

· µ

uγ₁ 0 0 γ₂u

·

0 −1 1 ^µ_u

,

(9)

si bien qu’on obtient dans ce cas (K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)

δ,1;

γ1 0 0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

= ψx(u)·ψ⁻¹_x γ1

γ2u

·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)

δ,1;

µ uγ1 0

0 γ₂u

, µ 0

0 1

qui ne peut ˆetre non nul que si

vx(µ)≥0 et

vx µ uγ1

≥vx(γ2u), soit 2vx(u)≤vx

µ·^γ_γ¹

2

. En résumé, on a prouvé :

Proposition V.5. – Dans le contexte de ce paragraphe et du pr´ec´edent, on a pour tout δ ∈ E^×_x et tout γ= (γ1, γ2)∈TH(Fx) =F_x^××F_x^× :

(i)L’int´egrale locale Z

H(F_x)/Z_H(F_x)

x∗_ρK₁^H,ψ^x

x )(δ,1;γ w₀g, g) est ´egale `a

Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·(K_h^G

x∗_ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ₁ 0 0 γ2

·w₀· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

.

(ii)Pour tousµ∈F_x^× et u∈Fx, la fonction `a int´egrer (K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)

δ,1;

γ1 0 0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

vaut suivant les cas :

•siv_x(u)≥v_x(µ)









 (K_h^G

x∗ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ1 0 0 µ γ2

,

µ 0 0 1

si vx(µ)≥0,

et vx(γ1)≥vx(µ γ2), 0 sinon,

•sivx(u)≤vx(µ)











ψx(u)·ψ⁻¹_x _γ

1

γ2u

·(K_h^G

x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)

δ,1;

µ uγ₁ 0

0 γ₂u

, µ 0

0 1

si vx(µ)≥0, et 2vx(u)≤vx

µ· ^γ_γ¹

2

, 0sinon.

Le facteurψx(u)·ψ⁻¹_x _γ

1

γ₂u

qui apparaˆıt dans la derni`ere partie de la proposition ci-dessus conduit `a calculer :

(10)

Lemme V.6.– Soientmet v deux entiers.

(i)Pour tout élément γ∈F_x^× de valuation v_x(γ) =v, l’intégrale Z

Fx

du·1(v_x(u) =m)·ψ_x(u)·ψ⁻¹_x γ u

• 1−_q¹

x

·q^−m_x sim≥0 etv−m≥0,

• −1sim=−1 etv−m≥0,

• −qx^−(m+1) sim≥0 etv−m=−1,

• 0 sim6=v−met







m≤ −2 ou

v−m≤ −2

• la somme de Kloosterman

Kl(ψx, γ) = Z

F_x

du·1

vx(u) = v 2

·ψx(u)·ψ⁻¹_x γ u

siv= 2m etm≤ −1.

(ii)De plus, sim=v−m≤ −1 etχ:F_x^×→C^× est un caract`ere, l’int´egrale Z

F_x^×

dλ·χ(λ)·1(v_x(λ) =v)·Kl(ψ_x, λ) vaut suivant les cas :

• ^z^x_q^(χ)⁻¹

x−1 sim=v−m=−1 etχ est non ramifi´e,

• 0 sim=v−m≤ −2et χest non ramifi´e,

• ¹

1−_qx¹ ·ε(ψ_x, χ)·ε(ψ_x, χ)siχest ramifié de conducteur −m, etε(ψ_x, χ)désigne le facteurεde module 1 associé àχ etψx,

• 0 siχ est ramifi´e de conducteur6=−m.

D´emonstration.Ce sont des calculs faciles. On rappelle que siχ est ramifi´e de conducteur−m≥1, ε(ψ_x, χ) =qx^m² ·

Z

F_x

du·1(v_x(u) =m)·ψ_x(u)·χ(u)

est n´ecessairement de module 1.

Nous voulons calculer les int´egrales locales Z

H(Fx)/ZH(Fx)

dg·q⁻^deg^Q^(g)·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )(δ,1;γ w0g, g)

= Z

Fx^×

dµ· Z

Fx

du·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ^x

x )

δ,1;

γ1 0 0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

. D’après le Lemme V.4, il suffit de traiter le cas où δ= 1 et où la transformée de SatakeS^G_x(hx) a l’une des forme suivantes :

•

X₁^−k¹·X₂^−k² avec k₁+k₂= 0 et k₁≥0, ou k₁+k₂= 1 et k₁≥1, quand la placexest scind´ee dansE,

• 1 quand la placexest inerte et non ramifi´ee dans E.

(11)

3 Le cas o` u x est scind´ ee et k

₁

+ k

₂

= 0

On suppose donc queEx=Fx×Fx, et on cherche `a calculer les int´egrales Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·(K_h^G_x∗ρK₁^H,ψ_x ^x)

1,1;

γ1 0 0 γ2

·w0· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

lorsqueS_x^G(h_x) =X₁^−k¹·X₂^−k² aveck₁+k₂= 0 etk₁≥0.

Nous allons prouver :

Proposition V.7.– Lorsque S_x^G(hx) = X₁^−k¹ ·X₂^−k² avec k1+k2 = 0 et k1 ≥0, l’int´egrale ci-dessus ne peut-ˆetre non nulle que si

vx(γ1) +vx(γ2) = 0.

Si cette condition est v´erifi´ee, et en posantv=vx(γ1) =−vx(γ2), elle vaut suivant les cas : (i)Si k1≥1 :

• ¹₂· 1 + _q¹

x

·(q^k_x¹+q_x^−k¹)·q_x^−2v siv≥k1,

• −¹₂· ¹

1−_qx¹ ·(q_x^−k¹+q_x^−3k¹)siv=k1−1,

• 0 siv < k₁−1.

(ii)Sik1= 0 :

• 1 +_q¹

x

·q^−2v_x siv≥0,

• ₁₋¹1 qx

·Kl ψx,^γ_γ¹

2

siv <0.

Démonstration.La première assertion résulte de la Proposition V.1.

Sivx(γ1) =v=−vx(γ2), notre intégrale est égale d’après les Propositions V.1 et V.5 à la somme de Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·1(vx(u)≥vx(µ))·1(0≤vx(µ)≤2v)·q_x^−v· 1

2[1(vx(µ) =v−k1) +1(vx(µ) =v+k1)]

et de

Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·1(vx(u)< vx(µ))·1(vx(µ)≥0)·1(2vx(u)≤vx(µ) + 2v) ψx(u)·ψ⁻¹_x

γ1

γ₂u

·q_x^v^x^(u)−v^x^(µ)−v· 1

2[1(vx(u) =v−k1) +1(vx(u) =v+k1)].

Commek1≥0, l’encadrement 0≤vx(µ)≤2véquivaut àv≥k1 sivx(µ) =v−k1ou sivx(µ) =v+k1. Donc la première intégrale ci-dessus vaut

• q^−v_x ·¹₂(q^−v+k_x ¹+q_x^−v−k¹) siv≥k₁,

• 0 siv < k1.

Voyons maintenant la seconde int´egrale. Sivx(u) =v−k1, les encadrements v_x(u)< v_x(µ), v_x(µ)≥0, 2v_x(u)≤v_x(µ) + 2v

´equivalent `a

v_x(µ)> v−k₁ et v_x(µ)≥0. Et sivx(u) =v+k1, ils ´equivalent `a

vx(µ)> v+k1, vx(µ)≥2k1.

(12)

Supposons d’abord quek1≥1.

D’après le Lemme V.6, l’intégrale ne peut être non nulle que si v−k1≥ −1. Siv≥k1, l’intégrale devient

1 2 ·

Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·1(vx(u) =v−k1)·1(vx(µ)> v−k1)·q_x^−k¹^−v^x^(µ)

+ 1

2 Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·1(v_x(u) =v+k₁)·1(v_x(µ)> v+k₁)·q_x^k¹^−v^x^(µ)

= 1

2 ·

1− 1 qx

·q_x^−v+k¹· q_x^−v−1 1−_q¹

x

+ 1

2 ·

1− 1 q_x

·q_x^−v−k¹· q_x^−v−1 1−_q¹

x

= 1

2 ·q_x^−2v−1·(q^k_x¹+q_x^−k¹). Et siv=k1−1, elle devient

1 2 ·

Z

F_x^×

dµ· Z

Fx

du·1(vx(u) =−1)·1(vx(µ)≥0)·q^−k_x ¹^−v^x^(µ)·ψx(u)·ψ_x⁻¹ γ1

γ₂u

+ 1

2 · Z

Fx^×

dµ· Z

Fx

du·1(vx(u) = 2k1−1)·1(vx(µ)≥2k1)·q_x^k¹^−v^x^(µ)ψx(u)·ψ_x⁻¹ γ1

γ₂u

= −1

2 ·q^−k_x ¹· 1 1−_q¹

x

−1

2 ·q^−2k_x ¹·q_x^k¹· q^−2k_x ¹ 1−_q¹

x

= −1 2 · 1

1−_q¹

x

·(q_x^−k¹+q_x^−3k¹). Enfin, supposons quek1= 0.

Alors notre seconde int´egrale s’´ecrit Z

F_x^×

dµ· Z

F_x

du·1(v_x(u) =v)·1(v_x(µ)≥max{v+ 1,0})·q_x^−v^x^(µ)·ψ_x(u)·ψ⁻¹_x γ1

γ₂u

. Siv≥0, on obtient

1− 1

q_x

·q^−v_x · q_x^−v−1 1−_q¹

x

=q_x^−2v−1, et siv≤ −1, on obtient

1 1−_q¹

x

·Kl

ψx,γ1

γ₂

.

Cela termine la d´emonstration de la proposition.

On d´eduit de cette proposition et du Lemme V.6(ii) :

(13)

Corollaire V.8.– LorsqueS^G_x(hx) =X₁^−k¹·X₂^−k² avec k1+k2= 0etk1≥0, et siχ1, χ2:F_x^×→C^× sont deux caract`eres multiplicatifs, l’int´egrale

Z

F_x^×

dγ₁·χ₁(γ₁)· Z

F_x^×

dγ₂·χ₂(γ₂)· Z

F_x^×

dµ· Z

F_x^×

du·

(K_h^G

x∗_ρK₁^H,ψ^x

x )

1,1;

γ₁ 0 0 γ2

·w₀· 1 u

0 1

· µ 0

0 1

, 1 u

0 1

· µ 0

0 1

(i)Si k1≥1 etχ1, χ2 sont non ramifi´es : 1

2· (q_x^−k¹+q^−3k_x ¹) 1−_q¹

x

·z_x χ₁

χ2

k1

·

1−zx

_χ

1

χ₂

−1

1−qx⁻²·zx

_χ

1

χ₂

. (ii)Sik1≥1 etχ1 ouχ2 est ramifi´e :

0. (iii)Sik₁= 0etχ₁, χ₂ sont non ramifi´es :

1−^1−z^x

“_χ

1 χ2

”−1

q_x −_q¹2 x

1−_q¹

x

²

·

1−qx⁻²·z_x_χ

1

χ2

. (iv)Si k1= 0,χ1χ2 est non ramifi´e et χ1, χ2 sont ramifi´es :

1

1−_q¹

x

² ·ε(ψ_x, χ₁)·ε(ψ_x, χ⁻¹₂ ). (v)Sik1= 0 etχ1χ2 est ramifi´e :

0. Remarque.On note que si ^χ_χ¹

2 est le caract`ere trivial, l’expression de (i) s’annule et celle de (iii) devient 1

1−_q¹

x

².

D´emonstration du corollaire.

(i) Si χ1, χ2 sont non ramifi´es, posons z = zx

χ1

χ₂

. D’apr`es le Proposition V.7(i), notre int´egrale est la somme de

1 2 ·

1 + 1

q_x

·(q_x^k¹+q^−k_x ¹)· (q_x⁻²·z)^k¹ 1−qx⁻²·z et de

−1 2 · 1

1−_q¹

x

·(q^−k_x ¹+q_x^−3k¹)·z^k¹⁻¹. En mettant en facteur

1

2· (q^k_x¹+q_x^−k¹)

1−_q¹

x

·(1−q⁻²x ·z) ,

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e Laurent Laﬀorgue