1 Ordre dans GL

M _n ( Z )

1 Ordre dans GL

( Z )

SoitM ∈GL₂(Z)d'ordre ni n. Montrer quen∈ {1,2,3,4,6}et que ces valeurs sont atteintes.

2 GL

( Z )

SoitM ∈GL₃(Z)n'ayant pour valeur propre ni 1 ni−1. Montrer queM est diagonalisable dansM₃(C). Indications

Siλest racine deP et deP⁰,λest racine du reste de la division deP parP⁰.

3 Ordre dans GL

( Z )

Icin≥1est xé. Soit

E=

M ∈Mn(Z)/∃k∈N^∗, M^k=In

Montrer que :

∃q∈N^∗,∀M ∈E, M^q=In

Autrement dit, l'ordre des éléments deGLn(Z)qui sont d'ordre ni est majoré par un entierqqui ne dépend que den.

4 Partie génératrice de SL

( Z )

On note

G=SL2(Z) ={M ∈M2(Z)/detM = 1}

1-Gest-il cyclique ?

2- Montrer queGest engendré par{A, B}avec A=

1 1 0 1

, B =

0 −1 1 0

5 A

= I

SoitA∈Mn(Z), diagonalisable, telle queSp (A)⊂U.

Montrer que

∃q∈N^∗, A^q =In

6 A

− I

nilpotente

SoitA∈Mn(Z)∩GLn(R). On suppose que

∀λ∈Sp (A),|λ| ≤1 1- Montrer queA∈GLn(Z).

2- Montrer l'existence dek∈N^∗ tel queA^k−In soit nilpotente.

Indications Etudier lesχ_Ak.

1

7 A circulante dans M

( Z )

Soitppremier,A∈Mp(Z)circulante. Montrer que

detA≡a₀+a₁+...+a_p−1[p]

Indications UtiliserA^p.

8 Matrices dans M

( Z /p Z )

Soitppremier etK=Z/pZ; donner le nombre de matrices nilpotentes et le nombre de matrices inversibles dansM2(K). Indications

1- Nilpotentes. Soit A = a c

b d

; montrer d'abord que M est nilpotente si et seulement si a+d = 0et ad−bc = 0; ensuite :

- cas oùa6= 0: p−1 choix poura;d=−a; p−1 choix pourb ;cest alors imposé : c=−a².b⁻¹

Total : (p−1)².

- cas oùa= 0: d= 0;2p−1 choix pour(b, c). Conclusion :

p² 2- Inversibles.

(a, b)non nul : p²−1 possibilités ;(a, b)étant choisi,(c, d)doit être non proportionnel à(a, b): p²−pchoix. Conclusion : p²−1

p²−p

9 SL

(K)

Soitppremier, etK=Z/pZ.

1- Trouver le cardinal deSL2(K).

2- On admet que pour toute matriceM à coecients entiers, TrM^p≡TrM[p]

Trouver

card{A∈SL2(K)/ A^p=I2}

Indications 1-p p²−1

2-χA=X²−. 2X+ 1 ; on est ramené au nombre de matrices nilpotentes.

10 χ

Soitppremier etK=Z/pZ.

1- Montrer que pour tout polynômeP ∈K[X]:

P(X^p) = (P(X))^p 2- SoitA∈Mn(K)etB =A^p. Montrer que

χA=χB

En particulier : pour toute matriceM à coecients entiers,

TrM^p≡TrM[p]

2

Indications

UtiliserA^p−X^pIn= (A−XIn)^p.

11 Matrices de passage dans SL

( Z )

SoitM ∈M2(Z)telle queM²=I2. 1- Que dire dedetM,TrM ? 2- Que dire deM sidetM = 1 ? On suppose quedetM 6= 1.

3- Montrer l'existence deP ∈SL2(Z)telle que P⁻¹M P =

0 1 1 0

ou

1 0 0 −1

4- Montrer que le 'ou' est exclusif.

12 AB − I

multiple de q

Soitn, q≥1. SoitA, B∈M_n(Z). On suppose que tous les coecients deAB−I_n sont multiples deq; montrer qu'il en est de même deBA−I_n.

13 Une suite d'entiers

On dénit(un)paru0= 4, u1=u2= 0, u3= 3, et

∀n∈N, u_n+4=u_n+u_n+1 1- Montrer l'existence dez₁, ..., z₄tels que

∀n∈N, un=

4

X

j=1

z_jⁿ

2- Montrer que sipest premier,pdiviseup. Indications

TrM^p≡TrM[p]

3