Indications Série n˚ 1

Université Cadi Ayyad

Faculté poly-disciplinaire de Safi

Département de Mathématiques et Informatique

Année Universitaire : 2019−2020 Filières : SMA &SMI

Semestre : S2 Module : Algèbre 3

Série N

1

Exercice 1.

1. Soient E¹,· · · , Eⁿdes K-espaces vectoriels. On définit deux lois+et.sur E¹× · · · ×Eⁿ en posant pour toutλ∈K et pour tous (x¹,· · · , xⁿ),(y¹,· · · , yⁿ)∈E¹× · · · ×Eⁿ :

(x¹,· · · , xⁿ) + (y¹,· · · , yⁿ) = (x¹+y¹,· · · , xⁿ+yⁿ) etλ.(x¹,· · · , xⁿ) = (λ.x¹,· · · , λ.xⁿ).

Montrer que E¹× · · · ×Eⁿ est unK-espace vectoriel.

2. En déduire que si E est un K-espace vectoriel, alors Eⁿ est unK-espace vectoriel.

En particulier, Kⁿ est un K-espace vectoriel.

Exercice 2.

1. Soient X un ensemble non vide et E un K-espace vectoriel. On note E^X = F(X, E) l’ensemble de toutes les applications de X dans E. On définit deux lois + et . sur E^X en posant pour tout λ∈K et pour tout (f, g)∈E^X ×E^X :

∀x∈X, (f +g)(x) := f(x) +g(x) et (λ.f)(x) :=λf(x).

Montrer E^X muni de ces deux lois est un K-espace vectoriel.

2. En déduire que l’ensemble K^N de toutes les suites d’éléments de K est un K-espace vectoriel.

3. En déduire aussi que l’ensemble de toutes les suites réelles convergentes est unR-espace vectoriel.

Exercice 3.

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R²? 1. F1 ={(x, y)∈R²| x=y};

2. F2 ={(x, y)∈R²| x≤y};

3. F³ ={(x, y)∈R²| xy = 0};

4. F4 ={(x, y)∈R²| x+y= 1}.

Exercice 4.

Soient E un K-espace vectoriel et F et Gdeux sous-espaces vectoriels de E.

1. Montrer que F ∪G est un sous-espace vectoriel si, et seulement si F ⊂G ouG⊂F. 2. En déduire que si F 6=E et G6=E. Alors F ∪G6=E.

Exercice 5.

Soient E un K-espace vectoriel et A etB deux parties non vides de E.

1. Montrer que Vect(A) =A si, et seulement si A est un sous-espace vectoriel de E.

2. Démontrer que si A⊂B. Alors Vect(A)⊂Vect(B).

3. En déduire que Vect(A∩B) Vect(A)∩Vect(B) et Vect(A∪B) =Vect(A) +Vect(B).

Exercice 6.

On note e1 et e2 les vecteurs de R² donnés par e1 = (1,0)et e2 = (0,1). Considérons les sous-espaces vectoriels F⁰ et G⁰ deR² définis par :

F⁰ ={(x, y)∈R²| y= 0} etG⁰ ={(x, y)∈R²| x= 0}.

1. Démontrer que F0 =Vect(e1)et G0 =Vect(e2).

1

2. Montrer que R² =F⁰⊕G⁰.

3. Considérons les sous-espaces vectoriels F¹ et G¹ de R² définis par :

F¹ ={(x, y)∈R²| x=y} etG¹ ={(x, y)∈R²| x=−y}.

Démontrer queF1 =Vect(a¹)et G1 =Vect(a²), avec a1 = (1,1) eta2 = (−1,1).

4. Montrer que R² =F1⊕G1. Exercice 7.

On note P(R,R)(resp. I(R,R)) l’ensemble de toutes les fonctions paires (resp. impaires) de R dansR.

1. Vérifier que P(R,R)et I(R,R) sont des sous-espaces vectoriels du R-espace vectoriel F(R,R).

2. Montrer que F(R,R) =P(R,R)⊕I(R,R).

Exercice 8.

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? 1. f¹ :R^∗ −→R, x7−→f¹(x) = 2x;

2. f2 :R−→R, x7−→f2(x) =x²; 3. f3 :R−→R, x7−→f3(x) =x+ 1;

4. f⁴ :R−→R², x7−→f⁴(x) = (x,2x).

Exercice 9.

Considérons l’application ϕ:R² −→R²,(x, y)7−→ϕ(x, y) = (x−y, x+y).

1. Vérifier que ϕ est une application linéaire.

2. Déterminer le noyau Ker(ϕ) et l’image Im(ϕ) deϕ.

Exercice 10.

Soient E, E¹,· · · , Eⁿ des K-espaces vectoriels et considérons une application f définie par : f : E −→ E1× · · · ×En

x 7−→ f(x) = (f¹(x),· · ·, fn(x)).

1. Montrer que f est linéaire si, et seulement si chaque application fⁱ : E −→ Eⁱ, x 7−→ fⁱ(x) est linéaire.

2. Supposons que f est une application linéaire.

i) Déterminer le noyau Ker(f) def en fonction des Ker(fⁱ) pour1≤i≤n.

ii) Déterminer l’image Im(f)de f en fonction des Im(fⁱ) pour1≤i≤n.

Exercice 11.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et ϕ :E −→F une application linéaire. Montrer que si ϕ est bijective. Alors l’application réciproque ϕ⁻¹:F −→E est une application linéaire.

Exercice 12.

1. Soient e¹ = (1,0) ete² = (0,1). Montrer que {e¹, e²} est une famille libre de K². 2. Soient a1 = (1,1) eta2 = (−1,1). Montrer que {a¹, a2} est une famille libre de K².

3. Soient e1 = (1,0,0), e² = (0,1,0), e³ = (0,0,1). Montrer que {e¹, e2, e3} est une famille libre de K³.

4. Plus généralement, montrer que {e1,· · · , eⁿ}est une famille libre de Kⁿ.

5. Montrer que les familles précédentes sont des familles génératrices. En déduire qu’elles sont des bases.

Exercice 13.

Les familles suivantes de R³ sont-elles libres, liées, génératrices, bases ? 1. a1 = (1,0,1)et a2 = (1,2,2);

2. a1 = (1,0,0), a² = (1,1,0) eta3 = (1,1,1); 3. a1 = (1,2,1), a² = (2,1,−1)et a3 = (1,−1,−2);

4. a1 = (1,−1,1), a² = (2,−1,3) eta3 = (−1,1,−1).

2

Indications Série n˚ 1

Exercice 1. 1) Remarquons d’abord que E1× · · · ×En 6=∅ car E16=∅ et ... etEn 6=∅(chaque Ei est un K-espace vectoriel). Remarquons aussi + est une loi de composition interne sur E1× · · · ×En et . est une loi de composition externe.

Montrons maintenant par récurrence sur n que E1× · · · ×En est unK-espace vectoriel. Pour n= 1, il n’y rien à montrer. Pour n = 2. On a

1) (E1×E2,+) est un groupe commutatif :

i) ∀(x1, x2),(y1, y2),(z1, z2) ∈ E1 ×E2, [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) = (x1 +y1, x2+y2) + (z1, z2) = (x1+y1+z1, z2+y2+z2) = (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)];

ii) ∃0 = (0E1,0E2)∈E1×E2, ∀(x1, x2)∈E1×E2, (x1, x2) + 0 = 0 + (x1, x2) = (x1, x2);

iii) ∀(x1, x2)∈E1×E2, ∃ −(x1, x2) = (−x1,−x2)∈E1×E2, (x1, x2)−(x1, x2) = −(x1, x2)+(x1, x2) = 0;

iv) ∀(x1, x2),(y1, y2)∈E1×E2, (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) = (y1+x1, y2+x2) = (y1, y2) + (x1, x2);

2) La loi externe . vérifie :

v) ∀α ∈ K, ∀(x1, x2),(y1, y2) ∈ E1 × E2, α.((x1, x2) + (y1, y2)) = α.(x1 +y1, x2 +y2) = (α.(x1 + y1), α.(x2+y2)) = (α.x1+α.y1, α.x2+α.y2) =α.(x1, x2) +α.(y1, y2);

vi) ∀α, β ∈ K, ∀(x1, x2)∈E1×E2, (α+β).(x1, x2) = ((α+β).x1,(α+β).x2) = (α.x1+β.x1, α.x2+ β.x2) =α.(x1, x2) +β.(x1, x2);

vii) ∀α, β ∈ K, ∀(x1, x2) ∈ E1 × E2, α.(β.(x1, x2)) = α.(β.x1, β.x2) = ((αβ).x1,(αβ).x2) = (αβ).(x1, x2);

viii) ∀(x1, x2)∈E1×E2, 1.(x1, x2) = (1.x1,1.x2) = (x1, x2).

Par suite, (E1×E2,+, .)est un K-espace vectoriel.

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour n −1. Posons E₂⁰ = E2 × · · · ×En. D’après l’hypothèse de récurrence, E₂⁰ est unK-espace vectoriel. CommeE1× · · · ×En =E1×E₂⁰, on en déduit que (E1× · · · ×En,+, .)est un K-espace vectoriel.

2) Soit E un K-espace vectoriel. Posons E1 = · · · = En = E. Alors d’après la question 1), Eⁿ =E× · · · ×E =E1× · · · ×En est un K-espace vectoriel.

En particulier, si E =K. Alors Kⁿ =K × · · · ×K est un K-espace vectoriel.

Exercice 2. •) Comme E est un K-espace vectoriel, il contient au moins l’élément neutre 0E. D’où on a l’application nulle 0 : X −→E, x7−→0E qui est donc un élément de E^X. i.e.E^X 6=∅.

••) L’opération+est une loi de composition interne surE^X, et l’opération .est une loi de composition externe sur E^X.

1) (E^X,+) est un groupe commutatif : i) ∀f, g, h∈E^X, (f +g) +h=f + (g+h); ii) ∃0∈E^X, ∀f ∈E^X, f + 0 = 0 +f =f; iii) ∀f ∈E^X, ∃ −f ∈E^X, f −f =−f+f = 0;

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iv) ∀f, g ∈E^X, f +g =g+f; 2) La loi externe . vérifie :

v) ∀α∈K, ∀f, g∈E^X, α.(f+g) =α.f +α.g; vi) ∀α, β ∈K, ∀f ∈E^X, (α+β).f =α.f+β.f; vii) ∀α, β ∈K, ∀f ∈E^X, α.(β.f) = (αβ).f; viii) ∀f ∈E^X, 1.f =f.

Par suite, (E^X,+, .)est un K-espace vectoriel.

2) On aK^N=F(N, K). PuisqueKest unK-espace vectoriel, d’après la question 1),K^Nest unK-espace vectoriel.

3) L’ensemble de toutes les suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de R^N. Exercice 3. i) On aF1 est un sous-espace vectoriel de R². En effet,

*) On a (0,0)∈F1.

**) Si (λ, µ)∈R×R et (x, y),(x⁰, y⁰)∈F1. Alors on a x=y et x⁰ =y⁰. D’où λx=λy et µx⁰ =µy⁰. Il vient que λx+µx⁰ =λy+µy⁰. Donc λ(x, y) +µ(x⁰, y⁰)∈F1.

ii)F2 n’est pas un sous-espace vectoriel deR². CarF2 n’est pas stable par multiplication par un scalaire.

Si (x, y)∈R² tel que x < y. Alors on a (x, y)∈F2. Mais −(x, y)6∈F2. Car −x >−y.

iii) F3 n’est pas un sous-espace vectoriel de R². CarF3 n’est pas stable par l’addition. On(1,0)∈F3 et (0,1)∈F3. Mais (1,0) + (0,1) = (1,1)6∈F3.

iv) F4 n’est pas un sous-espace vectoriel de R². Car (0,0)6∈F4.

Exercice 4. 1) ⇐=) Supposons que F ⊂ G ou G⊂ F. On a donc F ∪G =G ou F ∪G =F. Ainsi dans les deux cas F ∪G est un sous-espace vectoriel de E car F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.

=⇒) Supposons que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E. Supposons que G 6⊂ F. Montrons que F ⊂ G. On a G 6⊂ F. Il existe donc a ∈ G tel que a 6∈ F. Soit maintenant x ∈ F. Il s’ensuit que x ∈ F ∪ G. Comme a ∈ F ∪G et F ∪G est un sous-espace vectoriel, on a x+a ∈ F ∪G. Plus précisément, on a x+a ∈ G. Car si x+a ∈ F, on obtient a = x+a−x ∈ F. Contradiction. On en déduit que x = x+a−a ∈ G. Ce qui montre que F ⊂G. On montre de même que si F 6⊂ G. Alors G⊂F.

2) Supposons que F 6=E etG6=E. Alors on a nécessairement F ∪G6=E. Car si F ∪G=E. Il vient que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E. Donc d’après la question 1), F ⊂ G ou G ⊂ F. D’où G=E ouF =E. Contradiction avec l’hypothèse. Par suite,F ∪G6=E.

Exercice 5. 1)=⇒) Si Vect(A) = A. Alors A est un sous-espace vectoriel de E. Car par définition, Vect(A)est un sous-espace vectoriel de E.

⇐=) Supposons que A est un sous-espace vectoriel deE. On a donc A⊂A. Or par définition, Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E tel que A ⊂ Vect(A). Il vient que Vect(A) ⊂ A. Par suite, Vect(A) =A.

2) Supposons que A⊂B. CommeB ⊂Vect(B), il vient que A⊂Vect(B). OrVect(A)est le plus petit sous-espace vectoriel de E tel que A⊂Vect(A). On en déduit queVect(A)⊂Vect(B).

3) i) On a A∩B ⊂ A et A∩B ⊂ B. Donc d’après la question 2), on a Vect(A∩B) ⊂ Vect(A) et Vect(A∩B)⊂Vect(B). D’où Vect(A∩B)⊂Vect(A)∩Vect(B).

Soit a ∈E\{0E}. Considérons A={a} etB ={2a}. Alors on aA∩B =∅. D’où Vect(A∩B) = {0E}.

Mais Vect(A) = Vect(B) = Vect(a)6={0E}.

ii) On a A ⊂ A∪B et B ⊂ A∪B. Donc d’après la question 2), on a Vect(A) ⊂ Vect(A ∪B) et Vect(B)⊂Vect(A∪B). D’où Vect(A) + Vect(B)⊂ Vect(A∪B). Car Vect(A∪B) est un sous-espace vectoriel.

D’autre part, on a A ⊂ Vect(A) ⊂ Vect(A) + Vect(B) et B ⊂ Vect(B) ⊂ Vect(A) + Vect(B). D’où

A∪B ⊂ Vect(A) + Vect(B) car Vect(A) + Vect(B) sous-espace vectoriel. Or Vect(A∪B) est le plus petit sous-espace vectoriel tel que A∪B ⊂ Vect(A∪B). Donc Vect(A∪B) ⊂Vect(A) + Vect(B). Ce qui montre que Vect(A∪B) = Vect(A) + Vect(B).

Exercice 6. 1) On a

F0={(x, y)∈R²| y= 0}={(x,0)| x∈R}

={x(1,0)| x∈R}

={x.e1 | x∈R}

={λ.e1| λ∈R}

= Vect(e1).

De même, on a

G0 ={(x, y)∈R² | x= 0}={(0, y)| y∈R}

={y(0,1)| y∈R}

={y.e2 | y∈R}

={λ.e2 | λ∈R}

= Vect(e2).

2) Pour tout (x, y)∈R², on a (x, y) = (x,0) + (0, y). Donc R² =F0+G0. De plus, on aF0∩G0 ={0}.

Par suite, R² =F0⊕G0. 3) On a

F1 ={(x, y)∈R² | y=x}={(x, x)| x∈R}

={x(1,1)| x∈R}

={x.a1 | x∈R}

={λ.a1 | λ∈R}

= Vect(a1).

De même, on a on a

G1 ={(x, y)∈R² | y=−x}={(−y, y)| y∈R}

={y(−1,1)| y∈R}

={y.a2 | y∈R}

={λ.a2 | λ∈R}

= Vect(a2).

4) Pour tout (x, y) ∈ R², on a (x, y) = (^x+y₂ ,^x+y₂ ) + (^x−₂^y,^y−₂^x). Donc R² = F1 +G1. De plus, on a F1∩G1 ={0}. Par suite, R² =F1⊕G1.

Exercice 7. 1)•) *) Il est clair que la fonction nulle 0 est paire. Donc0∈P(R,R).

**) Soient λ, µ∈ R et f, g ∈ P(R,R). Donc pour tout x ∈ R, f(−x) = f(x) et g(−x) = g(x). Il vient que pour tout x∈R,(λf+µg)(−x) = λf(−x) +µg(−x) =λf(x) +µg(x) = (λf+µg)(x). C’est-à-dire λf +µg∈P(R,R). Ce qui montre queP(R,R) est sous-espace vectoriel de F(R,R).

••) On montre de même que I(R,R) est sous-espace vectoriel de F(R,R).

2) Soit f ∈ F(R,R). Alors pour tout x ∈ R, on peut écrire f(x) = f(x) +f(−x)

2 + f(x)−f(−x)

2 .

Posons g(x) = f(x) +f(−x)

2 eth(x) = f(x)−f(−x)

2 . Alors g ∈P(R,R),h∈I(R,R)et f =g+h. Ce qui montre queF(R,R) =P(R,R)+I(R,R). De plus, sif ∈P(R,R)∩I(R,R). Alors pour toutx∈R, on

af(x) = −f(x). C’est-à-dire2f(x) = 0. Donc pour toutx∈R,f(x) = 0. D’oùP(R,R)∩I(R,R) = {0}.

Par suite, F(R,R) =P(R,R)⊕I(R,R).

Exercice 8. i) L’application f1 n’est pas linéaire car R^∗ n’est pas un espace vectoriel.

ii) L’application f2 n’est pas linéaire car six, y ∈R^∗. Alors f2(x+y)6=f2(x) +f2(y).

iii) L’application f3 n’est pas linéaire car f3(0)6= 0.

iv) L’application f4 est linéaire. En effet, soient λ, µ∈R et x, y ∈R. Alors on a f4(λx+µy) = (2(λx+µy), λx+µy) =λ(2x, x) +µ(2y, y) =λf4(x) +µf4(y).

Exercice 9. 1) Soientλ, µ∈R et(x, y),(x⁰, y⁰)∈R². On a ϕ(λ.(x, y) +µ.(x⁰, y⁰)) = ϕ(λ.x+µ.x⁰, λ.y+µ.y⁰)

= (λ.x+µ.x⁰−(λ.y+µ.y⁰), λ.x+µ.x⁰+λ.y+µ.y⁰)

= (λ(x−y) +µ(x⁰−y⁰), λ(x+y) +µ(x⁰ +y⁰))

= (λ(x−y), λ(x+y)) + (µ(x⁰−y⁰), µ(x⁰+y⁰))

=λ.(x−y, x+y) +µ.(x⁰−y⁰, x⁰ +y⁰)

=λ.ϕ(x, y) +µ.ϕ(x⁰, y⁰).

Donc ϕ est une application linéaire.

2) *) Soit (x, y)∈R². On a :

(x, y)∈ker(ϕ)⇐⇒ϕ(x, y) = 0^R2

⇐⇒(x−y, x+y) = (0,0)

⇐⇒x−y= 0etx−y= 0

⇐⇒x=yetx=−y

⇐⇒x=yetx=−y

⇐⇒x=−xety=−y

⇐⇒x= 0ety= 0 .

Donc ker(ϕ) ={0^R2}. On en déduit que ϕ est injective.

**) On a

Im(ϕ) ={ϕ(x, y)| (x, y)∈R²}

={(x−y, x+y)| (x, y)∈R²}

={(x, x) + (−y, y)| (x, y)∈R²}

={x.(1,1) +y.(−1,1)| (x, y)∈R²}

={λ.(1,1) +µ.(−1,1)| λ, µ∈R}

= Vect(a1) + Vect(a2)

=R².

Avec a1 = (1,1)et a2 = (−1,1). On en déduit que ϕ est surjective.

Exercice 10. 1)=⇒) Supposons quef est une application linéaire. Soient(λ, µ)∈K×K etx, y ∈E. On a donc f(λ.x+µ.y) =λ.f(x) +µ.f(y). C’est-à-dire

(f1(λ.x+µ.y), . . . , fn(λ.x+µ.y)) =λ.(f1(x), . . . , fn(x)) +µ.(f1(y), . . . , fn(y))

= (λ.f1(x) +µ.f1(y), . . . , λ.fn(x) +µ.fn(y)).

On en déduit que f1(λ.x+µ.y) = λ.f1(x) +µ.f1(y) et . . . et fn(λ.x+µ.y) = λ.fn(x) +µ.fn(y). Donc chaque application fi: E −→Ei, x7−→fi(x) est linéaire.

=⇒) Supposons que chaque application fi: E −→ Ei est linéaire. Soient (λ, µ) ∈ K ×K et x, y ∈ E.

On a donc

f(λ.x+µ.y) = (f1(λ.x+µ.y), . . . , fn(λ.x+µ.y))

= (λ.f1(x) +µ.f1(y), . . . , λ.fn(x) +µ.fn(y))

=λ.(f1(x), . . . , fn(x)) +µ.(f1(y), . . . , fn(y))

=λ.f(x) +µ.f(y).

Donc f est une application linéaire.

2) Supposons que f est une application linéaire.

i) On a

ker(f) ={x∈E | f(x) = 0E1×···×En}

={x∈E | (f1(x), . . . , fn(x)) = (0E1, . . . ,0En)}

={x∈E | f1(x) = 0E1 et . . . etfn(x) = 0En}

={x∈E | x∈ker(f1)et . . . etx∈ker(fn)}

=

n

\

i=1

ker(fi).

ii) On a

Im(f) ={f(x)| x∈E}

={(f1(x), . . . , fn(x))| x∈E}

{f1(x)| x∈E} × · · · × {fn(x)| x∈E}

Im(f1)× · · · ×Im(fn).

Exercice 11. Supposons que ϕ est une application linéaire et bijective. Soient (λ, µ) ∈ K ×K et z, t ∈F. Comme ϕ est bijective, il existe x, y ∈E tels que z =ϕ(x) ett =ϕ(y). Il vient que

ϕ⁻¹(λ.z+µ.t) =ϕ⁻¹(λ.ϕ(x) +µ.ϕ(y))

=ϕ⁻¹(ϕ(λ.x+µ.y))

=ϕ⁻¹◦ϕ(λ.x+µ.y)

= IdE(λ.x+µ.y)

=λ.x+µ.y

=λ.ϕ⁻¹(z) +µ.ϕ⁻¹(t).

Ce qui montre que ϕ⁻¹ est une application linéaire.

Exercice 12. 1) Soientλ1, λ2∈K. On a

λ1.e1+λ2.e2 = 0K² =⇒ λ1.(1,0) +λ2.(0,1) = (0,0)

=⇒ (λ1,0) + (0, λ2) = (0,0)

=⇒ (λ1, λ2) = (0,0)

=⇒ λ1 =λ2= 0.

Ainsi on a montré que

∀λ1, λ2∈K, λ1.e1+λ2.e2 = 0K² =⇒ λ1 =λ2 = 0.

Donc {e1, e2}est une famille libre de K².

⊂

⊂

2) Soient λ1, λ2 ∈K. Comme dans la question 1), on a

λ1.a1+λ2.a2 = 0K² =⇒ λ1.(1,1) +λ2.(−1,1) = (0,0)

=⇒ (λ1, λ1) + (−λ2, λ2) = (0,0)

=⇒ (λ1−λ2, λ1+λ2) = (0,0)

=⇒ λ1−λ2 = 0etλ1+λ2= 0

=⇒ λ1 =λ2= 0.

Ainsi on a montré que

∀λ1, λ2∈K, λ1.a1+λ2.a2 = 0K² =⇒ λ1 =λ2 = 0.

Donc {a1, a2} est une famille libre deK². 3) Soient λ1, λ2, λ3 ∈K. On a

λ1.e1+λ2.e2+λ3.e3 = 0K³ =⇒ λ1.(1,0,0) +λ2.(0,1,0) +λ3.(0,0,1) = (0,0,0)

=⇒ (λ1,0,0) + (0, λ2,0) + (0,0, λ3) = (0,0,0)

=⇒ (λ1, λ2, λ3) = (0,0,0)

=⇒ λ1=λ2 =λ3= 0.

Ainsi on a montré que

∀λ1, λ2, λ3∈K, λ1.e1+λ2.e2+λ3.e3 = 0K³ =⇒ λ1=λ2 =λ3= 0.

Donc {e1, e2, e3} est une famille libre de K³. 4) Soient λ1, . . . , λn ∈K. On a

λ1.e1+· · ·+λn.en = 0Kⁿ =⇒ λ1.(1,0, . . . ,0) +· · ·+λn.(0, . . . ,0,1) = (0, . . . ,0)

=⇒ (λ1,0, . . . ,0) +· · ·+ (0, . . . ,0, λn) = (0, . . . ,0)

=⇒ (λ1, . . . , λn) = (0, . . . ,0)

=⇒ λ1=· · ·=λn = 0.

Ainsi on a montré que

∀λ1, . . . , λn ∈K, λ1.e1+· · ·+λn.en = 0Kⁿ =⇒ λ1 =· · ·=λn = 0.

Donc {e1, . . . , en} est une famille libre de Kⁿ.

5) i) *) Soit (x, y)∈K². On a(x, y) = (x,0) + (0, y) =x.(1,0) +y.(0,1) =x.e1+y.e2. Ainsi

∀(x, y)∈K², ∃λ1 =x, λ2=y∈K tel que(x, y) = λ1.e1+λ2.e2. Ce qui montre que {e1, e2} est une famille génératrice deK².

**) On a {e1, e2} est une famille libre et génératrice de K². Donc {e1, e2} est une base de K². Ce qui signifie que

∀(x, y)∈K², ∃!λ1, λ2 ∈K tel que(x, y) =λ1.e1+λ2.e2. ii) *) Soit (x, y)∈K². On a

(x, y) = (x+y

2 ,x+y

2 ) + (x−y

2 ,y−x

2 ) = x+y

2 .(1,1) + y−x

2 .(−1,1) = x+y

2 .a1+y−x 2 .a2. Ainsi

∀(x, y)∈K², ∃λ1 = x+y

2 , λ2 = y−x

2 ∈K tel que(x, y) =λ1.a1+λ2.a2. Ce qui montre que {a1, a2} est une famille génératrice deK².

**) On a {a1, a2} est une famille libre et génératrice deK². Donc {a1, a2} est une base de K². Ce qui signifie que

∀(x, y)∈K², ∃!λ1, λ2 ∈K tel que(x, y) =λ1.a1+λ2.a2.

iii) *) Soit (x, y, z)∈K³. On a

(x, y, z) = (x,0,0) + (0, y,0) + (0,0, z) = x.(1,0,0) +y.(0,1,0) +z.(0,0,1) =x.e1+y.e2+z.e3.

Ainsi

∀(x, y, z)∈K³, ∃λ1 =x, λ2=y, λ3 =z ∈K tel que(x, y, z) = λ1.e1+λ2.e2+λ3.e3. Ce qui montre que {e1, e2, e3} est une famille génératrice de K³.

**) On a {e1, e2, e3} est une famille libre et génératrice de K³. Donc {e1, e2, e3} est une base deK³. Ce qui signifie que

∀(x, y, z)∈K³, ∃!λ1, λ2, λ2 ∈K tel que(x, y, z) =λ1.e1+λ2.e2+λ3.e3. iv) *) Soit (x1, . . . , xn)∈Kⁿ. On a

(x1, . . . , xn) = (x1,0, . . . ,0)+· · ·+(0, . . . ,0, xn) =x1.(1,0, . . . ,0)+· · ·+xn.(0, . . . ,0,1) =x.e1+· · ·+xn.en.

Ainsi

∀(x1, . . . , xn)∈Kⁿ, ∃λ1 =x1, . . . , λn =xn ∈K tel que (x1, . . . , xn) =λ1.e1+· · ·+λn.en. Ce qui montre que {e1, . . . , en}est une famille génératrice de Kⁿ.

**) On a {e1, . . . , en} est une famille libre et génératrice de Kⁿ. Donc {e1, . . . , en} est une base de Kⁿ. Ce qui signifie que

∀(x1, . . . , xn)∈Kⁿ, ∃!λ1, . . . , λn ∈K tel que (x1, . . . , xn) =λ1.e1+· · ·+λn.en.

Exercice 13. i) *) Soient λ1, λ2 ∈R. On a

λ1.a1+λ2.a2 = 0^R3 =⇒ λ1.(1,0,1) +λ2.(1,2,2) = (0,0,0)

=⇒ (λ1,0, λ1) + (λ2,2λ2,2λ2) = (0,0,0)

=⇒ (λ1+λ2,2λ2, λ1+ 2λ2) = (0,0,0)

=⇒











λ1+λ2 = 0 2λ2 = 0 λ1+ 2λ2 = 0

=⇒ λ1 =λ2= 0.

Ainsi on a montré que

∀λ1, λ2 ∈R, λ1.a1+λ2.a2= 0^R3 =⇒ λ1=λ2 = 0.

Ce qui montre que {a1, a2} est une famille libre de R³.

**) Supposons que {a1, a2} est une famille génératrice de R³. Prenons le vecteur(0,1,0)∈R³. Donc il existe λ1, λ2 ∈Rtel que (0,1,0) = λ1.a1+λ2.a2. On en déduit que

(0,1,0) = λ1.a1+λ2.a2 =⇒ (0,1,0) = (λ1+λ2,2λ2, λ1+ 2λ2) =⇒











λ1+λ2 = 0 2λ2 = 1 λ1+ 2λ2 = 0

=⇒











λ1 =−λ2

2λ2 = 1 λ2 = 0.

Contradiction. Par suite, {a1, a2}n’est pas une famille génératrice de R³.

ii) *) Soient λ1, λ2, λ3 ∈R. On a

λ1.a1+λ2.a2+λ3.a3= 0^R3 =⇒ λ1.(1,0,0) +λ2.(1,1,0) +λ3.(1,1,1) = (0,0,0)

=⇒ (λ1,0,0) + (λ2, λ2,0) + (λ3, λ3, λ3) = (0,0,0)

=⇒ (λ1+λ2+λ3, λ2+λ3, λ3) = (0,0,0)

=⇒











λ1+λ2+λ3 =0 λ2+λ3 =0 λ3 =0

=⇒ λ1=λ2 =λ3 = 0.

Ce qui montre que {a1, a2, a3} est une famille libre deR³.

**) Montrons maintenant que{a1, a2, a3}est une famille génératrice deR³. Soit(x, y, z)∈R³. Montrons qu’il existe α1, α2, α3 ∈Rtel que (x, y, z) =α1.a1+α2.a2+α3.a3. On a

(x, y, z) = α1.a1+α2.a2+α3.a3 =⇒ (x, y, z) = (α1+α2+α3, α2+α3, α3)

=⇒











α1+α2+α3 =x α2+α3 =y α3 =z

=⇒











α1 =x−y α2 =y−z α3 =z.

Ainsi on a montré que

∀(x, y, z)∈R³, ∃α1, α2, α3 ∈Rtel que(x, y, z) =α1.a1+α2.a2+α3.a3. Donc {a1, a2, a3}est une famille génératrice de R³.

***) On a {a1, a2, a3} est une famille libre et génératrice de R³. Donc {a1, a2, a3} est une base de R³. iii) *) On remarque quea2= (2,1,−1) = (1,2,1)+(1,−1,−2) = a1+a3. C’est-à-direa2 est combinaison linéaire de a1 et a3. Donc {a1, a2, a3} est une famille liée de R³. Il s’ensuit que {a1, a2, a3} n’est pas une base de R³.

**) Supposons que{a1, a2, a3}est une famille génératrice deR³. Prenons le vecteur (0,0,1)∈R³. Donc il existe λ1, λ2, λ3 ∈R tel que (0,0,1) =λ1.a1+λ2.a2+λ3.a3. On en déduit que

(0,0,1) =λ1.a1+λ2.a2+λ3.a3 =⇒ (0,0,1) = (λ1+ 2λ2+λ3,2λ1+λ2−λ3, λ1−λ2−2λ3)

=⇒











λ1+ 2λ2+λ3 = 0 2λ1+λ2−λ3 = 0 λ1−λ2−2λ3 = 1

=⇒











λ2 =−λ1

λ1−λ3 = 0 2(λ1−λ3) = 1.

Contradiction. Par suite, {a1, a2, a3} n’est pas une famille génératrice de R³.

iv) *) On remarque que a3 = (−1,1,−1) =−(1,−1,1) =−a1. C’est-à-direa3 est combinaison linéaire de a1 eta2. Donc {a1, a2, a3}est une famille liée de R³. Il s’ensuit que {a1, a2, a3} n’est pas une base de R³.

**) Supposons que{a1, a2, a3}est une famille génératrice deR³. Prenons le vecteur (0,0,1)∈R³. Donc

il existe λ1, λ2, λ3 ∈R tel que (0,0,1) =λ1.a1+λ2.a2+λ3.a3. On en déduit que

(0,0,1) =λ1.a1+λ2.a2+λ3.a3 =⇒ (0,0,1) = (λ1+ 2λ2−λ3,−λ1−λ2+λ3, λ1+λ2−λ3)

=⇒











λ1+ 2λ2−λ3 = 0

−λ1−λ2+λ3 = 0 λ1+λ2−λ3 = 1

=⇒











λ1+ 2λ2−λ3 = 0 λ1+λ2−λ3 = 0 λ1+λ2−λ3 = 1.

Contradiction. Par suite, {a1, a2, a3} n’est pas une famille génératrice de R³.

2. Montrer que R² =F⁰⊕G⁰.

3. Considérons les sous-espaces vectoriels F¹ et G¹ de R² définis par :

F¹ ={(x, y)∈R²| x=y} etG¹ ={(x, y)∈R²| x=−y}.

Démontrer queF1 =Vect(a¹)et G1 =Vect(a²), avec a1 = (1,1) eta2 = (−1,1).

4. Montrer que R² =F1⊕G1. Exercice 7.

On note P(R,R)(resp. I(R,R)) l’ensemble de toutes les fonctions paires (resp. impaires) de R dansR.

1. Vérifier que P(R,R)et I(R,R) sont des sous-espaces vectoriels du R-espace vectoriel F(R,R).

2. Montrer que F(R,R) =P(R,R)⊕I(R,R).

Exercice 8.

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? 1. f¹ :R^∗ −→R, x7−→f¹(x) = 2x;

2. f2 :R−→R, x7−→f2(x) =x²; 3. f3 :R−→R, x7−→f3(x) =x+ 1;

4. f⁴ :R−→R², x7−→f⁴(x) = (x,2x).

Exercice 9.

Considérons l’application ϕ:R² −→R²,(x, y)7−→ϕ(x, y) = (x−y, x+y).

1. Vérifier que ϕ est une application linéaire.

2. Déterminer le noyau Ker(ϕ) et l’image Im(ϕ) deϕ.

Exercice 10.

Soient E, E¹,· · · , Eⁿ des K-espaces vectoriels et considérons une application f définie par : f : E −→ E1× · · · ×En

x 7−→ f(x) = (f¹(x),· · ·, fn(x)).

1. Montrer que f est linéaire si, et seulement si chaque application fⁱ : E −→ Eⁱ, x 7−→ fⁱ(x) est linéaire.

2. Supposons que f est une application linéaire.

i) Déterminer le noyau Ker(f) def en fonction des Ker(fⁱ) pour1≤i≤n.

ii) Déterminer l’image Im(f)de f en fonction des Im(fⁱ) pour1≤i≤n.

Exercice 11.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et ϕ :E −→F une application linéaire. Montrer que si ϕ est bijective. Alors l’application réciproque ϕ⁻¹:F −→E est une application linéaire.

Exercice 12.

1. Soient e¹ = (1,0) ete² = (0,1). Montrer que {e¹, e²} est une famille libre de K². 2. Soient a1 = (1,1) eta2 = (−1,1). Montrer que {a¹, a2} est une famille libre de K².

3. Soient e1 = (1,0,0), e² = (0,1,0), e³ = (0,0,1). Montrer que {e¹, e2, e3} est une famille libre de K³.

4. Plus généralement, montrer que {e1,· · · , eⁿ}est une famille libre de Kⁿ.

5. Montrer que les familles précédentes sont des familles génératrices. En déduire qu’elles sont des bases.

Exercice 13.

Les familles suivantes de R³ sont-elles libres, liées, génératrices, bases ? 1. a1 = (1,0,1)et a2 = (1,2,2);

2. a1 = (1,0,0), a² = (1,1,0) eta3 = (1,1,1); 3. a1 = (1,2,1), a² = (2,1,−1)et a3 = (1,−1,−2);

4. a1 = (1,−1,1), a² = (2,−1,3) eta3 = (−1,1,−1).

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