Exercice1.
Que vautΓ 5
2
? En déduire l’existence et la valeur de Z +∞
0
e−u2/3du.
Exercice2.
PourndansN∗, on pose :In= Z +∞
0
e−nxln(n+x)dx.
1. Établir que, pour tout entier naturel non nuln,In existe.
2. Établir que, pour tout entier naturel non nuln, In= lnn
n +
Z +∞
0
e−nx n(n+x)dx.
3. Établir que, pour tout entier naturel non nuln, lnn
n 6In 6lnn n + 1
n3.
4. En déduire un équivalent deIn lorsquentend vers+∞.
Exercice3.
On rappelle queΓ(1/2) =√
π. PourndansN∗, on pose :In= Z +∞
0
xne−x2dx.
1. Établir que, pour tout entier naturel non nuln,In existe et calculer sa valeur (on pourra utiliser le changement de variablet=x2).
2. a)SoitPun polynôme deR[X]. Établir que Z +∞
0
P(x)e−x2dxexiste.
b)Que vaut Z +∞
0
(3x2−x+ 1)e−x2dx? Exercice4.
Montrer l’existence et calculer la valeur de Z +∞
0
e−xln(1 +e−x)dx.
Exercice5.
Soitg: ] 0 ; +∞[−→R, x7−→
Z +∞
0
sin(xt) t dt.
1. Montrer quegest effectivement définie sur] 0 ; +∞[.
2. On admet que :g(1) = π 2.
À l’aide d’un changement de variable, calculerg(x)pourx∈] 0 ; +∞[.
Exercice 6.
1. Établir la convergence deI = Z +∞
1
ln(t)
t2 dt, puis calculerI.
2. Établir la convergence deIet calculer sa valeur à l’aide du changement de variable u= lnt.
Exercice 7.
1. À l’aide du changementu=−ln(t−1), établir la convergence et calculer la valeur deI =
Z 2
1
ln(t−1)dt.
2. Justifier la convergence deJ = Z +∞
1
ln(t−1) t2 dt.
3. À l’aide d’une intégration par parties, calculerJ.Indic. : t(t−1)1 = t−11 −1t sit >1.
Exercice 8.
Existence et valeur deI = Z +∞
0
(x2+ 2x−1)e−xdx.
Exercice 9.
1. Montrer queI = Z +∞
0
1−cost
t2 dtconverge.
2. En déduire la nature deJ = Z +∞
0
sin(t) t dt Exercice 10.
1. Établir la divergence deI = Z 1
0
√ u2+ 2u u3+ 2u2du.
2. a)On pose, pourxdans] 0 ; 1 ],f(x) = Z 1
x
√u2+ 2u
u3+ 2u2du. Que vaut lim
x→0f(x)? b)À l’aide du changement de variablez= 1/u, calculerf(x).
c) Montrer quef(x) = r2
x−√ 3 + o
x→0(1).
Exercice 11.
1. Nature deI = Z 1
0
e−t
sintdt, J = Z 1
0
e−t−1
sint dt et K = Z π/2
0
√1 sintdt.
2. En effectuant changement de variable u=π−t dansK, déterminer la nature de L =
Z π
0
√1 sintdt.
Exercice12.
1. Quelle est la nature deI = Z +∞
0
√ 1
t+t2dt?
2. Discuter, suivant la valeur deα∈] 0 ; +∞[, la nature deIα= Z +∞
0
1 t1/α+tαdt.
Exercice13.
1. Établir que :
∀x∈[ 0 ; 1 [, 0< 1
√1−x2 6 1
√1−x. 2. En déduire la nature deI =
Z 1
0
√ 1
1−x2dx.
3. À l’aide du changement de variablex= sinu, calculerI.
Exercice14.
1. Justifier la convergence deI = Z +∞
−∞
1
4u2+ 4u+ 5du.
2. CalculerIà l’aide du changement de variablex=u+ 1/2.
Exercice15.
1. a)Établir que :∀t∈] 1 ; +∞[, lnt6t−1.
b)En déduire la nature de Z e
1
1 lntdt.
c) En déduire aussi la nature de Z +∞
e
1 lntdt.
On considère la fonctionΦ : ] 1 ; +∞[−→R, x7−→
Z x
e
1 lntdt.
2. a)Étudier les variations de Φsur] 1 ; +∞[.
b)À l’aide de la question 1), préciser les valeurs de lim
x→1Φ(x)et lim
x→+∞Φ(x).
c) Préciser le signe deΦet sa convexité éventuelle.
3. a)Soitx>e2. Montrer que : Z
√x
e
1
lntdt6√ xet
Z x
√x
1
lntdt6 2x lnx. b)En déduire que :Φ(x) =o(x)en+∞.
Exercice16.
1. Établir que Z +∞
π
sint
√t dtexiste.
2. Montrer que :∀n∈N∗,
Z (n+1)π
nπ
sin2t
t dt> 1 2(n+ 1). 3. En déduire que
Z +∞
π
sin2t
t dt diverge.
4. Quelle est la nature de Z +∞
π
sint
√t +sin2t t dt? 5. Montrer que sint
√t +sin2t
t ∼
t→+∞
sint
√t
6. Quelle conclusion peut-on tirer des questions 1, 4 et 5 ? Exercice 17.
On appellefonction bêta d’Euler la fonction définie par :
∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = Z 1
0
tx−1(1−t)y−1dt.
1. a)Justifier la convergence de l’intégrale définissantB.
b)À l’aide du changement de variableu= 1−t, justifier que :
∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = B(y, x).
2. a)Montrer que :∀(p, q)∈(N∗)2, B(p, q+ 1) = q
pB(p+ 1, q).
b)En déduire que :∀(p, q)∈(N∗)2, B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q). 3. a)À l’aide d’un changement de variable, établir que
∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = 2 Z π/2
0
sin2x−1u.cos2y−1udu.
b)CalculerB(1/2,1/2).
c) On admet la relation(1) :∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) =Γ(x)Γ(y) Γ(x+y). En déduire la valeur deΓ(1/2).
Exercice 18.
1. Justifier la convergence des intégrales I =
Z +∞
0
dt 1 +t2,J =
Z +∞
0
dt
(1 +t2)2 etK = Z +∞
0
t2 (1 +t2)2dt.
2. a)Déterminer la valeur deI.
b)En déduire la valeur deK.
c) Déterminer alors la valeur deJ.
(1). Cette relation due à Euler prolonge aux réels strictement positifs la relation que vous venez de démontrer pour les entiers naturels non nuls.
Exercice19.
1. Établir la convergence deI = Z +∞
1
ln
t+1 t−1
t2 dt.
2. Déterminer trois réelsa, betc tels que :
∀x∈[ 2 ; +∞[, 1
x(x2−1) = a x−1 + b
x+ c
x+ 1, puis calculerI.
Exercice20.
1. Montrer que :I = Z +∞
0
xarctanx
(x2+ 1)2dxconverge.
2. a)Montrer que :∀y∈] 0 ; +∞[, arctan1 y =π
2 −arctany.
b)Pour a ∈] 0 ; +∞[, on pose Ia = Z a
1/a
xarctanx
(x2+ 1)2dx. À l’aide du changement de variabley= 1
x, montrer que2Ia =π 2
Z a
1/a
x (x2+ 1)2dx.
c) En déduire que :Ia =π 8
a2−1 a2+ 1. d)En déduire finalement la valeur deI.
Exercice21.
1. SoitI = Z +∞
π
cos t2 dt,J =
Z +∞
π
cosu
√u du etK = Z +∞
π
sinu u3/2du.
a)Montrer queI etJsont de même nature.
b)Montrer queJetKsont de même nature.
c) En déduire la nature deI.
2. t7→cos t2
admet-elle une limite lorsquet tend vers+∞? 3. Quelle conclusion en tirez-vous ?
Exercice22.
Pourn∈N, on poseWn= Z π/2
0
(cosx)2ndx.
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’on a :
∀n∈N, Wn+1= (2n+ 1)(Wn−Wn+1).
2. En déduire qu’il existe un nombre réelk, que l’on déterminera , tel que l’on ait :
∀n∈N, Wn= (2n)!
22n(n!)2 ×k.
3. Pourn∈N, on poseIn = Z 1
−1
tn r1 +t
1−tdt.
a)Justifier l’existence deIn.
b)Montrer que pour toutndeN: In−In+1= Z 1
−1
tnp
1−t2dt.
Que peut-on en déduire lorsquenest impair ? c) On rappelle que l’on a, pour tout anglex,
cosx= 2 cos2x
2 −1 = 1−2 sin2x
2 et sinx= 2 sinx 2 cosx
2. À l’aide du changement de variablex7→t= cosx, montrer que l’on a :
∀n∈N, In= Z π
0
(1 + cosx)(cosx)ndx.
d)En déduire que :∀p∈N, I2p= 2Wp. Calculer de mêmeI2p−1, pour p∈N∗. e)Calculer explicitementIn pour n∈[[0 ; 4]].
Exercice 23.
1. À l’aide d’un changement de variable, justifier la convergence et donner la valeur deI =
Z +∞
0
e−t2dt.
2. On pose, pour toutx>0,R(x) = Z +∞
x
e−t2dt.
a)Que vaut lim
x→+∞R(x)? b)Vérifier que, pour toutx >0,
Z +∞
0
e−t2
2t2 dt=e−x2
2x −R(x).
c) En déduire, pour toutx >0, que :06e−x2
2x −R(x)6 R(x) 2x2 . d)Montrer enfin queR(x) ∼
x→+∞
e−x2 2x . Exercice 24.
Étudier la nature deI = Z +∞
−∞
dt et+t2e−t. Exercice 25.
Soitf une fonction continue et positive sur[ 0 ; +∞[telle que Z +∞
0
f(t)dtconverge.
Montrer que lim
x→+∞
1 x
Z x
0
tf(t)dt= 0.
Exercice26.
Étudier, en fonction du réelα, la convergence deIα= Z +∞
−∞
tα−1 ln(t) dt.
Exercice27.
Établir la convergence et donner la valeur deI = Z +∞
0
te−
√tdt.
Exercice28.
Établir la convergence et donner la valeur de I = Z +∞
0
ln(t)
1 +t2dt. On pourra utiliser le changement de variableu= 1/t.
Exercice29.
1. Soitf une fonction continue sur] 0 ; +∞[ayant des limites finies en0et en+∞.
Établir, pourα >0, la convergence de Z +∞
0
f(αt)−f(t)
t dtet donner sa valeur.
2. En déduire la convergence et la valeur deI = Z 1
0
t−1 ln(t)dt.
Exercice30.
SoitI = Z +∞
0
dt
(1 +t2)(1 +tn) etJ = Z +∞
0
tn
(1 +t2)(1 +tn)dt.
1. Justifier queIet Jconvergent.
2. À l’aide du changement de variableu= 1/t, établir un lien entreI etJ.
3. CalculerIetJ.
Exercice31.
On admet la convergence de Z +∞
0
sin(t)
t dt(cf.ex. 9).
Établir la convergence et calculer la valeur deI = Z +∞
0
Z +∞
x
sin(t) t dtdx.
Exercice32.
Pourx >0, on posef(x) = Z +∞
x
e−t t dt.
1. Que vaut lim
x→+∞f(x)?
2. En intégrant par parties, donner un équivalent def(x)lorsquextend vers+∞.
3. Donner un équivalent def(x)lorsquextend vers0+.
Exercice 33.
Soitaun réel. Établir la convergence de Ia= Z +∞
0
ln
1 + a2 t2
dt, puis calculerIa. Exercice 34.
Quelle est la nature deI = Z 1
0
dt 1−√
t? Exercice 35.
Déterminer la nature de l’intégraleI = Z π/2
0
ptan(t)du. Indic. : changement de variable.
Exercice 36.
1. Justifier que l’intégraleI = Z π/4
0
cos(t) ln(tant)duconverge.
2. a)Vérifier quex7→ 1 2ln
1 + sinx 1−sinx
est une primitive dex7→ 1
cosx sur[ 0 ;π/4 ].
b)CalculerI.
Exercice 37.
1. Justifier la divergence de Z +∞
0
lnt t dt.
2. Pourx∈] 0 ; +∞[, on poseI(x) = Z x
1/x
lnt t dt.
CalculerI(x)et en déduire lim
x→+∞I(x). Commentaire ? 3. Effectuer le changement de variable u= 1
t dans Z x
1
lnt
t dt. Que constate-t-on ? Interprétation graphique ?
Exercice 38.
1. Nature de Z 1
0
dt t√
1 +t2 et de Z +∞
1
dt t√
1 +t2.
2. Majorer
√1 +u−1
pouru∈[ 0 ; 1 ]et en déduire Z 1
x
dt t√
1 +t2 ∼
x→0+−ln(x).
3. a)Calculer la dérivée dex7→ln1−cosx 1 + cosx. b)Calculer
Z +∞
1
dt t√
1 +t2 à l’aide du changement de variablet= tanx.
1 - Indications de réponses.
Réponses non rédigées. Légende(2) : Égalité... ... obtenue par application
déf.= d’une définition
primit.
= d’un calcul de primitive
IPP.= d’une intégration par parties
u=f(t)
= du changement de var.u=f(t)
Γ(x)= de la définition deΓ(x)
Exercice1.
Γ 5
2
=3 2Γ
3 2
= 3 2 1 2Γ
1 2
= 3√ π
4 , et puisque∀u >0, v=u2/3⇔u=v3/2, Z +∞
0
e−u2/3duv=u
2/3
=
Z +∞
0
e−v3
2v1/2duΓ(3/2)= 3 2Γ
3 2
= Γ 5
2
= 3√ π 4 . Exercice2.
1. lim
x→+∞
e−nxln(n+x)
1/x2 = lim
x→+∞
x3 enx
ln(n+x)
x = 0×0 = 0, ainsi e−nxln(n+x) = o
x→+∞
1 x2
et on conclut par négligeabilité ...
2. InIPP.=
−e−nx
n ln(n+x) +
∞0+ Z +∞
0
e−nx
n(n+x)dx=lnn
n +
Z +∞
0
e−nx n(n+x)dx.
3. ∀x >0,06 e−nx
n(n+x)6 e−nx n2 et
Z +∞
0
e−nxdxprimit.= 1 n donne lnn
n 6In 6lnn n + 1
n3.
4. In ∼
n→+∞
ln(n)
n par l’encadrement précédent.
Exercice3.
1. In= Z +∞
0
xne−x2dxu=x
2
= 1 2
Z +∞
0
un−12 e−uduΓ(n+12 )
= = 1 2Γ
n+ 1 2
. 2. Soit P(x) =
d
X
k=O
akxk. Pour chaque k de 0 à d, Ik existe donc par linéarité
(2). Vérifiez les hypothèses ! ! !
Z +∞
0
P(x)e−x2dxexiste et vaut
d
X
k=O
akIk. Z +∞
0
(3x2−x+ 1)e−x2dx=lin.= 32−I1+ I0=1 2
3Γ
3 2
+−Γ (1) + Γ 1
2
= 1
2 3
2
√π−1 +√ π
=5 4
√π−1 2. Exercice 4.
Ici, il estinterdit de ne rien tenter, car tout marche :
• pour l’existence :
+ Comparaison :∀x60, 06e−xln(1 +e−x)6e−xln(2)et Z 1
0
e−xdx= Γ(1)existe ...
+ Négligeabilité : lim
x→+∞
e−xln(1 +e−x)
1/x2 = lim
x→+∞
x2
exln(1 +e−x) = 0 donc e−xln(1 + e−x) = o
x→+∞(1/x2)...
+ Équivalence : e−xln(1 +e−x) ∼
x→+∞(e−x)2et Z +∞
0
e−2xdxprimit.= 1
2 existe ...
• pour l’existence et la valeur (comme souvent, savoir calculer la valeur permet de justifier au passage l’existence ) :
+ Calcul d’une primitive : la formule de dérivation(ulnu)0 =u0lnu+u0fournitu0lnu= u(lnu−1)0
donc Z +∞
0
e−xln(1 +e−x)dxprimit.= −
(1 +e−x) ln(1 +e−x)−1+∞
0 = 1 + 2(ln 2−1) = 2 ln 2−1;
+ Changement de variable : Z +∞
0
e−xln(1+e−x)dxu=e
−x
= Z 1
0
ln(1+u)duIPP.= [(1 +u) ln(1 +u)]10− Z 1
0
1 +u 1 +udu= 2 ln 2−1;
+ Par intégration par parties : Z +∞
0
e−xln(1 +e−x)dx IPP.=
−(1 +e−x) ln(1 +e−x)+∞
0 −
Z +∞
0
(1 +e−x) e−x 1 +e−xdx = 2 ln 2−Γ(1) = 2 ln 2−1.
Exercice 5.
1. L’intégrale est faussement impropre en0 carlim
t→0
sin(xt) t =x.
La convergence en+∞ se prouve en par une intégration par parties en dérivant t7→1/tet primitivantt7→sin(xt).
2. g(x)u=xt= Z +∞
0
sinu u du= π
2. Exercice6.
1. ln(t) t2 = o
t→+∞(1/t3/2)et on conclut par le critère adéquat ..
IIPP.=
−lnt t
+∞
1
+ Z +∞
1
dt t2
primit.
= 1.
2. Iu=ln=t Z +∞
0
ue−uduΓ(2)= 1.
Exercice7.
1. Iu=−ln(t−1)= − Z +∞
0
ue−uduΓ(2)= −1.
2. ln(t−1)
t2 ∼
t→1ln(t−1): par équivalence, en s’appuyant sur la convergence deI,J converge en 1.
ln(t−1)
t2 = o
t→+∞(1/t3/2): par négligeabilitéJconverge en+∞.
3. Soit1< a < b.
Z b
a
ln(t−1) t2 dtIPP.=
−ln(t−1) t
b
a
+ Z b
a
dt t(t−1) =
−ln(t−1 t
b
a
+ Z b
a
1 t−1−1
tdt
car 1
t(t−1) = 1 t−1−1
t. En regroupant astucieusement : Z b
a
ln(t−1)
t2 dt=−ln(b−1)
b +ln
b−1 b
−(a−1) ln(a−1)
a +ln(a)qui tend vers 0lorsqueatend vers1et bvers+∞.J = 0(tout ça pour ça !)
Exercice8. Une maladroite double intégration par parties peut nous sauver mais mieux vaut reconnaître enIla combinaison linéaireΓ(3) + 2Γ(2)−Γ(1) = 3
Exercice9.
1. lim
t→0
1−cost t2 =1
2 doncI est faussement impropre en0.
06 1−cost t2 6 1
t2 permet de comparerI à une intégrale convergente en+∞.
2. Une intégration par parties permet de conclure, avec en plusI = J.
Exercice10.
1.
√u2+ 2u
u3+ 2u2 ∼
u→0
√2u
2u2 ∼
u→0
√ 1
2u3/2 et Z 1
0
du
u3/2 diverge ...
a)+∞(l’intégrale divergente d’une fonction positive tend vers+∞!) b)f(x)z=1/u=
Z 1/x
1
√ dz
1 + 2z =√
1 + 2z1/x
1 =
r 1 + 2
x−√ 3.
c) f(x)− r2
x+√ 3 =
r 1 + 2
x− r2
x= 1
r 1 + 2
x+ r2
x
−−−→x→0 0.
Exercice 11.
1. e−t sint ∼
t→0
1
t : Idiverge ; e−t−1
sint ∼
t→0−1:Jconverge (faussement impropre) ;
√1 sint ∼
t→0
√1
t :Kconverge.
2. Ku=π−t= Z π
π/2
du
psin(π−u) = Z π
π/2
du
psin(u). Par la relation de Chasles, L existe etL = K + K.
Exercice 12.
1. 1
√t+t2 ∼
t→0
√1
t et 1
√t+t2 ∼
t→0
1
t2, Iexiste.
2. Iα converge si, et seulement si,α6= 0. On peut remarquer queI1/α = Iα ce qui permet de n’étudier que les casα= 1et α >1...
Exercice 13.
Iconverge par comparaison à Z 1
0
√dx 1−x. Ix=sin= u
Z π/2
0
1du= π 2. Exercice 14.
Remarquer que4u2+ 4u+ 5 = 4
(u+12)2+ 1
>0.
1
4u2+ 4u+ 5 ∼
u→±∞
1
4u2 assure la convergence.
Ix=u+1/2= 1 4
Z +∞
−∞
dx x2+ 1
primit.
= π
4.
Exercice15.
1. a)ln est concave ety=t−1 est l’équation de la tangente à sa courbe en1.
b)Diverge par comparaison, puisque Z e
1
dt
t−1 diverge.
c) Diverge par comparaison, puisque Z +∞
e
dt
t−1 diverge ( 1 t−1 ∼
t→+∞
1 t).
2. a)Φ0:x7→ 1
ln(x) positive sur] 1 ; +∞[:Φest croissante.
b)Comme Φest croissante sur ] 1 ; +∞[ et diverge en 1 (cf 1b) et en +∞ (cf 1c),
x→1limΦ(x) =−∞et lim
x→+∞Φ(x) = +∞.
c) Φ(e) = 0doncΦpositive sur[e; +∞[ et négative sur] 1 ;e].
Φ00(x) =−1/(xln2x)<0 :Φest concave.
3. a)Proviennent de ∀t∈ [e;√
x],1/ln(t)61 et de ∀t ∈ [√
x;x],ln(x)/2 6 lnt 6 lnx...
b)S’obtient en partant de06Φ(x)6√
x+ 2x/lnx...
Exercice16.
Exercice17.
Exercice18.
I,JetKconvergent par le critère des équivalences.
Iprimit.= [arctanx]+∞0 = π 2, IIPP.=
t 1 +t2
+∞
0
+ 2KdoncK = π 4. J = I−K = π
4. Exercice19.
S’inspirer de l’exercice 7
a=b= 1/2et c=−1,I = 2 ln(2).
Exercice20.
1. xarctanx (x2+ 1)2 ∼
x→+∞
π
2x3 assure la convergence deI.
2. a)Montrer en la dérivant quey7→arctan1
y+ arctany est constante et vaut π 2 en1.
b)Ia y=1/x
= Z a
1/a π
2 −arctany
(1 +y2)2 ydy=π 2
Z a
1/a
y
(1 +y2)2dy−Ia.
c) Ia= π 4
Z a
1/a
y
(1 +y2)2dyprimit.= π 4 1 2
−1 1 +y2
a
1/a
= π 8
a2−1 a2+ 1. d)I = lim
a→+∞Ia =π 8. Exercice 21.
1. a)Poseru=t2 (l’intégrale deπàπ2 existe, elle n’est pas impropre !) b)Et une intégration par parties !
c) Kest absolument convergente, par la majoration
sinu/u3/2
61/u3/2. 2. Non ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
3. Contrairement à ce qui se passe pour les séries, il n’est pas nécessaire quef tende vers0en+∞pour que
Z +∞
f(t)dt converge ...
Exercice 22.
Exercice 23.
1. Iu=t
2
= Z +∞
0
e−u 2√
uduΓ(1/2)= =
√π 2 . 2. a)R(x) = I−
Z x
0
e−t2dt−−−−−→
x→+∞ 0.
b) Z +∞
x
e−t2 2t2 dtIPP.=
"
−e−t2 2t
#+∞
x
− Z +∞
x
e−t2dt= e−x2
2x −R(x).
c) Par croissance de l’intégrale :06 Z +∞
x
e−t2
2t2 dt6 1 2x2
Z +∞
x
e−t2dt6 R(x) 2x2 d) En divisant l’encadrement précédent par R(x) (car R(x) 6= 0), on obtient
e−x2/(2x)
R(x) −−−−−→
x→+∞ 1...
Exercice 24.
Iconverge : d’une part 1
et+t2e−t ∼
t→+∞e−t et Z +∞
0
e−tdt= Γ(1) existe ; d’autre part : 1
et+t2e−t ∼
t→−∞
1
t2e−t 6etpourt>1, et Z 0
−∞
etdtprimit.= 1existe.
Exercice 25.
Pourx>1, en majorant tpar√
xpour t∈[ 0 ;√
x]et tparxpour t∈[√
x;x], on a : Z x
0
tf(t)dt6√ x
Z
√x
0
f(t)dt+x Z x
√x
f(t)dt.
Alors06 1 x
Z x
0
tf(t)dt6 1
√x Z
√x
0
f(t)dt+ Z x
√x
f(t)dt.
On conlut avec Z
√x
0
f(t)dt−−−−−→
x→+∞ I et Z x
√x
f(t)dt= Z x
0
f(t)dt− Z
√x
0
f(t)dt−−−−−→
x→+∞ 0.
Exercice26.
Iαconverge si, et seulement si, α >−1.
Exercice27.
IΓ(4)= 12.
Exercice28.
I =−I⇒I = 0.
Exercice29.
I = ln 2.
Exercice30.
I = JetI + J =π/2doncI = J =π/4.
Exercice31.
Par trois intégrations par parties successives,I = 1.
Exercice32.
1. 0.
2. e−x/x.
3. −ln(x).
Exercice33.
Par intégration par parties puis changement de variablet=au,Ia =aπ.
Exercice34.
Idiverge.
Exercice35.
Iconverge.
Exercice36.
IIPP.= −1
2ln(3 + 2√
2) =−ln(1 +√ 2).
Exercice 37.
1. La minoration lnt t > 1
t pourt>e doit suffir ...
2. I(x) = ln2t
2 x
1/x
=...0donc lim
x→+∞I(x) = 0et non Z +∞
0
lnt t dt.
3.
Z x
1
lnt
t dtu=1/t= − Z x
1/x
lnt
t dtdonc la “partie positive de la courbe” de 1à xcom- pense exactement la “partie négative” de1/xà1(je suppose dans ce commentaire quex >1) ...
Exercice 38.
1 t√
1 +t2 ∼
t→0
1
t donne la divergence de l’intégrale en0.
1 t√
1 +t2 ∼
t→+∞
1
t2 donne la convergence de l’intégrale en+∞.
IAF :
√1 +u−1 6 1
2u.