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1 - Indications de réponses.

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Texte intégral

(1)

Exercice1.

Que vautΓ 5

2

? En déduire l’existence et la valeur de Z +∞

0

e−u2/3du.

Exercice2.

PourndansN, on pose :In= Z +∞

0

e−nxln(n+x)dx.

1. Établir que, pour tout entier naturel non nuln,In existe.

2. Établir que, pour tout entier naturel non nuln, In= lnn

n +

Z +∞

0

e−nx n(n+x)dx.

3. Établir que, pour tout entier naturel non nuln, lnn

n 6In 6lnn n + 1

n3.

4. En déduire un équivalent deIn lorsquentend vers+∞.

Exercice3.

On rappelle queΓ(1/2) =√

π. PourndansN, on pose :In= Z +∞

0

xne−x2dx.

1. Établir que, pour tout entier naturel non nuln,In existe et calculer sa valeur (on pourra utiliser le changement de variablet=x2).

2. a)SoitPun polynôme deR[X]. Établir que Z +∞

0

P(x)e−x2dxexiste.

b)Que vaut Z +∞

0

(3x2−x+ 1)e−x2dx? Exercice4.

Montrer l’existence et calculer la valeur de Z +∞

0

e−xln(1 +e−x)dx.

Exercice5.

Soitg: ] 0 ; +∞[−→R, x7−→

Z +∞

0

sin(xt) t dt.

1. Montrer quegest effectivement définie sur] 0 ; +∞[.

2. On admet que :g(1) = π 2.

À l’aide d’un changement de variable, calculerg(x)pourx∈] 0 ; +∞[.

Exercice 6.

1. Établir la convergence deI = Z +∞

1

ln(t)

t2 dt, puis calculerI.

2. Établir la convergence deIet calculer sa valeur à l’aide du changement de variable u= lnt.

Exercice 7.

1. À l’aide du changementu=−ln(t−1), établir la convergence et calculer la valeur deI =

Z 2

1

ln(t−1)dt.

2. Justifier la convergence deJ = Z +∞

1

ln(t−1) t2 dt.

3. À l’aide d’une intégration par parties, calculerJ.Indic. : t(t−1)1 = t−111t sit >1.

Exercice 8.

Existence et valeur deI = Z +∞

0

(x2+ 2x−1)e−xdx.

Exercice 9.

1. Montrer queI = Z +∞

0

1−cost

t2 dtconverge.

2. En déduire la nature deJ = Z +∞

0

sin(t) t dt Exercice 10.

1. Établir la divergence deI = Z 1

0

√ u2+ 2u u3+ 2u2du.

2. a)On pose, pourxdans] 0 ; 1 ],f(x) = Z 1

x

√u2+ 2u

u3+ 2u2du. Que vaut lim

x→0f(x)? b)À l’aide du changement de variablez= 1/u, calculerf(x).

c) Montrer quef(x) = r2

x−√ 3 + o

x→0(1).

Exercice 11.

1. Nature deI = Z 1

0

e−t

sintdt, J = Z 1

0

e−t−1

sint dt et K = Z π/2

0

√1 sintdt.

2. En effectuant changement de variable u=π−t dansK, déterminer la nature de L =

Z π

0

√1 sintdt.

(2)

Exercice12.

1. Quelle est la nature deI = Z +∞

0

√ 1

t+t2dt?

2. Discuter, suivant la valeur deα∈] 0 ; +∞[, la nature deIα= Z +∞

0

1 t1/α+tαdt.

Exercice13.

1. Établir que :

∀x∈[ 0 ; 1 [, 0< 1

√1−x2 6 1

√1−x. 2. En déduire la nature deI =

Z 1

0

√ 1

1−x2dx.

3. À l’aide du changement de variablex= sinu, calculerI.

Exercice14.

1. Justifier la convergence deI = Z +∞

−∞

1

4u2+ 4u+ 5du.

2. CalculerIà l’aide du changement de variablex=u+ 1/2.

Exercice15.

1. a)Établir que :∀t∈] 1 ; +∞[, lnt6t−1.

b)En déduire la nature de Z e

1

1 lntdt.

c) En déduire aussi la nature de Z +∞

e

1 lntdt.

On considère la fonctionΦ : ] 1 ; +∞[−→R, x7−→

Z x

e

1 lntdt.

2. a)Étudier les variations de Φsur] 1 ; +∞[.

b)À l’aide de la question 1), préciser les valeurs de lim

x→1Φ(x)et lim

x→+∞Φ(x).

c) Préciser le signe deΦet sa convexité éventuelle.

3. a)Soitx>e2. Montrer que : Z

x

e

1

lntdt6√ xet

Z x

x

1

lntdt6 2x lnx. b)En déduire que :Φ(x) =o(x)en+∞.

Exercice16.

1. Établir que Z +∞

π

sint

√t dtexiste.

2. Montrer que :∀n∈N,

Z (n+1)π

sin2t

t dt> 1 2(n+ 1). 3. En déduire que

Z +∞

π

sin2t

t dt diverge.

4. Quelle est la nature de Z +∞

π

sint

√t +sin2t t dt? 5. Montrer que sint

√t +sin2t

t ∼

t→+∞

sint

√t

6. Quelle conclusion peut-on tirer des questions 1, 4 et 5 ? Exercice 17.

On appellefonction bêta d’Euler la fonction définie par :

∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = Z 1

0

tx−1(1−t)y−1dt.

1. a)Justifier la convergence de l’intégrale définissantB.

b)À l’aide du changement de variableu= 1−t, justifier que :

∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = B(y, x).

2. a)Montrer que :∀(p, q)∈(N)2, B(p, q+ 1) = q

pB(p+ 1, q).

b)En déduire que :∀(p, q)∈(N)2, B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q). 3. a)À l’aide d’un changement de variable, établir que

∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) = 2 Z π/2

0

sin2x−1u.cos2y−1udu.

b)CalculerB(1/2,1/2).

c) On admet la relation(1) :∀(x, y)∈] 0 ; +∞[2, B(x, y) =Γ(x)Γ(y) Γ(x+y). En déduire la valeur deΓ(1/2).

Exercice 18.

1. Justifier la convergence des intégrales I =

Z +∞

0

dt 1 +t2,J =

Z +∞

0

dt

(1 +t2)2 etK = Z +∞

0

t2 (1 +t2)2dt.

2. a)Déterminer la valeur deI.

b)En déduire la valeur deK.

c) Déterminer alors la valeur deJ.

(1). Cette relation due à Euler prolonge aux réels strictement positifs la relation que vous venez de démontrer pour les entiers naturels non nuls.

(3)

Exercice19.

1. Établir la convergence deI = Z +∞

1

ln

t+1 t−1

t2 dt.

2. Déterminer trois réelsa, betc tels que :

∀x∈[ 2 ; +∞[, 1

x(x2−1) = a x−1 + b

x+ c

x+ 1, puis calculerI.

Exercice20.

1. Montrer que :I = Z +∞

0

xarctanx

(x2+ 1)2dxconverge.

2. a)Montrer que :∀y∈] 0 ; +∞[, arctan1 y =π

2 −arctany.

b)Pour a ∈] 0 ; +∞[, on pose Ia = Z a

1/a

xarctanx

(x2+ 1)2dx. À l’aide du changement de variabley= 1

x, montrer que2Ia =π 2

Z a

1/a

x (x2+ 1)2dx.

c) En déduire que :Ia =π 8

a2−1 a2+ 1. d)En déduire finalement la valeur deI.

Exercice21.

1. SoitI = Z +∞

π

cos t2 dt,J =

Z +∞

π

cosu

√u du etK = Z +∞

π

sinu u3/2du.

a)Montrer queI etJsont de même nature.

b)Montrer queJetKsont de même nature.

c) En déduire la nature deI.

2. t7→cos t2

admet-elle une limite lorsquet tend vers+∞? 3. Quelle conclusion en tirez-vous ?

Exercice22.

Pourn∈N, on poseWn= Z π/2

0

(cosx)2ndx.

1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’on a :

∀n∈N, Wn+1= (2n+ 1)(Wn−Wn+1).

2. En déduire qu’il existe un nombre réelk, que l’on déterminera , tel que l’on ait :

∀n∈N, Wn= (2n)!

22n(n!)2 ×k.

3. Pourn∈N, on poseIn = Z 1

−1

tn r1 +t

1−tdt.

a)Justifier l’existence deIn.

b)Montrer que pour toutndeN: In−In+1= Z 1

−1

tnp

1−t2dt.

Que peut-on en déduire lorsquenest impair ? c) On rappelle que l’on a, pour tout anglex,

cosx= 2 cos2x

2 −1 = 1−2 sin2x

2 et sinx= 2 sinx 2 cosx

2. À l’aide du changement de variablex7→t= cosx, montrer que l’on a :

∀n∈N, In= Z π

0

(1 + cosx)(cosx)ndx.

d)En déduire que :∀p∈N, I2p= 2Wp. Calculer de mêmeI2p−1, pour p∈N. e)Calculer explicitementIn pour n∈[[0 ; 4]].

Exercice 23.

1. À l’aide d’un changement de variable, justifier la convergence et donner la valeur deI =

Z +∞

0

e−t2dt.

2. On pose, pour toutx>0,R(x) = Z +∞

x

e−t2dt.

a)Que vaut lim

x→+∞R(x)? b)Vérifier que, pour toutx >0,

Z +∞

0

e−t2

2t2 dt=e−x2

2x −R(x).

c) En déduire, pour toutx >0, que :06e−x2

2x −R(x)6 R(x) 2x2 . d)Montrer enfin queR(x) ∼

x→+∞

e−x2 2x . Exercice 24.

Étudier la nature deI = Z +∞

−∞

dt et+t2e−t. Exercice 25.

Soitf une fonction continue et positive sur[ 0 ; +∞[telle que Z +∞

0

f(t)dtconverge.

Montrer que lim

x→+∞

1 x

Z x

0

tf(t)dt= 0.

(4)

Exercice26.

Étudier, en fonction du réelα, la convergence deIα= Z +∞

−∞

tα−1 ln(t) dt.

Exercice27.

Établir la convergence et donner la valeur deI = Z +∞

0

te

tdt.

Exercice28.

Établir la convergence et donner la valeur de I = Z +∞

0

ln(t)

1 +t2dt. On pourra utiliser le changement de variableu= 1/t.

Exercice29.

1. Soitf une fonction continue sur] 0 ; +∞[ayant des limites finies en0et en+∞.

Établir, pourα >0, la convergence de Z +∞

0

f(αt)−f(t)

t dtet donner sa valeur.

2. En déduire la convergence et la valeur deI = Z 1

0

t−1 ln(t)dt.

Exercice30.

SoitI = Z +∞

0

dt

(1 +t2)(1 +tn) etJ = Z +∞

0

tn

(1 +t2)(1 +tn)dt.

1. Justifier queIet Jconvergent.

2. À l’aide du changement de variableu= 1/t, établir un lien entreI etJ.

3. CalculerIetJ.

Exercice31.

On admet la convergence de Z +∞

0

sin(t)

t dt(cf.ex. 9).

Établir la convergence et calculer la valeur deI = Z +∞

0

Z +∞

x

sin(t) t dtdx.

Exercice32.

Pourx >0, on posef(x) = Z +∞

x

e−t t dt.

1. Que vaut lim

x→+∞f(x)?

2. En intégrant par parties, donner un équivalent def(x)lorsquextend vers+∞.

3. Donner un équivalent def(x)lorsquextend vers0+.

Exercice 33.

Soitaun réel. Établir la convergence de Ia= Z +∞

0

ln

1 + a2 t2

dt, puis calculerIa. Exercice 34.

Quelle est la nature deI = Z 1

0

dt 1−√

t? Exercice 35.

Déterminer la nature de l’intégraleI = Z π/2

0

ptan(t)du. Indic. : changement de variable.

Exercice 36.

1. Justifier que l’intégraleI = Z π/4

0

cos(t) ln(tant)duconverge.

2. a)Vérifier quex7→ 1 2ln

1 + sinx 1−sinx

est une primitive dex7→ 1

cosx sur[ 0 ;π/4 ].

b)CalculerI.

Exercice 37.

1. Justifier la divergence de Z +∞

0

lnt t dt.

2. Pourx∈] 0 ; +∞[, on poseI(x) = Z x

1/x

lnt t dt.

CalculerI(x)et en déduire lim

x→+∞I(x). Commentaire ? 3. Effectuer le changement de variable u= 1

t dans Z x

1

lnt

t dt. Que constate-t-on ? Interprétation graphique ?

Exercice 38.

1. Nature de Z 1

0

dt t√

1 +t2 et de Z +∞

1

dt t√

1 +t2.

2. Majorer

√1 +u−1

pouru∈[ 0 ; 1 ]et en déduire Z 1

x

dt t√

1 +t2

x→0+−ln(x).

3. a)Calculer la dérivée dex7→ln1−cosx 1 + cosx. b)Calculer

Z +∞

1

dt t√

1 +t2 à l’aide du changement de variablet= tanx.

(5)

1 - Indications de réponses.

Réponses non rédigées. Légende(2) : Égalité... ... obtenue par application

déf.= d’une définition

primit.

= d’un calcul de primitive

IPP.= d’une intégration par parties

u=f(t)

= du changement de var.u=f(t)

Γ(x)= de la définition deΓ(x)

Exercice1.

Γ 5

2

=3 2Γ

3 2

= 3 2 1 2Γ

1 2

= 3√ π

4 , et puisque∀u >0, v=u2/3⇔u=v3/2, Z +∞

0

e−u2/3duv=u

2/3

=

Z +∞

0

e−v3

2v1/2duΓ(3/2)= 3 2Γ

3 2

= Γ 5

2

= 3√ π 4 . Exercice2.

1. lim

x→+∞

e−nxln(n+x)

1/x2 = lim

x→+∞

x3 enx

ln(n+x)

x = 0×0 = 0, ainsi e−nxln(n+x) = o

x→+∞

1 x2

et on conclut par négligeabilité ...

2. InIPP.=

−e−nx

n ln(n+x) +

0+ Z +∞

0

e−nx

n(n+x)dx=lnn

n +

Z +∞

0

e−nx n(n+x)dx.

3. ∀x >0,06 e−nx

n(n+x)6 e−nx n2 et

Z +∞

0

e−nxdxprimit.= 1 n donne lnn

n 6In 6lnn n + 1

n3.

4. In

n→+∞

ln(n)

n par l’encadrement précédent.

Exercice3.

1. In= Z +∞

0

xne−x2dxu=x

2

= 1 2

Z +∞

0

un−12 e−uduΓ(n+12 )

= = 1 2Γ

n+ 1 2

. 2. Soit P(x) =

d

X

k=O

akxk. Pour chaque k de 0 à d, Ik existe donc par linéarité

(2). Vérifiez les hypothèses ! ! !

Z +∞

0

P(x)e−x2dxexiste et vaut

d

X

k=O

akIk. Z +∞

0

(3x2−x+ 1)e−x2dx=lin.= 32−I1+ I0=1 2

3 2

+−Γ (1) + Γ 1

2

= 1

2 3

2

√π−1 +√ π

=5 4

√π−1 2. Exercice 4.

Ici, il estinterdit de ne rien tenter, car tout marche :

• pour l’existence :

+ Comparaison :∀x60, 06e−xln(1 +e−x)6e−xln(2)et Z 1

0

e−xdx= Γ(1)existe ...

+ Négligeabilité : lim

x→+∞

e−xln(1 +e−x)

1/x2 = lim

x→+∞

x2

exln(1 +e−x) = 0 donc e−xln(1 + e−x) = o

x→+∞(1/x2)...

+ Équivalence : e−xln(1 +e−x) ∼

x→+∞(e−x)2et Z +∞

0

e−2xdxprimit.= 1

2 existe ...

• pour l’existence et la valeur (comme souvent, savoir calculer la valeur permet de justifier au passage l’existence ) :

+ Calcul d’une primitive : la formule de dérivation(ulnu)0 =u0lnu+u0fournitu0lnu= u(lnu−1)0

donc Z +∞

0

e−xln(1 +e−x)dxprimit.= −

(1 +e−x) ln(1 +e−x)−1+∞

0 = 1 + 2(ln 2−1) = 2 ln 2−1;

+ Changement de variable : Z +∞

0

e−xln(1+e−x)dxu=e

−x

= Z 1

0

ln(1+u)duIPP.= [(1 +u) ln(1 +u)]10− Z 1

0

1 +u 1 +udu= 2 ln 2−1;

+ Par intégration par parties : Z +∞

0

e−xln(1 +e−x)dx IPP.=

−(1 +e−x) ln(1 +e−x)+∞

0

Z +∞

0

(1 +e−x) e−x 1 +e−xdx = 2 ln 2−Γ(1) = 2 ln 2−1.

Exercice 5.

1. L’intégrale est faussement impropre en0 carlim

t→0

sin(xt) t =x.

(6)

La convergence en+∞ se prouve en par une intégration par parties en dérivant t7→1/tet primitivantt7→sin(xt).

2. g(x)u=xt= Z +∞

0

sinu u du= π

2. Exercice6.

1. ln(t) t2 = o

t→+∞(1/t3/2)et on conclut par le critère adéquat ..

IIPP.=

−lnt t

+∞

1

+ Z +∞

1

dt t2

primit.

= 1.

2. Iu=ln=t Z +∞

0

ue−uduΓ(2)= 1.

Exercice7.

1. Iu=−ln(t−1)= − Z +∞

0

ue−uduΓ(2)= −1.

2. ln(t−1)

t2

t→1ln(t−1): par équivalence, en s’appuyant sur la convergence deI,J converge en 1.

ln(t−1)

t2 = o

t→+∞(1/t3/2): par négligeabilitéJconverge en+∞.

3. Soit1< a < b.

Z b

a

ln(t−1) t2 dtIPP.=

−ln(t−1) t

b

a

+ Z b

a

dt t(t−1) =

−ln(t−1 t

b

a

+ Z b

a

1 t−1−1

tdt

car 1

t(t−1) = 1 t−1−1

t. En regroupant astucieusement : Z b

a

ln(t−1)

t2 dt=−ln(b−1)

b +ln

b−1 b

−(a−1) ln(a−1)

a +ln(a)qui tend vers 0lorsqueatend vers1et bvers+∞.J = 0(tout ça pour ça !)

Exercice8. Une maladroite double intégration par parties peut nous sauver mais mieux vaut reconnaître enIla combinaison linéaireΓ(3) + 2Γ(2)−Γ(1) = 3

Exercice9.

1. lim

t→0

1−cost t2 =1

2 doncI est faussement impropre en0.

06 1−cost t2 6 1

t2 permet de comparerI à une intégrale convergente en+∞.

2. Une intégration par parties permet de conclure, avec en plusI = J.

Exercice10.

1.

√u2+ 2u

u3+ 2u2

u→0

√2u

2u2

u→0

√ 1

2u3/2 et Z 1

0

du

u3/2 diverge ...

a)+∞(l’intégrale divergente d’une fonction positive tend vers+∞!) b)f(x)z=1/u=

Z 1/x

1

√ dz

1 + 2z =√

1 + 2z1/x

1 =

r 1 + 2

x−√ 3.

c) f(x)− r2

x+√ 3 =

r 1 + 2

x− r2

x= 1

r 1 + 2

x+ r2

x

−−−→x→0 0.

Exercice 11.

1. e−t sint ∼

t→0

1

t : Idiverge ; e−t−1

sint ∼

t→0−1:Jconverge (faussement impropre) ;

√1 sint ∼

t→0

√1

t :Kconverge.

2. Ku=π−t= Z π

π/2

du

psin(π−u) = Z π

π/2

du

psin(u). Par la relation de Chasles, L existe etL = K + K.

Exercice 12.

1. 1

√t+t2

t→0

√1

t et 1

√t+t2

t→0

1

t2, Iexiste.

2. Iα converge si, et seulement si,α6= 0. On peut remarquer queI1/α = Iα ce qui permet de n’étudier que les casα= 1et α >1...

Exercice 13.

Iconverge par comparaison à Z 1

0

√dx 1−x. Ix=sin= u

Z π/2

0

1du= π 2. Exercice 14.

Remarquer que4u2+ 4u+ 5 = 4

(u+12)2+ 1

>0.

1

4u2+ 4u+ 5 ∼

u→±∞

1

4u2 assure la convergence.

Ix=u+1/2= 1 4

Z +∞

−∞

dx x2+ 1

primit.

= π

4.

(7)

Exercice15.

1. a)ln est concave ety=t−1 est l’équation de la tangente à sa courbe en1.

b)Diverge par comparaison, puisque Z e

1

dt

t−1 diverge.

c) Diverge par comparaison, puisque Z +∞

e

dt

t−1 diverge ( 1 t−1 ∼

t→+∞

1 t).

2. a)Φ0:x7→ 1

ln(x) positive sur] 1 ; +∞[:Φest croissante.

b)Comme Φest croissante sur ] 1 ; +∞[ et diverge en 1 (cf 1b) et en +∞ (cf 1c),

x→1limΦ(x) =−∞et lim

x→+∞Φ(x) = +∞.

c) Φ(e) = 0doncΦpositive sur[e; +∞[ et négative sur] 1 ;e].

Φ00(x) =−1/(xln2x)<0 :Φest concave.

3. a)Proviennent de ∀t∈ [e;√

x],1/ln(t)61 et de ∀t ∈ [√

x;x],ln(x)/2 6 lnt 6 lnx...

b)S’obtient en partant de06Φ(x)6√

x+ 2x/lnx...

Exercice16.

Exercice17.

Exercice18.

I,JetKconvergent par le critère des équivalences.

Iprimit.= [arctanx]+∞0 = π 2, IIPP.=

t 1 +t2

+∞

0

+ 2KdoncK = π 4. J = I−K = π

4. Exercice19.

S’inspirer de l’exercice 7

a=b= 1/2et c=−1,I = 2 ln(2).

Exercice20.

1. xarctanx (x2+ 1)2

x→+∞

π

2x3 assure la convergence deI.

2. a)Montrer en la dérivant quey7→arctan1

y+ arctany est constante et vaut π 2 en1.

b)Ia y=1/x

= Z a

1/a π

2 −arctany

(1 +y2)2 ydy=π 2

Z a

1/a

y

(1 +y2)2dy−Ia.

c) Ia= π 4

Z a

1/a

y

(1 +y2)2dyprimit.= π 4 1 2

−1 1 +y2

a

1/a

= π 8

a2−1 a2+ 1. d)I = lim

a→+∞Ia =π 8. Exercice 21.

1. a)Poseru=t2 (l’intégrale deπàπ2 existe, elle n’est pas impropre !) b)Et une intégration par parties !

c) Kest absolument convergente, par la majoration

sinu/u3/2

61/u3/2. 2. Non ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

3. Contrairement à ce qui se passe pour les séries, il n’est pas nécessaire quef tende vers0en+∞pour que

Z +∞

f(t)dt converge ...

Exercice 22.

Exercice 23.

1. Iu=t

2

= Z +∞

0

e−u 2√

uduΓ(1/2)= =

√π 2 . 2. a)R(x) = I−

Z x

0

e−t2dt−−−−−→

x→+∞ 0.

b) Z +∞

x

e−t2 2t2 dtIPP.=

"

−e−t2 2t

#+∞

x

− Z +∞

x

e−t2dt= e−x2

2x −R(x).

c) Par croissance de l’intégrale :06 Z +∞

x

e−t2

2t2 dt6 1 2x2

Z +∞

x

e−t2dt6 R(x) 2x2 d) En divisant l’encadrement précédent par R(x) (car R(x) 6= 0), on obtient

e−x2/(2x)

R(x) −−−−−→

x→+∞ 1...

Exercice 24.

Iconverge : d’une part 1

et+t2e−t

t→+∞e−t et Z +∞

0

e−tdt= Γ(1) existe ; d’autre part : 1

et+t2e−t

t→−∞

1

t2e−t 6etpourt>1, et Z 0

−∞

etdtprimit.= 1existe.

Exercice 25.

(8)

Pourx>1, en majorant tpar√

xpour t∈[ 0 ;√

x]et tparxpour t∈[√

x;x], on a : Z x

0

tf(t)dt6√ x

Z

x

0

f(t)dt+x Z x

x

f(t)dt.

Alors06 1 x

Z x

0

tf(t)dt6 1

√x Z

x

0

f(t)dt+ Z x

x

f(t)dt.

On conlut avec Z

x

0

f(t)dt−−−−−→

x→+∞ I et Z x

x

f(t)dt= Z x

0

f(t)dt− Z

x

0

f(t)dt−−−−−→

x→+∞ 0.

Exercice26.

Iαconverge si, et seulement si, α >−1.

Exercice27.

IΓ(4)= 12.

Exercice28.

I =−I⇒I = 0.

Exercice29.

I = ln 2.

Exercice30.

I = JetI + J =π/2doncI = J =π/4.

Exercice31.

Par trois intégrations par parties successives,I = 1.

Exercice32.

1. 0.

2. e−x/x.

3. −ln(x).

Exercice33.

Par intégration par parties puis changement de variablet=au,Ia =aπ.

Exercice34.

Idiverge.

Exercice35.

Iconverge.

Exercice36.

IIPP.= −1

2ln(3 + 2√

2) =−ln(1 +√ 2).

Exercice 37.

1. La minoration lnt t > 1

t pourt>e doit suffir ...

2. I(x) = ln2t

2 x

1/x

=...0donc lim

x→+∞I(x) = 0et non Z +∞

0

lnt t dt.

3.

Z x

1

lnt

t dtu=1/t= − Z x

1/x

lnt

t dtdonc la “partie positive de la courbe” de 1à xcom- pense exactement la “partie négative” de1/xà1(je suppose dans ce commentaire quex >1) ...

Exercice 38.

1 t√

1 +t2

t→0

1

t donne la divergence de l’intégrale en0.

1 t√

1 +t2

t→+∞

1

t2 donne la convergence de l’intégrale en+∞.

IAF :

√1 +u−1 6 1

2u.

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