Induction de Neumann (induction électromagnétique dans le cas dit de Neumann)

EM.4. Phénomènes d’induction S.Najid – Lycée Blaise Pascal - Rouen ATS 20-21 1

EM.4 : P HENOMENES D ’ INDUCTION

I) L OIS DE L ’ INDUCTION

A) Variations du flux magnétique

Induction de Neumann (induction électromagnétique dans le cas dit de Neumann)

Un champ magnétique variable au voisinage d’un circuit électrique fermé et fixe provoque l’apparition d’un courant induit (ou d’une tension induite) dans ce circuit.

Induction de Lorentz (induction électromagnétique dans le cas dit de Lorentz)

Un circuit électrique fermé, mobile au voisinage d’un champ magnétique stationnaire, provoque l’apparition d’un courant induit ou d’une tension induite dans ce circuit.

On considère un circuit filiforme dont le contour fermé (« lacet ») délimite une surface S.

• Vecteur surface élémentaire 𝐝𝑺⃗⃗ = 𝐝𝑺 𝒏⃗⃗ tel que 𝑛⃗ est un vecteur unitaire normal en M au plan du circuit ;

• Orientation : choix d’une orientation arbitraire pour le courant 𝑖, qui donnera alors l’orientation du circuit.

La règle de la main droite (du tire-bouchon) donne ensuite l’orientation de d𝑆 : le pouce indique sens de d𝑆 lorsque les autres doigts décrivent le contour orienté.

Le flux du champ magnétique représente la « quantité » du champ 𝐵⃗ traversant la surface considérée.

Flux d’un champ magnétique 𝑩⃗⃗ quelconque à travers un circuit fermé définissant une surface ^{(𝚺) ∶} 𝚽(𝑩⃗⃗ ) = ∬ 𝑩⃗⃗ . 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗⃗

cas d’une spire plane de surface S : 𝚽(𝑩⃗⃗ ) = 𝑩𝑺 cos𝜽 Unité : T.m² = Wb = Weber

◼ Remarque : Le flux est une grandeur algébrique ! Si 𝑩⃗⃗ OU 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗⃗ sont orientés dans l’autre sens, le flux ainsi défini est l’opposé du premier : il FAUT orienter la surface avant tout calcul.

A partir d’observations expérimentales, Faraday a tiré différentes conclusions.

• Quel que soit son mode de production (circuit ou aimant) ou son mode de variation (variation de l’intensité dans un circuit, déplacements), la variation du flux d’un champ magnétique peut induire un courant électrique dans une boucle, dit courant induit, qui ne se maintient que si le champ magnétique dans la boucle varie. Dès que le champ magnétique acquiert une valeur stable, le courant dans la boucle disparaît.

• Le courant qui apparaît dans le circuit est appelé courant induit, le circuit dans lequel apparaît le courant induit est appelé l’induit et le système qui crée le champ magnétique est appelé l’inducteur.

• Tout se passe comme si un générateur avait été créé au sein du circuit ; il apparaît une tension aux bornes de la bobine, appelée force électromotrice induite ou f.é.m. induite dans la bobine.

• Plus la variation est rapide, plus la fém induite est importante (et donc l’intensité 𝑖 qui en résulte potentiellement).

B) Les lois de l’induction

Enoncé de la loi de Faraday

Soit un circuit 𝒞 fermé et orienté, plongé dans un champ magnétique extérieur 𝐵⃗ , et (Σ) une surface qui s’appuie sur ce circuit, orientée par l’orientation du circuit (sens de l’intensité du courant). Si le flux (𝐵⃗ ) du champ magnétique 𝐵⃗ à travers (Σ) varie au cours du temps, il y a apparition dans le circuit d’une fém induite 𝑒 tq :

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𝒆 = −𝐝

𝐝𝒕

Pour tenir compte de cette fém induite, on place dans le circuit une source de tension idéale fictive de fém 𝒆 algébrique, orientée dans le sens choisi pour l’orientation du circuit (sens de 𝒊), soit en convention générateur.

Méthode d’application de la loi de Faraday

1) Orienter arbitrairement le courant 𝒊 parcourant le circuit induit 2) En déduire l’orientation de la surface 𝑺 associée au circuit

3) Expression du flux : Φ(𝐵⃗ ) = ∬ 𝐵⃗ . 𝑑𝑆 ; cas classique : spire plane et champ uniforme : Φ(𝐵⃗ ) = 𝐵⃗ . 𝑆 4) Calcul de la fém induite e à l’aide de la loi de Faraday :𝑒 = −^𝑑_𝑑𝑡

5) Représenter le circuit électrique équivalent en plaçant la source de tension idéale de fém 𝑒 = −^𝑑

𝑑𝑡 sur le circuit en convention générateur (même sens que 𝒊)

Remarques :

• La fém e est liée au flux , qui est lui-même lié à l’orientation du circuit donc à celle de i.

• Intérêt : transformer un problème d’induction complexe en l’étude d’un circuit électrique simple.

Loi de modération de Lenz

Les phénomènes d’induction s’opposent, par leurs effets, aux causes qui leur ont donné naissance.

Cas des circuits fixes dans un champ magnétique variable 𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝒆𝒙𝒕 : Le courant induit crée un champ magnétique induit 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑖𝑛𝑑 qui vient s’opposer au champ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑒𝑥𝑡 , soit tel que le flux du champ induit tend à compenser la variation de flux du champ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . _𝑒𝑥𝑡

Cas des circuits mobiles dans un champ magnétique 𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ constant : Le sens du courant i_𝒆𝒙𝒕 ind induit est tel que la force de Laplace qui en résulte 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑖_{𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒} 𝑖𝑛𝑑𝑑ℓ⃗ ∧ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑒𝑥𝑡 s’oppose au déplacement initial du circuit.

II) I NDUCTION DE N EUMANN

A) Cas d’une bobine unique : auto-induction

Considérons un circuit fermé dans lequel circule un courant qui génère un champ magnétique 𝐵⃗ ∝ 𝑖, dont les lignes de champ s’enroulent autour du circuit ; 𝐵⃗ génère à son tour un flux _𝑝 dit flux propre à travers le circuit lui-même.

Flux propre 

_𝒑

et inductance propre 𝑳

Flux propre : contribution au flux magnétique à travers un circuit conducteur fermé du courant d’intensité 𝑖 traversant ce même circuit.

Par définition, l’inductance propre 𝐿 d’un circuit correspond au coefficient de proportionnalité entre le flux propre p et l’intensité 𝑖 du courant dans le circuit.

_𝐩= 𝑳𝒊 Unité : Henry (H)

Dimension de 𝑩 et 𝜇₀ ∶ [𝐵] = [𝜇₀][𝐼]/𝐿 à connaître !! [𝜇₀] = [𝐿]/𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 et 𝜇₀= 4𝜋. 10^–7 𝐻. 𝑚^–1 Méthode de calcul de l’inductance d’un circuit

Etablir le lien entre l’intensité traversant le circuit et le flux à travers le circuit du champ magnétique créé.

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1. Calcul au niveau de la surface du circuit du champ magnétique 𝐵 créé par le circuit parcouru par un courant ⃗ 𝐼.

2. Calcul du flux du champ 𝐵 à travers le circuit orienté par le courant I : ⃗ Φ = ∬ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑑𝑆 _𝑖𝑛𝑡

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡

(éventuellement, pour un circuit constitué de 𝑁 spires, flux à travers une spire, puis flux à travers l’ensemble du circuit)

3. Calcul de l’inductance propre du circuit à partir de la définition : 𝐿 =Φ

𝐼

4. Validation du résultat : homogénéité : [𝐿] = [𝜇₀] [longueur], signe (𝐿 toujours positive) et proportionnalité à 𝑁² pour un circuit comptant 𝑁 spires.

Application : Inductance propre d’un solénoïde

Fém d’auto-induction

Fém auto-induite apparaissant aux bornes d’un circuit « rigide » : 𝒆 = −𝐝_𝐩

𝐝𝒕 = −𝑳𝐝𝒊 𝐝𝒕 si 𝐿, soit les caractéristiques du cricuit ne varient pas.

Remarque : Cette fém d’auto-induction existe dans tout circuit parcouru par un courant d’intensité variable, mais elle est généralement négligeable, sauf dans des circuits de type bobine.

La fém d’auto-induction peut être représentée soit par un générateur de fém e en convention générateur, soit comme en électricité par un dipôle en convention récepteur

Régime variable Régime stationnaire

Bobine idéale 𝑒= −𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝑢= +𝐿𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑢= +𝐿𝑑𝑖 𝑑𝑡

Bobine résistive 𝑢= +𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖

Energie magnétique accumulée dans une bobine d’inductance 𝑳

ℰ_𝑳=𝟏

𝟐𝑳𝒊^𝟐

Energie magnétique

L’énergie magnétique est localisée dans les régions de l’espace où règne un champ magnétique Densité volumique d’énergie magnétique :

𝒘_𝒎=𝟏 𝟐

𝑩^𝟐 𝝁_𝟎

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B) Cas de deux bobines en interaction : inductance mutuelle

Soient deux circuits filiformes 𝒞₁ et 𝒞₂ parcourus respectivement par les intensités 𝑖₁(𝑡) et 𝑖₂(𝑡), définissant les orientations de chacun de ces deux circuits, donc des vecteurs surfaces associés 𝑆⃗⃗⃗ ₁

et 𝑆⃗⃗⃗ ₂.

Le circuit 𝒞₁crée un champ 𝐵⃗⃗⃗⃗ (𝑡) ∝ 𝑖_{1 1}(𝑡) donc un flux _1→2∝ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ∝ 𝑖_{1 1}(𝑡) à travers le circuit 𝒞₂ ; de même, le circuit 𝒞₂ crée un champ 𝐵⃗⃗⃗⃗ (𝑡) ∝ 𝑖_{2 2}(𝑡) donc un flux

_{2→ 1} ∝ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ∝ 𝑖_{2 2}(𝑡) à travers le circuit 𝒞₁.

Coefficient d’inductance mutuelle (ou inductance mutuelle ou mutuelle)

Flux mutuels : flux _1→2 et _{2→ 1} , proportionnels respectivement aux intensités 𝑖₁(𝑡) et 𝑖₂(𝑡).

Coefficients d’inductance mutuelle ou mutuelle des circuits 𝒞1 et 𝒞2 (identiques selon le théorème de Neuman)

_𝟏→𝟐= 𝑴𝒊𝟏(𝒕) et _𝟐→𝟏= 𝑴𝒊𝟐(𝒕)

Coefficient de proportionnalité entre le flux mutuel et l’intensité du courant qui le crée, ne dépendant que de la géométrie et de la position relative des circuits (1) et (2).

Unité : Henry (H)

Méthode de calcul de la mutuelle M de 2 circuits

Pour calculer la mutuelle de deux circuits, il faut établir un lien entre l’intensité du courant traversant un circuit et le flux à travers l’autre circuit du champ magnétique créé ; bien choisir le rôle de chaque circuit pour que 𝑀 soit calculable !

• On suppose le circuit (1) traversé par un courant 𝑖₁ et on calcule 𝐵⃗ ₁ créé sur la surface du circuit (2).

• On calcule ensuite le flux de 𝐵⃗ ₁ à travers le circuit (2), dont l’orientation est arbitraire, non liée à celle du courant 𝑖₁ :

Φ₁₂= ∬ 𝐵⃗ ₁∙ 𝑑𝑆 ₂

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡 2

(éventuellement, flux à travers une spire, puis flux à travers l’ensemble du circuit)

• On en déduit l’inductance mutuelle à partir de la définition : 𝑀 =Φ₁₂

𝐼₁₂

• Validation : homogénéité et proportionnalité à 𝑁₁𝑁₂ du résultat. [𝑴] = [𝝁_𝟎] [𝐥𝐨𝐧𝐠𝐮𝐞𝐮𝐫]

Signe du résultat obtenu arbitraire (à moins que l’énoncé n’ait imposé les orientations), présenté sous 2 formes : 𝑀 = ± … |M| = …

Application 5 : Coefficient d’inductance mutuelle entre 2 solénoïdes

Remarques :

• Dans le cas de circuits bobinés comportant respectivement 𝑁₁ et 𝑁₂ spires, 𝑀 est proportionnelle à 𝑁₁𝑁₂, puisque le champ créé par (1) est proportionnel à 𝑁₁ et que son flux traverse les 𝑁₂ spires de (2).

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• Flux magnétique total traversant le circuit 𝒞₁ : _𝟏 =_𝟏→𝟏+

𝟐→𝟏= 𝑳_𝟏𝒊_𝟏(𝒕) + 𝑴𝒊_𝟐(𝒕) Soient 2 circuits couplés parcourus par 𝑖₁(𝑡) et 𝑖₂(𝑡) variables, avec 𝑀 leur

inductance mutuelle et 𝐿₁, 𝐿₂ les inductances propres des circuits (1) et (2).

Flux magnétique total à travers le circuit (1) : Φ₁= Φ_𝑝1+ Φ₂₁= 𝐿₁𝑖₁+ 𝑀𝑖₂ F.é.m. d’induction apparaîssant dans le circuit (1) : 𝑒₁= −^𝑑Φ1

𝑑𝑡 = −𝐿₁^𝑑𝑖1

𝑑𝑡 − 𝑀^𝑑𝑖2

𝑑𝑡

Idem dans (2) ; il y a un couplage entre les deux circuits.

Modèle électrique équivalent

Convention générateur

𝑒₁= −𝐿₁𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 − 𝑀𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 𝒆₂= −𝑳₂𝑑𝑖₂

𝑑𝑡 − 𝑴𝑑𝑖₁ 𝑑𝑡

Convention récepteur

𝑢₁= +𝐿₁𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 + 𝑀𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 𝑢₂= +𝐿₂𝑑𝑖₂

𝑑𝑡 + 𝑀𝑑𝑖₁ 𝑑𝑡

Application 7 : étude de deux circuits couplés par mutuelle

Energie magnétique globale des deux circuits couplés

ℰ_𝐿 =^𝟏

𝟐𝑳₁𝒊_𝟏^𝟐+^𝟏

𝟐𝑳₂𝒊_𝟐^𝟐+ 𝑴𝒊₁𝒊₂

Remarque : l’énergie magnétique 𝓔_𝑳 n’est pas additive en raison du phénomène de couplage ; le terme 𝑴𝒊_𝟏𝒊_𝟐 correspond au terme de couplage.

C) Exemples d’application

1) Transformateurs de tension

Transformateur de tension :

Appareil qui convertit une tension variable dans le temps en une tension de même fréquence mais de valeur efficace différente par couplage par inductance mutuelle.

Représentation schématique : Constitution et principe :

Le transformateur est alimenté par une tension primaire sinusoïdale 𝑢₁(𝑡), de fréquence 𝑓 et de valeur efficace 𝑈₁ associée à un courant 𝑖₁(𝑡) sinusoïdal, de valeur efficace 𝐼₁ créant un champ magnétique sinusoïdal 𝐵⃗ (𝑡) dans le circuit magnétique qui donne par induction une tension 𝑢₂(𝑡) aux bornes du secondaire (même fréquence, valeur efficace 𝑈₂).

Modèle du transformateur parfait

Il y a couplage total entre le primaire et le secondaire ; le flux magnétique à travers chaque spire du primaire est le même qu’à travers chaque spire du secondaire ; absence de puissance perdue.

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Rendement du transformateur

rapport de la puissance 𝑃₂ fournie à la charge et de la puissance 𝑃₁ absorbée par celui-ci : 𝜼 =𝑷_𝟐

𝑷_𝟏

Le transformateur parfait a un rendement égal à 1 : 𝜼𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒇𝒂𝒊𝒕 = 𝟏

Rapport 𝒎 de transformation (rapport entre les tensions efficaces)

Avec 𝑁1 et 𝑁2 les nombres de spires des circuits primaire et secondaire, et 𝑈1 et 𝑈2 les tensions efficaces à leurs bornes :

𝒎 =^𝑵_𝑵^𝟐

𝟏=^𝑼_𝑼^𝟐

𝟏

Si 𝑼_𝟐< 𝑼_𝟏, transformateur abaisseur de tension ; Si 𝑼_𝟐 > 𝑼_𝟏, transformateur élévateur de tension.

Remarques :

• Dispositif basé sur l’induction, via un flux variable au cours du temps : ne fonctionne pas avec une tension continue.

• Avec un choix d’orientation (arbitraire) différent, on peut obtenir : 𝒎 = −^𝑵_𝑵^𝟐

𝟏 =^𝑼_𝑼^𝟐

𝟏

Rapport de transformation (2) : relation entre les intensités efficaces

𝒎 =𝑵_𝟐

𝑵_𝟏=𝑼_𝟐 𝑼_𝟏=𝑰_𝟏

𝑰_𝟐 Attention aux indices !!

III) C IRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP B STATIONNAIRE : I NDUCTION DE

L ^ORENTZ , CONVERSION ELECTROMECANIQUE

Transducteur électromécanique

Système capable de transformer de l’énergie mécanique en énergie électrique et réciproquement (décrit par un système d'équations électriques et mécaniques couplées).

Méthode d’étude des transducteurs électromécaniques

 Analyse qualitative vivement conseillée même si elle n’est pas demandée dans l’énoncé

 Orientation du circuit (imposée ou à votre initiative)

 EE Expression de la f.é.m. d’induction (liée à la vitesse) Circuit équivalent (attention aux orientations) Équation de maille

 EM Bilan des forces exercées sur la partie mobile

Expression de la résultante des forces de Laplace liée à l’intensité du courant induit.

Seconde loi de Newton

 Résolution du système d’équations différentielles couplées.

 Aspect énergétique : 𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}+ 𝒫_{𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒} = 0 𝒫_{𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒} puissance des forces de Laplace

𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛} = 𝑒𝑖 puissance délivrée par le générateur induit (la fém induite) 𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}> 0 Conversion d’énergie électrique en énergie mécanique

𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}< 0 Conversion d’énergie mécanique en énergie mécanique électrique

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A) Conversion de puissance mécanique en puissance électrique

Nous décrivons ici le principe des générateurs électriques.

1) Rails de Laplace générateurs

a)

Description du dispositif

On considère une barre métallique posée sur deux rails conducteurs.

La barre [CD] est la seule partie mobile du circuit. Elle est mise en mouvement à la vitesse 𝑣 = 𝑣(𝑡)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 par un opérateur qui exerce une force 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑜𝑝 _𝑜𝑝𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝑐𝑡𝑒𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

L’ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵_{0 0}𝑒⃗⃗⃗ orthogonal au plan des rails. _𝑧

b)

Principe de fonctionnement

• La tige est mise en mouvement par l’opérateur.

• La surface du circuit traversé par 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₀ varie, donc le flux magnétique à travers le circuit varie.

• Il apparaît une f.é.m. d’induction ; le circuit est fermé, donc il apparaît un courant induit.

• La tige, traversée par un courant et placée dans un champ magnétique subit une force de Laplace.

• D’après la loi de Lenz, cette force de Laplace va s’opposer à la cause qui lui a donné naissance, donc à la force exercée par l’opérateur.

c)

Equations électrique et mécanique



Equation électrique

1. Orienter 𝑖 : Choix orientation : Orientation arbitraire de i.

2. Orienter la surface

3. Calcul du flux : 𝛷 = 𝐵𝑆 = 𝐵𝑎𝑥 4. Loi de Faraday : 𝑒 = −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 or 𝛷 = 𝐵𝑆 = 𝐵𝑎𝑥, donc 𝑒 = −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 = − 𝐵𝑎𝑣 = 𝑒 5. Schéma équivalent

6. équation électrique :

Loi des mailles : 𝑒 – 𝑅𝑖 = 0 soit 𝑅𝑖 = − 𝐵𝑎𝑣 (E.E.)

 Équation mécanique

La tige est soumise à :

• son poids ;

• les réactions des rails, perpendiculaires au déplacement en l’absence de frottement ;

• la force exercée par l’opérateur ;

• la force résultante de Laplace, puisque la tige est parcourue par un courant et placée dans un champ 𝐵⃗ :

𝐹 𝐿= ∫ 𝑖 𝑑ℓ⃗ ∧ 𝐵⃗

𝑡𝑖𝑔𝑒

= 𝐵𝑖𝑎 𝑒 𝑥

L’orientation de 𝑑ℓ⃗ est imposée par celle du circuit

PFD à la tige, le référentiel d’étude étant supposé galiléen : 𝑚𝑔 + 𝑅⃗ ₁+ 𝑅⃗ ₂+ 𝐹 _𝑜𝑝+ 𝐹 _𝐿= 𝑚𝑎 On projette sur la direction du mouvement :

𝒎𝒙̈ = 𝑭 + 𝑩𝒊𝒂 (𝑬𝑴)

2) Résolution, étude du mouvement de la tige

EM.4. Phénomènes d’induction S.Najid – Lycée Blaise Pascal - Rouen ATS 20-21 8 Les équations électrique et mécanique sont couplées : la vitesse 𝑥̇ intervient dans l’équation électrique ; l’intensité 𝑖 du courant intervient dans l’équation mécanique.

 Expression de la vitesse de la tige

En exploitant (EE) et (EM) : ^𝒅𝒙̇_𝒅𝒕+^{(𝑩𝒂)𝟐}

𝒎𝑹 𝒙̇ = ^𝑭

𝒎

Vitesse de la tige : 𝒙̇ = ^𝑭𝑹

(𝑩𝒂)^𝟐(𝟏 − 𝐞𝐱𝐩 (−^𝒕

𝝉)) 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝝉 = ^𝒎𝑹

(𝑩𝒂)^𝟐

 Expression l’intensité dans le circuit (EE)

𝒊 = − 𝑭

𝑩𝒂(𝟏 − 𝐞𝐱𝐩 (−𝒕 𝝉))

 Force de Laplace : 𝐹 _𝐿 = 𝐵𝑖𝑎 𝑒 _𝑥= −^(𝐵𝑎)2

𝑅 𝑣

Elle s’écrit comme une force de frottement fluide, proportionnelle à la vitesse mais opposée à celle-ci.

Ceci est cohérent avec la loi de Lenz.

B) Bilan de puissance

On effectue un bilan de puissance à partir des équations électrique et mécanique.

Méthode :

• Multiplier (𝐸𝐸) par 𝑖 : puissances électriques

• Multiplier (𝐸𝑀) par 𝑣 : puissances mécaniques

• Elimination du terme de couplage On obtient : 𝑭𝒙̇ =^𝒅(

𝟏 𝟐𝒎𝒗^𝟐)

𝒅𝒕 + 𝑹𝒊^𝟐

𝐹𝑥̇ : puissance (mécanique) apportée par l’opérateur ; ^𝑑(

1 2𝑚𝑣²)

𝑑𝑡 : puissance cinétique reçue par la tige

𝑅𝑖² : puissance électrique reçue par la tige et dissipée sous forme d’effet Joule.

La puissance mécanique apportée par l’opérateur est convertie en puissance cinétique (qui met la tige en mouvement) et en puissance électrique, dissipée par effet Joule.

• Régime permanent : La vitesse de la tige est constante et toute la puissance mécanique apportée est convertie en puissance électrique.

• Terme de couplage 𝑩𝒂𝒙̇𝒊

𝑒𝑖 = −𝐵𝑎𝑥̇𝑖 puissance fournie par le générateur induit

𝐹_𝐿𝑥𝑥̇ = 𝐵𝑎𝑥̇𝑖 puissance fournie par les forces de Laplace (négative, force opposée au déplacement) La somme de ces deux puissances est nulle. On admettra que cette propriété est toujours vraie.

P_{é𝒍𝒆𝒄}+P_{𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆} = 𝟎

Conversion de la puissance mécanique apportée par l’opérateur en puissance cinétique (qui met la tige en mouvement) et en puissance électrique, dissipée par effet Joule.

On admettra que cette propriété est toujours vraie : 𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}+ 𝒫_{𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒} = 0

Loi de Lenz et freinage par induction

Dans l’exemple précédent, la force de Laplace 𝐹 _𝐿𝑎𝑝= −^(𝐵𝑎)2

𝑅 𝑣 constitue une force de freinage, ce qui est cohérent avec la loi de Lenz

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Dans tous les dispositifs où il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique, l’action mécanique de Laplace constitue une action de freinage.

Courants de Foucault

Phénomène d’induction au sein d’un conducteur volumique (non filiforme). Le mouvement d’un conducteur non filiforme dans un champ magnétique provoque l’apparition de courants induits répartis dans tout le volume dits courants de Foucault.

Application 11 : Freinage d’un cadre

C) Conversion de puissance électrique en puissance mécanique

1)

Système en translation

: Principe du moteur à courant continu à entrefer plan Principe des moteurs électriques à courant continu : Un générateur électrique crée un courant dans un circuit qui baigne dans un champ magnétique ; des forces de Laplace mettent alors le circuit en mouvement (effet moteur) et le circuit devenant mobile, donc des phénomènes d’induction prennent naissance.

a)

Description du dispositif et analyse qualitative

Même dispositif de rail de Laplace, mais alimenté par un générateur de tension continue E à partir de l’instant initial.

• Un courant s’établit quand on ferme le circuit.

• Le circuit, placé dans un champ magnétique, subit des forces de Laplace, seule la tige pouvant se déplacer.

• Du fait de la force de Laplace, la tige se met en mouvement ; la surface du circuit traversé par le champ magnétique varie, donc le flux magnétique à travers le circuit varie

• Il apparaît une f.é.m. d’induction et un courant induit s’ajoutant au courant initial qui, d’après la loi de Lenz, va s’opposer à la cause qui lui a donné naissance, donc au courant imposé par la source de tension.

b)

Equations électrique et mécanique

Equation électrique : 𝑖 =^{𝐸−𝐵𝑎𝑥̇}

𝑅 (𝐄𝐄) ; Equation mécanique : 𝑚𝑥̈ = 𝐵𝑖𝑎 (𝐄𝐌) Vitesse de la tige : 𝑥̇ = ^𝐸

𝐵𝑎(1 − exp (−^𝑡

𝜏)) avec 𝜏 = ^𝑚𝑅

(𝐵𝑎)² ; Intensité dans le circuit : 𝑖 =^𝐸

𝑅exp (−^𝑡

𝜏) Commentaires

• Lorsque la vitesse limite est atteinte, le courant devient nul. C'est une manifestation extrême de la loi de modération de Lenz : la fem induite est exactement opposée à la fem 𝑒 qui a causé le démarrage du moteur.

• Dans un moteur en fonctionnement normal, la force électromotrice induite tend toujours à s'opposer au générateur qui l'alimente. On parle de force contre électromotrice (fcem) du moteur

.

c)

Bilan énergétique

Méthode :

• Multiplier (𝐸𝐸) par 𝑖 : puissances électriques

• Multiplier (𝐸𝑀) par 𝑣 : puissances mécaniques

• Elimination du terme de couplage

La puissance électrique apportée par le générateur est convertie en puissance cinétique (qui met la tige en mouvement) et en puissance électrique, dissipée par effet Joule.

On retrouve la propriété générale, toujours vraie : 𝒫_{𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}+ 𝒫_{𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒}= 0

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2) Principe du haut-parleur électrodynamique

a)

Présentation

Un haut-parleur doit convertir un signal électrique (tension variable dans le temps) en signal mécanique (vibration d’une membrane pour émettre le son) : Transducteur électromécanique utilisant les actions de Laplace et des phénomènes d'induction.

b)

Analyse qualitative

• Un courant 𝑖(𝑡) est établi dans la bobine ; placée dans un champ magnétique, elle subit des efforts de Laplace

• Elle se met donc en mouvement, créant une onde de pression, à l’origine du son.

Il y a conversion d’énergie électrique en énergie mécanique, elle-même convertie en énergie acoustique Remarque

En l’absence de générateur 𝑢(𝑡), lorsqu’une onde sonore extérieure met en mouvement la membrane et la bobine, il apparaît une f.é.m. d’induction et un courant induit, images analogiques de l’onde sonore excitatrice : fonctionnement en microphone. L’amortissement est dû aux forces de Laplace qui s’opposent au mouvement.

c)

Equations électromécaniques, cas du régime sinusoïdal forcé

Système d’équations couplées :

Equation mécanique : 𝑚𝑧̈ + ℎ𝑧̇ + 𝑘𝑧 = −𝐵𝑖ℓ𝑏𝑜𝑏 (𝐸𝑀) Equation électrique : 𝑢 + 𝐵ℓ𝑏𝑜𝑏 𝑧̇ − 𝑅𝑖 − 𝐿 ^𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 (𝐸𝐸)

Résolution directe complexe ; les équations différentielles (𝐸𝐸) et (𝐸𝑀) étant linéaires, on peut pour les excitations périodiques rechercher des solutions sinusoïdales, bases pour l’analyse de Fourier.

Cas où le générateur impose une tension 𝑢(𝑡) sinusoïdale : 𝑢(𝑡) = 𝑈_𝑚cos(𝜔𝑡)

On cherche 𝑖(𝑡) et 𝑧̇(𝑡) sous la forme : 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) ; 𝑧̇(𝑡) = 𝑉𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣) Avec les notations complexes habituelles : 𝑖(𝑡) = 𝐼_𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) ; 𝑧̇(𝑡) = 𝑉_𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡)

En exploitant l’équation mécanique (𝐸𝑀) pour obtenir l’expression de 𝑉𝑚 en fonction de 𝐼𝑚, on peut définir l’impédance 𝑍 du dipôle vu par la source : 𝑈_𝑚= 𝑍 𝐼_𝑚

Ici, on a 𝑍 = ^{(𝐵ℓ𝑏𝑜𝑏)2}

𝑚𝑗𝜔+ℎ+_𝑗𝜔 ^𝑘 + (𝑅 + 𝑗𝐿𝜔) = 𝒁𝒎𝒐𝒕

Tout se passe comme si, en raison du mouvement dans le champ magnétique, s’ajoutait une impédance 𝒁_𝒎𝒐𝒕 caractérisant le couplage électromécanique, dite impédance motionnelle.

d)

Bilan énergétique

Méthode :

• Multiplier (𝐸𝐸) par 𝑖 : puissances électriques

• Multiplier (𝐸𝑀) par 𝑣 : puissances mécaniques

• Elimination du terme de couplage

La puissance électrique fournie par le générateur électrique au haut-parleur est :

• en partie transformée en puissance cinétique (mise en mouvement de l’ensemble tige membrane),

• en partie stockée sous forme d’énergie potentielle élastique et d’énergie magnétique,

• en partie dissipée par effet Joule

• en partie dissipée par les frottements fluides. C’est cette dernière partie qui correspond à l’émission du son.