Induction 2 Lois de l’induction et auto-induction dans un circuit fixe
Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Flux d’un champ magnétique.
Flux d’un champ magnétique à travers une surface s’ap- puyant sur un contour fermé orienté.
Évaluer le flux d’un champ magnétique uniforme à travers une surface s’appuyant sur un contour fermé orienté plan.
Loi de Faraday
Courant induit par le déplacement relatif d’une boucle conductrice par rapport à un aimant ou un circuit in- ducteur. Sens du courant induit.
Décrire, mettre en œuvre et interpréter des expériences illus- trant les lois de Lenz et de Faraday.
Loi de modération de Lenz. Utiliser la loi de Lenz pour prédire ou interpréter les phénomènes physiques observés.
Force électromotrice induite, loi de Faraday. Utiliser la loi de Faraday en précisant les conventions d’algébrisation.
Auto-induction
Flux propre et inductance propre.
Différencier le flux propre des flux extérieurs. Utiliser la loi de modération de Lenz.
Évaluer et citer l’ordre de grandeur de l’inductance propre d’une bobine de grande longueur.
Mesurer la valeur de l’inductance propre d’une bobine.
Étude énergétique. Réaliser un bilan de puissance et d’énergie dans un système siège d’un phénomène d’auto-induction en s’appuyant sur un schéma électrique équi- valent.
Cas de deux bobines en interaction.
Inductance mutuelle entre deux bobines
Déterminer l’inductance mutuelle entre deux bobines de même axe de grande longueur en « influence totale ».
Circuits électriques à une maille couplés par le phéno- mène de mutuelle induction en régime sinusoïdal forcé.
Citer des applications dans le domaine de l’industrie ou de la vie courante.
Établir le système d’équations en régime sinusoïdal forcé en s’appuyant sur des schémas électriques équivalents.
Transformateur de tension parfait. Établir la loi des tensions.
Étude énergétique. Réaliser un bilan de puissance et d’énergie.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Les lois de l’induction 2
1.1 Mise en évidence expérimentale de l’induction . . . 2
1.2 Loi de modération de Lenz . . . 2
1.3 Flux d’un champ magnétique . . . 3
1.4 Énoncé de la loi de Faraday . . . 4
2 Phénomène d’auto-induction 4 2.1 Définition d’une inductance . . . 4
2.2 Loi de Faraday et schéma électrique équivalent . . . 5
2.3 Approche énergétique . . . 5
3 Phénomène d’induction mutuelle 5 3.1 Principe de l’inductance mutuelle . . . 5
3.2 Cas de deux bobines en influence magnétique. . . 6
3.3 Circuits électriques couplés par inductance mutuelle . . . 6
3.4 Quelques applications pratiques... . . 8
4 Le transformateur de tension parfait 9 4.1 Description du transformateur . . . 9
4.2 La loi des tensions . . . 9 L’induction électromagnétique est un domaine de la physique largement employé dans l’industrie, la production électrique mais également dans le vie courante (cuisson, protection, détection ...).
Ce chapitre permet d’aborder les lois régissant ce phénomène et de les utiliser pour expliquer le fonc- tionnement d’appareils couramment utilisés.
1 Les lois de l’induction
1.1 Mise en évidence expérimentale de l’induction
Expérience 1 : Observation d’un courant dans une bobine conductrice en présence d’un aimant.
On considère un aimant et un circuit conducteur. Le circuit est relié à une résistance. On mesure la tension aux bornes deR. On mesure ainsiR iet donci. Il s’agit du phénomène d’induction.
Aimant qui se déplace i N S
. Si l’aimant et le circuit sont immobiles, on n’observe aucun courant.
. Si le circuit est immobile et que l’on approche l’aimant, i <0.
. Si le circuit est immobile et que l’on éloigne l’aimant i >0.
. Si l’aimant est immobile et que l’on approche le circuit i <0.
. Si l’aimant est immobile et que l’on éloigne le circuit i >0.
Ainsi, le mouvement relatif entre l’aimant et le circuit entraîne un courant dans le circuit.Le circuit se comporte donc comme un générateur délivrant un couranti. Il est donc équivalent à un générateur de courant. Ce courant induit provoque en plus l’apparition d’un champ magnétique dit « induit ».
Propriété.Le phénomène d’induction apparaît
. avec un circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps ; . avec un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire.
C’est le principe du détecteur de métaux, de l’antivol dans les magasins... Un moment magnétique en mouvement entraine un courant dans un circuit fixe. La mesure de ce courant permet donc de détecter la présence du moment magnétique.
1.2 Loi de modération de Lenz
Revenons à l’expérience précédente et schématisons les différents cas. On rappelle que le champ ma- gnétique est orienté le long des lignes de courants qui vont du pôle Nord vers le pôle Sud. Par ailleurs, le champ est plus intense proche de l’aimant. Ainsi, lorsque l’on approche un aimant d’une spire avec le pôle Nord en avant, le champ ressenti à travers celle-ci augmente. Quelques cas sont schématisés dans le figure 1 ci-dessous.
⇐= N S
N S
B#»1
B#»2
(a) Lorsque l’on éloigne l’aimant, le champ magnétique diminue.
=⇒ N S
N S
B#»1
B#»2
(b) Lorsque l’on approche l’aimant, le champ magné- tique augmente
Fig. 1 – Variation du champ magnétique ressenti par la spire lors du déplacement d’un aimant.
Application 1 : Comment évolue le champ magnétique lorsque l’on déplace l’aimant mais si on inverse la polarité de celui-ci ?
i >0
Champ induit
⇐= N S
Variation
∆#»
B
du champ
i <0
Champ induit
=⇒ N S
Variation
∆#»
B
du champ
Fig. 2 – Sens du champ induit en fonction du mouvement de l’aimant. La règle de la main droite donne l’orientation du champ induit et le sens du courant provient des observations. Dans les deux cas, le champ induit s’oppose à la variation de champ magnétique.
Observons maintenant le sens du champ magnétique induit à cause de l’apparition du courant dans la spire. Les différents cas sont schématisés figure 2. Ces observations vérifient la loi suivante.
Théorème. La loi de modération de Lenz indique que le champ magnétique induit tend, par ses conséquences, à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance.
Les causes de l’induction sont la variation du champ magnétique de l’aimant en mouvement. Ainsi, le champ magnétique induit tend à annuler la variation de champ, ce qui impose le sens du courant induit.
En effet, comme nous l’avons vu au chapitre précédent, le sens du courant dans une spire impose le sens du champ magnétique.
Application 2 : Déduire de cette loi le sens du courant dans la spire lorsque l’on approche ou déplace l’aimant orienté avec une polarisation opposée.
1.3 Flux d’un champ magnétique
Pour quantifier les lois de l’induction, en particulier pour connaître les normes des différentes grandeurs, nous avons besoin d’un nouvel outil mathématique, le flux du champ magnétique.
Définition. Soient Σ une surface plane (de surfaceS) fixe s’appuyant sur un contour orienté (par la règle de la main droite) et un champ magnétique traversant cette surface dépendant éventuellement du temps B#»(t).
Leflux du champ magnétique à travers cette surface est la grandeur scalaire Φ(t) =
ˆ ˆ
Σ
d#»
S ·#»
B(t) . (1.1)
Son unité est le Weber (Wb).
Propriété.Si le champ est uniforme (c’est-à-dire qu’il ne varie pas en se déplaçant sur la surface Σ), alors il vient simplement
Φ(t) = #»
S ·#»
B(t) =SB(t) cosα .
#»S #»
B α
Le flux sert à quantifier l’interaction d’un champ magnétique avec un circuit fermé. Il compte la quantité de champ magnétique qui traverse une surface.
1.4 Énoncé de la loi de Faraday
Théorème. Le courant induit dans un circuit électrique fermé sous l’action d’un champ magnétique #»
B(t) est égal au courant qui serait produit par un générateur électrique idéal fictif de force électromotrice (f.é.m. ou tension) e(t) donnée par la loi de Faraday
e(t) =−dΦ(t) dt avec Φ(t) le flux magnétique du champ #»
B(t) dans le circuit.
La f.é.m. e(t) de la loi de Faraday est toujours orientée en convention générateur dans les circuits élec- triques.
Remarque :La loi de modération de Lenz s’exprime dans le signe−de la loi de Faraday. La f.é.m. induite s’oppose au flux. Par ailleurs, on remarque que s’il n’y a pas de mouvement, le flux est constant et donc la f.é.m. induite est nulle. L’induction est toujours un phénomène lié à un mouvement mécanique ou à une variation du champ magnétique.
2 Phénomène d’auto-induction
L’auto-induction est un premier phénomène particulier permettant d’illustrer les lois générales présen- tées ci-dessus.
2.1 Définition d’une inductance
Définition. On considère un circuit parcouru par un couranti. Ce courant crée un champ magnétique #»
Bp nomméchamp propre. Le flux de #»
Bp à travers une surface S s’appuyant sur le circuit et orienté par le circuit est nommé flux propreet se note Φp.
Φp(t) =L i(t) (2.1)
où Lest une constante positive qui ne dépend que des propriétés géométriques du circuit.Lest nommée inductance propreet s’exprime en Henry (H).
L L L Attention ! Il s’agit bien du flux du champ créé par le circuit lui-même. Il ne faut pas tenir tenir compte d’éventuels champs extérieurs.
Remarque : On peut justifier simplement cette loi en écrivant que le champ propre est pro- portionnel au couranti(t). Le circuit étant fixe, le facteur de proportionnalité est uniquement une fonction de l’espace.
Considérons une bobine, autrement dit un solénoïde « long » d’axe (Oz) de longueur ` et composé de N spires de rayon R. On peut montrer que le champ magnétique à l’intérieur de la bobine vaut #»
B(t) = µ0
N
` i(t)#»ez.
On note surface S la surface d’une spire et Φ0 le flux propre du champ #»
B à travers celle-ci. Comme il y a N spires, le flux prppre total vaut
Φp(t) =NΦ0 =N SB(t) =N Sµ0
N
` i(t) =Li(t)
en utilisant la définition de l’inductance. L’inductance d’une bobine vaut donc L=µ0
N2S
` .
Application 3 : Estimer l’ordre de grandeur de l’inductance d’une bobine de 1000 spires utilisée en TP.
2.2 Loi de Faraday et schéma électrique équivalent En utilisant la loi de faraday, il vient
e=−dΦ
dt =−dΦp
dt =−Ldi dt .
Pour une bobine de dimension quelconque, on a le même résultat mais le calcul deLest plus compliqué.
Dans tous les cas, la bobine est donc équivalente à un générateur de Thévenin de f.é.m. e.
i
u=Ldi dt
i
e=−Ldi dt
Nous venons de démontrer la relation fondamentale d’une inductance dans le cas général.
Lorsque le courant varie dans la bobine, le champ propre de la bobine varie et donc son flux. D’après la Loi de Lenz, il apparaît alors une f.é.m d’auto-induction qui « s’oppose » à l’apparition du courant.
2.3 Approche énergétique
On considère un générateur délivrant une tension ug et une intensitéi(t) dans un circuit contenant une résistance r et une inductance L. On a
ug =r i+Ldi
dt ⇒ugi=r i2+ d dt
1
2L i2
. On a
. Pj=r i2 la puissance reçue par la résistance interne du circuit (dissipée par effet Joule) ; . Pmag = d
dt
1
2L i2
la puissance magnétique stockée par le circuit (sous l’effet du phénomène d’auto- induction) ;
. Pg=ugila puissance fournie par le générateur, avecPg =Pj+Pmag.
Définition. On définit l’énergie magnétiquestockée grâce dans le champ magnétique aux phénomènes d’auto-induction par la relationPmag = dEmag
dt et donc il vient Emag= 1
2L i2 = 1 2
Φ2p
L . (2.2)
3 Phénomène d’induction mutuelle
3.1 Principe de l’inductance mutuelle
Expérience 2 :Une bobine est alimentée par un générateur de tension variable. Une seconde bobine est reliée uniquement à un GBF. Selon la disposition des deux bobines l’une par rapport à l’autre, une tension variable apparaît dans la seconde bobine.
Considérons deux circuits fixes indépendants. Le circuit (1) est parcouru par un courant i1 qui génère un champ magnétique propre #»
B1. De même, le circuit (2) est parcouru par un courant i2 qui génère un champ magnétique propre #»
B2. Le champ magnétique totale est donc #»
B = #»
B1+ #»
B2. Le flux magnétique total traversant le circuit (1) est donc
Φ1 = Φp,1+ Φ2→1
où Φp,1 est le flux propre du circuit (1) et Φ2→1 est le flux du champ #»
B2 à travers le circuit (1). De même, avec les mêmes notations, le flux magnétique total traversant le circuit (2) est
Φ2 = Φp,2+ Φ1→2 .
Définition. On a admet que les flux croisés sont proportionnels au courant du circuit qui génère le champ magnétique. Le cœfficient de proportionnalité est le même pour les deux flux et se nomme cœfficient d’inductance mutuelleM. On a donc
Φ2→1 =M i2 et Φ1→2 =M i1 . (3.1)
Ce cœfficient d’inductance mutuelle peut être négatif et s’exprime en Henry (H).
Dans ce cas, la force électromotrice dans le circuit (1) s’exprime par la loi de Faraday e1(t) =−dΦ1(t)
dt =−dΦp,1(t)
dt − dΦ1→2(t)
dt =−L1di1(t)
dt −Mdi2(t) dt . Application 4 : Montrer quee2(t) =−L2di2(t)
dt −Mdi1(t) dt .
3.2 Cas de deux bobines en influence magnétique
Considérons deux bobines en influence magnétique, c’est-à-dire qu’une partie des lignes de champ de chaque bobine traverse l’autre bobine.
R2 R1
Ni1 N i2
(a) Situation géométrique
• R1
R2
(b) En rouge la zone où le champ magnétique créé par la bobine 2 est présent.
Fig. 3– Deux bobines en influence magnétique : l’intégralité des lignes de champs de la bobine 2 traversent la bobine 1.
Le calcul du flux de la bobine 2 dans la 1 est plus simple. En effet, le champ créé par la bobine 2 vaut B#»2=µ0
N2i2
`2 à l’intérieur de la bobine 2 et est nul à l’extérieur. Par ailleurs, ce champ magnétique traverse l’intégralité des spires de la bobine 1. De plus, ce champ n’est présent qu’à l’intérieur de la bobine 2 (cf.
figure 3b). Cela implique que le champ magnétique de la bobine 2 n’est pas uniforme à travers la surface de la bobine 1.
Ainsi
Φ2→1 =N1S2B2=µ0
N1N2S2
`2
i2, d’où le cœfficient d’inductance mutuelleM vaut
M =µ0N1N2S2
`2 .
Par hypothèse, on peut directement affirmer la relation Φ1→2 =M i1, alors que celle-ci est très difficile à démontrer par un calcul direct.
Remarque :Si les deux bobines sont de même longueur et de même section, on trouve M =
√L1L2. L’intégralité des lignes de champs des deux bobines traverse l’autre bobine. Dans ce cas, on parle d’« influence totale ». Sans l’aide de matériaux ferromagnétiques, cela signifie que les bobines sont l’une dans l’autre.
3.3 Circuits électriques couplés par inductance mutuelle
Méthode pour traiter un exercice avec une induction mutuelle :
1. remplacer sur les schéma les inductances par leur fém en utilisant la loi de Faraday ; 2. donner les expressions des flux magnétiques en fonction des courants ;
3. à l’aide de la loi des mailles, donner les équations électriques en appliquant la loi de Lenz puis les résoudre.
À l’aide de cette méthode, étudions le circuit de la figure 4 présentant un couplage par induction.
u(t) i1(t)
L1
R1
L2 R2 i2(t)
u2(t) M
Fig. 4 – Schématisation de circuits électriques couplés par inductance mutuelle. Le coefficient d’inductance mutuelle entre les deux bobines est notéeM. Le générateur de tension est en régime sinusoïdal.
ISchéma électriques du problème et expression des flux
u(t) i1(t)
e1
R1
e2 R2
i2(t)
u2(t)
Fig. 5 – Schématisation électrique équivalente au circuit de la figure 4. Les inductances propres et mutuelles sont remplacées par des générateurs de f.é.m. idéaux (en convention générateur !).
À la lecture du schéma, et par définition des flux, on a
Φ1(t) = Φp,1(t) + Φ1→2(t) =L1i1(t) +M i2(t) ; Φ2(t) = Φp,2(t) + Φ2→1(t) =L2i2(t) +M i1(t) .
IÉquations électriques
Commençons par écrire les deux équations électriques à l’aide du schéma électrique équivalent 5. Dans le circuit (1), la loi des mailles s’écrit
u(t) +e1(t) =u(t)−dΦ1(t)
dt =R1i1(t). Dans le circuit (2), on a
e2(t) =−dΦ2(t)
dt =R2i2(t).
On a noté e1(t) ete2(t) les f.é.m. induite dans les circuits. Attention, elles sont en convention générateur.
On les remplace ensuite par leurs expressions grâce à loi de Faraday.
Il vient
u(t) =R1i1(t) +L1
di1(t)
dt +Mdi2(t) dt .
Application 5 : En utilisant la deuxième équation électrique, montrer en le justifiant que 0 =R2i2(t) +L2
di2(t)
dt +Mdi1(t) dt .
Plaçons nous en régime sinusoïdal complexe. Dans ce cas, on au(t) =u ejωt etu(t) =<(u(t)). Alors il vient à partir de la première équation électrique
u=R1i1+jωL1i1+jωM i2.
Application 6 : En utilisant la deuxième équation électrique, montrer en le justifiant que 0 =R2i2+jωL2i2+jωM i1 .
IBilan énergétique
Faisons un bilan énergétique sur le système électrique de la partie précédente. En multipliant les équa- tions électriques par le courant, il vient
u(t)i1(t) =R1i21(t) +L1di1(t)
dt i1(t) +Mdi2(t) dt i1(t), et
0 =R2i22(t) +L2di2(t)
dt i2(t) +Mdi1(t) dt i2(t). On a
. Pj=R1i21(t) +R2i22(t) la puissance reçue par la résistance interne du circuit (dissipée par effet Joule) ; . Pmag= d
dt
1
2L1i21+1
2L2i22+M i1(t)i2(t)
la puissance magnétique stockée dans les deux circuits ; . Pg=u(t)i1(t) la puissance fournie par le générateur.
Application 7 : En sommant les deux équations électriques, montrer que la puissance électrique se conserve.
Définition. Dans le cas de circuits électriques couplés par inductance mutuelle, l’énergie magnétique stockée dans les deux circuits vaut
Emag= 1
2L1i22+ 1
2L2i21+M i1i2, (3.2)
où le terme
Ecouplage=M i1i2 (3.3)
représente l’énergie de couplage magnétiqueentre les circuits.
3.4 Quelques applications pratiques...
La radio-identification : C’est une méthode permettant la transmission à distance d’informations placées sur de petits marqueurs (étiquettes adhésives, puces sans contact,
étiquettes antivol,...). Lorsque l’étiquette passe près d’un lecteur, qui est un système actif fournissant un champ magnétique, un courant circule dans le circuit et permet d’alimenter une petite antenne qui peut alors envoyer l’information contenue dans la puce.
Utilisation de la puce RFID : Antivols, forfaits de ski, badges de té-
lépéage... Fig. 6 – Une puce RFID
Les détecteurs de métaux : Une bobine crée un champ magnétique et, si un morceau de métal se trouve à proximité, il se crée en son sein un courant. Ce courant crée lui-même un champ magnétique détecté via la f.é.m qui apparaît dans la bobine du détecteur.
La boucle magnétique : Elle se trouve généralement aux feux rouges, ou devant des barrières de parking souterrain. Il s’agit d’une spire conductrice située dans le sol. Quand un véhicule s’arrête sur la boucle, il crée par couplage un courant induit dans la boucle magnétique qui peut ainsi détecter la présence du véhicule.
Le rechargement par induction : Pour les brosses à dent, ou plus récemment les téléphones portables, on peut transmettre sans contact l’énergie électrique d’un générateur vers le système à recharger. Chacun est muni d’une bobine.
Applications industrielles : Le transformateur de la section 4 ou encore les machines électriques sont des exemples industriels centraux des phénomènes d’induction.
4 Le transformateur de tension parfait
4.1 Description du transformateur
Un transformateur est constituée par deux bobinages (primaire et secondaire) enroulés autour d’un tore de matériau ferromagnétique.
Fig. 7 – Les éléments centraux d’un transformateur.
Le noyau de ferromagnétique permet de canaliser les lignes de champ. Dans le cas du transformateur parfait, on considère que les résistances des bobinages sont nulles et que le couplage est parfait, c’est à dire que le flux magnétique à travers une spire du secondaire est le même qu’à transfert une spire du primaire.
Pour utiliser un transformateur, on met une source de tension variable au niveau du primaire. L’intensité i1 parcourant les boucles de courant crée un champ magnétique variable. Ce champ magnétique induit un courant au niveau du secondaire.
Fig. 8 – Représentations électriques possibles d’un transformateur
4.2 La loi des tensions
On note φ(t) le flux du champ magnétique (existant dans le noyau le fer) #»
B à travers une boucle de courant. On noteN1 le nombre de spires du primaires etN2 le nombre de spires du secondaire. On a donc, en appliquant la loi de Faraday,
e1(t) =−u1(t) =−N1dφ(t)
dt et e2(t) =−u2(t) =−N2dφ(t) dt où l’on note u1(t) et u2(t) les tensions aux bornes du primaire et du secondaire.
Propriété.Dans un transformateur idéal, les tensions au primaire et au secondaire sont liées par la relation u2(t)
u1(t) = N2
N1
=m (4.1)
oùmse nomme lerapport de transformation. Un transformateur permet de diminuer ou d’augmenter la tension.
Si le transformateur est idéal, il transfert la totalité de la puissance électrique, ainsi u1(t)i1(t) =u2(t)i2(t) =⇒ i2(t)
i1(t) = u1(t) u2(t) = 1
m (4.2)
L L L Attention ! Cette propriété est définie pour un champ variable, et ces relations ne sont donc pas valides pour des tensions constantes.
u1 u2 u1 e1 e2 u2
Fig. 9 – Schéma électrique équivalent du transformateur
Expérience 3 : Utilisation d’un transformateur basique : bobines simples, noyau ferroma- gnétique, générateur de courant et multimètres.
Il existe de nombreuses utilisations aux transformateurs comme...
. le transport de l’énergie à très haute tension (400 000 V) puis retour aux hautes tensions (40 000 V) et aux tensions du secteur (230 V) ;
. la conversion de la tension du secteur en basse tension (12 ou 24 V) : chargeurs de téléphones ou d’appareillage électronique ;
. le transformateur d’isolement (rapportm= 1). Il permet d’isoler le primaire et le secondaire (découplage des masses, transfert d’énergie électrique sans fil).
