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Submitted on 1 Jan 1910
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Lignes d’aimantation d’une couche sphérique aimantée par induction magnétique dans un champ uniforme
(Suite)
L. de la Rive
To cite this version:
L. de la Rive. Lignes d’aimantation d’une couche sphérique aimantée par induction magné- tique dans un champ uniforme (Suite). J. Phys. Theor. Appl., 1910, 9 (1), pp.224-230.
�10.1051/jphystap:019100090022401�. �jpa-00241518�
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statique, nous avons pu observer la présence d’ions des deux signes
et des centres neutres, mesurer leur mobilité et retrouver les résul- tats déjà fournis par la méthode électrométrique.
Nous avons déjà insisté sur l’appui que ce mode d’observation apporte à la théorie des ions.
LIGNES D’AIMANTATION D’UNE COUCHE SPHÉRIQUE AIMANTÉE
PAR INDUCTION MAGNÉTIQUE DANS UN CHAMP UNIFORME (Suite)
Par M. L. DE LA RIVE.
Discussion de la courbe. - En coordonnées rectangulaires on a d’après la fi g. >1 :
F It~ . ~ ,
Reprenons l’équation ~7~, qui donne: i
lorsque r tend vers x , on voit par (7) que 9 tend vers 0, mais tend
vers une limite qui est :
sin 00 a’ V i - 2m,
r tandis que tend vers 00. La courbe a donc pour asymptote une parallèle à l’axe des .~, qui en est distante de la valeur trouvée pour
(1) Voir J. de PhY8., 4° série, t. VIII, p. 6 i~ ; 1909.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019100090022401
225 la limite des .z~. Cette distance est très petite, à cause de la petitesse
de 1 - 21n, lorsque p a une valeur un peu grande. Pour t-t _ 500,
comme c’est le cas pour le fer, ~/1 - 2n1 est égal à 0,05, en sorte
que les asymptotes de toutes les lignes se confondent presque avec l’axe des ~.
A partir de son point initial sur le cercle c~’, la courbe commence
par tourner sa concavité vers le centre, et elle est près d’être tan- gente aux cercles qu’elle coupe lorsque r augmente et que 0 diminue.
En effet, la valeur de tang u donnée par (4) est très grande lorsque r dif-
fère peu de a’. C’est ainsi que, pour 0, égal à 45°, l’angle u sur le
cercle c~’ est de plus de 891, ce qui est bien près d’être la tangence.
D’autre part, en s’approcliant de son asymptote, la courbe finit par tourner sa convexité vers le centre, comme le montre la fig. 2.
On trouve le point d’inflexion de la courbe par le calcul suivant, en partant de l’équation (7) élevée au carré :
_ - / i ~yn 1 n.’ ~
multipliant par }’2 et remarquant que :
et faisant, pour abréger, 2»ia’3 ---- q, l’équation devient :
En di~’érentiant, on obtient :
et le premier membre est la tangente de l’angle de la courbe avec l’axe oz. Il faut donc, pour trouver le point d’inflexion, différentier cette expression et égaler à zéro le résultat, car la variation de la
tangente est du mème signe que celle de l’angle pour un angle plus petit qu’un droit. On obtient ainsi :
226
D’autre part, pour tout point de la courbe, ~r et dO sont liés par l’équation (5) :
En introduisant cette relation de manière à rendre de facteur com- mun du premier membre, on trouve après diverses simplifications :
et la solution pour r en fonction de 0 est :
Du double signe de la solution de l’équation du second degré, le signe + est seul à retenir. En effet, r doit être positif, ce n’est pas le cas pour la solution --- lorsque 1B1 et N sont positifs. Ceci a lieu
tant que le dénominateur de M et N l’est lui-même, ce qui donne
pour limite supérieure à sin e la valeur
V~
correspondant à l’angle 63° 26’, qui donne à i- une valeur infinie. Lorsque 0 dépasse cette limite, M et N devenant tous deux négatifs la solution + est seule positive.D’autre part, pour que la solution de (11) soit valable, il faut qu’elle
soit plus grande que l’unité, ce qui donne :
ce qui conduit, en remplaçant M et N par leurs valeurs, à :
Les deux nombres sont positifs lorsque m varie entre 0
et 2,
ce quicorrespond pour p aux limites 1 et x . Par conséquent la limite infé- rieure de sin 0 est donnée par :
On trouve pour p égal à 500, cette limite inférieure égale à 4~ 28’.
227 Si on cherche à éliminer r ou 0 entre les équations (7) et (i 1), on
obtient une équation du 91 degré qu’on ne peut pas résoudre. Par la solution de (11), r, est donné en fonction de 0 pour tout point d’in-
a
flexion, et on peut se donner arbitrairement une valeur de 0, trouver celle de - a, et de ces deux valeurs déduire celle de 0jj, () 1 la constante
de la courbe, par (7). Par interpolation on trouvera les valeurs du
point d’inflexion pour les valeurs intermédiaires de °0,
En partant de la seconde forme de la ligne d’aimantation (8) pour chercher le point d’inflexion, l’équation (9) ne change pas, et la seule différence est la valeur de la constante, qui n’est la même que si an est égal à a’. Les résultats qu’on vient d’obtenir sont donc appli-
cables aux lignes ayant leur origine sur o.x et, étant données les valeurs de r et de 0 d’un point d’inflexion, on trouve la valeur cor- respondante de aIl par la relation (8), qui se met sous la forme :
Cette équation du troisième degré n’a qu’une racine réelle, qui est
donnée par la solution trigonométrique ( ’ j :
En résumé, lorsque 9 croît à partir de sa limite inférieure, la valeur
trouvée par (il) pour a donne sin 0, par l’équation (7) et la limite supé-
a
rieure est l’unité. Au delà le point d’inflexion n’appartient plus à une ligne de la première espèce, inais à une ligne ayant son origine sur
ox, et la limite supérieure de 0 est celle qui rend a infini, car elle
a
correspond à une valeur infinie de ao.
(1) BRior et BouQUET, p. 128.
228
Sur les lignes de force dans le champ dû à la couche sphérique et
au charnp inditoteur. -- Pour compléter l’étude de la couche sphé- rique, j’ai cherché l’équation de la ligne de force dans le champ. On
l’obtient en déterminant l’angle ~c’ de la résultante, analogue à u,
sauf que le point M de la fiç~. 1 est hors de la couche, au lieu d’être
compris entre les cercles a et a’. Les valeurs de F,, et Ft t de (3)
deviennent :
Et l’on trouve :
Et l’équation différentielle de la ligne de force est :
qui s’intègre par le même procédé que la précédente et donne :
9o étant la coordonnée angulaire du point initial sur le cercle ~. Il
faut remarquer que 1n’ est toujours plus petit que 1 ; en effet, cette inégalité est équivalente à :
Le second membre a pour limite inférieure 9, ce qui donne :
Il en résulte pour la discussion de la courbe, que 0 diminue cons- tamment lorsque r croît. En effet, la dérivée de la quantité sous le
radical du second membre de (i4) est :
229
qui est toujours positive, puisque m’ est plus petit que 1, et que r est
plus grand que a.
On voit que la courbe a pour asymptote une parallèle à oz
menée à une distance donnée par :
D’autre part, 0 tend vers 0 pour r == 00 , et l’ensemble des lignes
de force qui aboutissent à la sphère extérieure forment un cylindre,
dont le rayon est:
Pour (~ égal b à 500 et « égal g à ~ , 10 ~/1 + ~m est égale à 1,59.
Si l’on suppose la sphère pleine, en faisant « égal à zéro dans la va-
leur de ni’, on trouve i, 75. Il y a donc une plus forte condensation des
lignes de force pour la sphère pleine que pour la couche sphérique.
Les lignes de flux intérieures sont des parallèles à o,~y. Il est à noter qu’aux points où une ligne de flux rencontre la surface, les tangentes des angles de la ligne de flux et de la ligne d’aimantation sont dans le rapport 1~ , suivant la réfraction magnétique. On le vérifie aisé-
p
ment pour les lignes intérieures. Sur le cercle c~’, on a :
TABLEAU DES VALEURS NUMÉRIQUES POUR LE TRACÉ DES LIGNES
230
Les lignes d’aimantation tracées d’après le tableau ci-dessus sont
reproduites dans la fg. 2, pour la partie de la couche sphérique la plus rapprochée de l’axe o,~ . Les rayons des deux sphères terminales qui, dans le tableau, ont les valeurs 100 et 110 ont ici de 13 et 14 cm.
Les lignes dont les origines sur a’ sont 15°, 30°, ~.~°, 60°, et 90° sont
FIG. 2.
figurées jusqu’à une faible distance du cercle a’, avec lequel elles
tendent à se confondre, et pour les trois, premières, jusqu’au point
d’inflexion. On voit qu’elles deviennent convexes et asymptotiques
à o.~. Deux lignes ayant leur origine sur ox sont reproduites égale-
ment dans leur parcours voisin de o.~, celles pour lesquelles ao est
égal à 101 et 102. Le point d’inflexion calculé par l’équation du
troisième degré est marqué sur la première. Les lignes de flux ayant
leur origine sur a aux angles 18, et 5° sont indiquées en pointillé et
s’écartent peu des rayons vecteurs dans le parcours figuré. La ligne d’aimantation, aboutissant au même point que la ligne de force de 18°, fait avec la normale un angle de 80", et, si la ligne de force fait elle-même un angle de 1° avec le rayon vecteur, la relation rappelée
est satisfaite, avec ~ égal à 500.
