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Submitted on 1 Jan 1971
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MODÈLE DE BANDES AVEC AIMANTATION INHOMOGÈNE DANS UNE COUCHE
FERROMAGNÉTIQUE
S. Szczeniowski, L. Wojtczak
To cite this version:
S. Szczeniowski, L. Wojtczak. MODÈLE DE BANDES AVEC AIMANTATION INHOMOGÈNE DANS UNE COUCHE FERROMAGNÉTIQUE. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C1), pp.C1- 1174-C1-1176. �10.1051/jphyscol:19711420�. �jpa-00214463�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 2-3, Tome 32, Février-Mars 1971, page C 1 - 1174
MODÈLE DE BANDES AVEC AIMANTATION INHOMOGÈNE DANS UNE COUCHE FERROMAGNETIQUE
par S. SZCZENIOWSKI
Institut de Physique de 1'Ecole Polytechnique de Varsovie et L. WOJTCZAK
Département de Physique Théorique de l'université de Lodz, Pologne
Résumé. - Les propriétés des couches minces ferromagnétiques sont examinées à I'aide de I'hamiltonien donné par la théorie des bandes dans l'approximation de Stoner. Les états propres sont trouvés à I'aide de fonctions de Green avec le découplage de Tiablikov. Les équations pour une distribution de l'aimantation spontanée sont obtenues. Leur solution montre que l'aimantation spontanée varie dans la direction de l'épaisseur de la couche. A cause de cette variation l'énergie propre des électrons varie et les états de surface apparaissent comme causés par la structure cristallographique et déterminés par I'anisotropie de surface modifiée par la distribution des électrons. L'inhomogénéité de I'aimantation prise en considération à l'aide de la méthode self-consistante voit sa valeur diminuer à l'état d'équilibre.
Abstract. - Properties of ferromagnetic thin films are investigated by means of the Stoner approximation of the band theory. The electronic eigenstates are found using the Green's functions method with Tiablikov's decoupling. The equations for the distribution of magnetization are obtained. Their solution shows that the spontaneous magnetization varies across the film. This variation changes the energy eigenvalues of electrons. The surface states appear as the surface states caused by crystallographic structure and determined by the surface anisotropy modified by the electronicdistribution.
The inhomogeneity of magnetization decreases its value at the equilibrium state considered on the self-consistent way.
Nous présentons ci-dessous un modèle de bandes pour les couches minces ferromagnétiques considérées comme des systèmes de n plans monoatomiques parallèles aux surfaces de la couche et orientés dans une direction cristallographique. Les plans sont dési- gnés par v E (1, n) où n correspond à l'épaisseur de la couche. La position de l'atome dans un plan est donnée par le vecteur j. Les atomes situés sur les faces de la couche n'ont pas de voisins d'un côté du plan monoatomique qui les contient. Du point de vue de la théorie des bandes, à la couche monoatomique corres- pond une bande non dégénérée avec une interaction intra-atomique 3 responsable de l'existence d'état ferromagnétique. L'hamiltonien est donné sous la forme [l]
où eV:., désignent les opérateurs de création et d'anni- hilation d'un électron au point du réseau (vj) avec spin selon la direction de l'aimantation spontanée
ou selon la direction opposée (m = J (-1). H,($) sont les éléments de la matrice d'énergie calculés dans la représentation de Wannier.
Dans ce travail, nous obtenons les états propres de l'hamiltonien (1) à l'aide de fonctions de Green avec le découplage
orientés au point du réseau (vj). Ce nombre ne dépend que de la position du plan v : < n,,, > = < nvm >
[ 2 ] . Compte tenu du fait que l'aimantation spontanée par atome dans le plan v est définie par
nous pouvons alors exprimer l'hamiltonien (1) par
où < n, > = < n,T > + < n,J > et où la deuxième somme porte sur les plus proches voisins (v'j') du point considéré (vj).
Les calculs détaillés sont donnés pour les couches avec une structure cristallographique (100). Si les amplitudes perpendiculaires aux surfaces de la couche sontégales à ~ Z e t a ~ ~ a r t i e n n e n t aux états propres E: de l'hamiltonien (4), la méthode de fonctions de Green appliquée au problème considéré conduit aux expres- sions suivantes pour les valeurs moyennes de nombres des électrons
où E i désigne le niveau de Fermi déterminé par
correspondant à I'approximatioil de Stoner de la Les valeurs E r et les amplitudes T,", peuvent être alors théorie des bandes. < n v j y > désigne la valeur trouvées de la facon analogue à celle appliquée dans le moyenne du nombre des electrons avec les spins cas des couches non magnétiques [2]. En suppo-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19711420
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sant ETm = EF(3 n2)-2/3 (2 - KY) nous trouvons que les états propres de l'hamiltonien (4) sont diagonaux à condition que X:: î,", soient données sous la forme
pour v E (2, n - l), avec les conditions aux limites
pour [ p , p'] = [l, 21 ou [n, n - 11 et la condition d'or- thogonalité
r: r:, = szz, . (9)
v
Le paramètre S = E,IJ est connu comme le paramètre de Stoner. La constante K (rapport de l'interaction intra-atomique à l'interaction interatomique), corres- pond à l'anisotropie de surface causée par les effets de la structure cristallographique. Cette anisotropie joue un rôle essentiel dans les discussions liées au comporte- ment du point de Curie 131.
De cette façon le modèle introduit ci-dessus permet de considérer des propriétés des couches minces ferro- magnétiques compte tenu l'inhomogénéité de l'aiman- tation spontanée. De plus, à l'aide des équations (3),
(3, (61, (7), (8) cette aimantation inhomogène peut être déterminée en même temps. Le système d'équations (3) et (5) possède des solutions différentes de zéro au- dessous d'une température qui représente physique- ment la température de transition de phase. Elle est donnée par
où les valeurs propres E," sont déterminées par (7) et (8) pour < p > = 0.
La solution analytique pour < pv > peut être obtenue facilement dans le cas où des couches avec l'interaction 3 très forte se trouvent au zéro absolu.
Nous avons alors tous les spins dirigés selon l'axe de l'aimantation facile, c'est-à-dire, < pv > = < n,T >,
< nvJ > = O. Compte tenu de (7) et (8) nous obtenons pour KT?, Tvzf, les résultats très connus [3], qui ne dépendent pas de l'inhomogénéité de l'aimantation dans ce cas. Mais l'aimantation elle-même varie en fonction de l'épaisseur de la couche comme la valeur moyenne du nombre des électrons. La solution exacte peut être écrite sous la forme (par électron) :
pour K = 1 et
pour K % 1 mais K < 2 n. Le caractère de cette distri- bution est presque conservé jusqu'au point de transi- tion de phase, où nous trouvons que
4) La distribution des électrons est homogène pour K = 0.
Nous pouvons voir que les déviations de l'aimanta- tion de sa valeur moyenne ne sont conséquentes que pour les plans superficiels. Nous proposons de les déterminer par le paramètre d'inhomogénéité sous la condition
Les valeurs propres de l'énergie prennent la forme
où les o," sont les paramètres calculés pour le modèle à aimantation homogène [3] avec une constante d'aniso- tropie de surface modifiée comme
Donc, les états de surface apparaissent comme causés par l'anisotropie de surface effective, déterminée par la structure cristallographique et l'inhomogénéité de l'aimantation. Dans le cas où l'anisotropie de surface est très forte pour les couches au voisinage de la tempé- rature de transition de phase, compte tenu de (13) et (17) nous obtenons que la constante effective
ne dépend pas de l'épaisseur de la couche. Ce fait nous permet de calculer la température de transition de phase donnée par (10) à l'aide de la procédure appli- quée au modèle avec l'aimantation homogène.
A la suite de ces considérations nous pouvons conclure que l'inhomogénéité de I'aimantation corres- pondant à la distribution des électrons n'apparaît que dans les plans superficiels. Cette distribution obtenue à l'aide de la méthode self-consistante a une valeur plus faible à l'état d'équilibre que celle obtenue dans le modèle qui ne tient pas compte de l'influence de l'inho-
Comparaison entre températures de transition de phase (kT/EF) calculées à l'aide de modèles divers
Nombre Modèle ( S = 1.26)
de a v e c ( K = l O K = 6 ) s a n s ( K = l O ) couches variation de l'aimantation
- -
5 0,309 4 0,192 2
10 0,332 1 0,284 6
20 0,346 6 0,324 4
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mogénéité sur l'état d'équilibre. A cause de cette distri- couche plus lentement que dans le cas du modèle à bution, l'anisotropie de surface diminuée conduit aux aimantation homogène. Dans le cas où la variation de résultats changés pour les états propres et aussi les l'aimantation est négligeable les résultats obtenus dans états de surface. Le tableau 1 montre que le point de la présente approximation se ramènent à ceux donnés transition de phase varie en fonction de l'épaisseur de la dans nos travaux précédents [3].
Bibliographie
[Il BLANDIN (A.), Band Magnetism a Theory of Condensed Dl SZCZENIOWSKI (S.) et WOJTCZAK (L.), J. Appl. Phys.
Matter, p. 691, International Atomic Energy 1968, 39, 1377, Acta Phys. Polon., 1969, 36,
Agency, Vienna, 1968. 241.
[2] WOJTCZAK (L.), Acta Phys. Polon., 1969, 36, 107.
