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Sur le passage des lois intégrales aux lois différentielles en électromagnétisme et en induction
R. Chevallier
To cite this version:
R. Chevallier. Sur le passage des lois intégrales aux lois différentielles en électromagnétisme et en
induction. J. Phys. Radium, 1933, 4 (1), pp.54-60. �10.1051/jphysrad:019330040105400�. �jpa-
00233133�
SUR LE PASSAGE DES LOIS INTÉGRALES AUX LOIS DIFFÉRENTIELLES
EN ÉLECTROMAGNÉTISME ET EN INDUCTION Par R. CHEVALLIER.
Faculté des Sciences de Nancy.
Sommaire. 2014 Le passage des lois intégrales classiques de l’électromagnétisme et de
l’induction aux lois différentielles (Lois de Laplace et formule donnant la force electro- motrice induite dans un élément de circuit) est une conséquence immédiate d’un théorème dit de
«variation du flux », énoncé probablement pour la première fois par Hertz
en 1890.
La présente note a pour but de montrer que ce passage est une conséquence immédiate
d’un théorème dit « de variation du flux
»(1) probablement obtenu pour la première fois
par Hertz en 1890. Nous donnerons de ce théorème un énoncé suffisamment général pour les applications que nous avons en vue, mais un peu plus particulier que l’énoncé habituel,
ce qui nous permettra d’en fournir une démonstration très simple.
+
1° Une portion de surface S, de contour C, est placée dans un champ de vecteurs F,
invariable dans le temps, pouvant présenter des sources à distance finie. Si chaque point
-
de S subit un déplacement d l, fonction continue de ce point et ne rencontrant pas de sources,
+ --
la variation du flux traversant la surface S’ est identique à la circulation du vecteur F X d L le long du contour C qui la limite (2).
Choisissons sur la courbe C un sens positif de circulation. Il implique deux faces et une +
normale positive pour toute surface S s’appuyant sur C. Si n est le vecteur unitaire de cette
normale, le flux traversant S dans le sens positif est défini par
La surface S se déplace en se déformant. Soient Si et S, ses positions extrêmes, 4) et
4> + d 4) les flux correspondants. Appelons 2 le lieu des vecteurs dl attachés au contour C.
Le volume limité par Si 1 ~2 ne contenant pas de sources par hypothèse, le flux qui en sort
est nul. Si donc nous choisissons sur Ides faces en accord avec celles de S1, le flux traversant E n’est autre que d 4$ , variation du flux cherchée.
--
Or l’élément de surface de 1, correspondant t à l’élément ds du contour, est avec cette
- -
convention de signe : ds.
Donc
ce qui démontre la proposition.
(1) C BüitlLl-FORTI et R. MARCOLO-,BC.0, Calcul vectoriel (ed. français) p. 114.
+ +
(2) Nous utilisons la notation A.B pour un produit scalaire, A X B pour un produit vectoriel.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019330040105400
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+
2° Si le champ F dépend du temps, il faut préciser que les positions et S, corres- pondent aux instants t et t ~- dt. La vitesse de chaque point de S est alors :
La variation du flux comporte alors deux termes : l’un correspondant au déplacement du
circuit dans le champ invariable, l’autre à la variation du champ le circuit restant immobile.
La relation (1) doit donc être complétée ainsi :
+ -
On remarquera qu’en remplaçant la circulation du vecteur F x cl l par le flux de son
rotationnel, le champ de v étant supposé défini dans tout l’espace, la relation (2) devient
les à F étant calculés en un point fixe. C’ est l’expression du théorème cité (1) quand
Qt p p ) q
di; F = 0 sur la surface S, ce que nous avons précisément supposé en admettant que les
+
-vecteurs d 1 ne rencontrent pas de sources.
*
Un cas particulier très important est celui où 1 est à flux conservatif ; il existe alors un’
+
potentiel vecteur A. tel que
La relation (2) prend donc la forme simple
La variation par unité de temps du flux traversant la courbe C est identique à la circu- dation le long de cette courbe du vecteur
APPLICATIONS
Des relations ( l) et (3) appliquées aux lois intégrales de l’induction et de l’éleétro-
magnétisme relatives à un circuit fermé on déduit immédiatement les lois différentielles pour un élément de circuit. Dans tout ce qui suivra la courbe C sera un circuit métallique linéaire, sur lequel nous aurons choisi un sens positif de circulation; les intensités de courant et les forces électromotrices seront des scalaires algébriques.
-
,
-
:l 0 Induction dans un circuit linéaire. - Remplaçons F par un vecteur induction B
+
dérivant du potentiel vecteur A. Le circuit fermé C est siège d’une force électromotrice
.l’induction
.-
C’est la loi intégrale. En vertu de (3? l’on peut dire que chaque élément d s est siège
d’une force électromotrice
C’est la loi différentielle. Si l’on note que le vecteur A n’est défini qu’à un gradient près.
on voit que c’est la loi la plus générale possible.
-+-
L’élément de charge q effectuant pendant le parcours ds le travail qe.ds est soumis à la
+ +
force qe, soit e par unité de charge. Il est donc équivalent de dire qu’il existe en chaque
+
point un champ électrique d’induction e.
Par suite si U est le potentiel électros tatique, e’ le champ d’hétérogénéité (effets Peltier
et Thomson) le champ total sera
-
C’est à ce vecteur que le vecteur courant i est proportionnel, le coefficient de propor- tionnalité étant l’inverse de la résistivité. C’est la relation de base de la théorie de la con-
ductibilité électrique.
20 Forces électromagnétiques subies par un courant linéaire dans un champ
.
d’induction. - Le circuit C, placé dans le champ d’induction magnétique B, est par hypo-
thèse siège d’un courant I. On sait qu’il est soumis, de ce fait, à un système de forces
dérivant du potentiel
Trr Tl /T’" , .."
rr Il ... 1 r «. 1
Si le circuit se déplace légèrement en se déformant ces forces effectuent un travail
qui en vertu de (1) s’écrit
-)1-
Comme d l est le déplacement de l’élément ds, on voit que sur cet élément s’exerce une
force
C’est la première loi différentielle de Laplace. C’est d’ailleurs la seule susceptible de
-
fournir par intégration la loi des courants fermés. S’il en existait une autre dF’ on aurait
_ç (- - j +
-, d F - dF’ .d l
=0 de quelque façon que d / varie le long du contour ce qui implique-
- -
rait dP’
=dF’. L’expérience vérifie cette loi.
Champ magnétique créé par un courant linéaire.
-Le circuit C, siège du cou-
rant I, créé en tout point M de l’espace un champ magnétiques dérivant du potentiel
V I T (Loi intégrale
où W est l’angle solide sous lequel on vomit du point 31 la courbe C (Cf. Note 1). C’est une
57 fonction multiforme et continue. Si l’on applique sur C une surface définie et si l’on désigne
par Q l’angle solide sous lequel on voit S du point M, toutes les déterminations de 11" sont
~n étant un nombre entier algébrique quelconque. Ces déterminations se permutent par addition de 1 « pour une rotation positive autour de C, le trajet et C s’enveloppant comme
deux maillons de chaîne.
-+-
Cela posé, soit H le champ au point M, M’ un point voisin de îVT tel que MM’
=dl.
Soit W + + dO les angles solides correspondant à M’, on a
-
Remarquant que 0 varie en M CILI même si le circuit C subit la translation
-dl.
Remarquant de plus que
en désignant par 1,). le vecteur unitaire de la direction M, dS et par r la distance M, dS, il en
+
résulte que (2 est le flux du vecteur ’- à travers S et que, par suite de la relation (i), on a
î~2 .donc :
comme est un vecteur constant
-
Chaque élément ds crée donc au point M, un champ
C’est la seconde loi différentielle de Laplace.
-
Ce n’est pas la seule possible. En ajoutant à dH un vecteur élémentaire quelconque,
dont l’intégrale le long d’un circuit fermé est nulle, on ne change évidemment rien à la loi des courants fermés.
Comme les courants ouverts n’existent pas, il n’y a pas lieu de discuter la réalité de
ce vecteur additif. La loi (6), donnant pour les circuits réels le même résultat que les autres, s’impose par sa simplicité.
On notera toutefois cette différence entre les deux lois de Laplace.
Potentiel-vecteur.
-Le champ
’défini par (6) dérive d’un potentiel-vecteur dont le
-
calcul est immédiat. Désignant par les coordonnées de M, par x y z celles de ds, par p ; +
i j k les vecteurs unitaires des axes et tenant compte de
on écrira symboliquelnent
la dernière égalité résultant crut fait sont des paramètres.
Posant
on voit que
+
A est donc le potentiel vecteur cherche.
Note 1.
--Soit S une portion de surface limitée par un contour C sur lequel nous.
avuns choisi un sens positif de circulation. La surface S a dès lors deux faces et une direc- tion positive de normale. L’angle solide sous lequel on voit cette surface d’un point M
s’obtient de la façon suivante.
Le cône de somment ~1 s’appuyant sur C découpe sur la sphère unitaire de centre M deux calottes. On considère celle comprise entre 31 et S; on l’affecte du signe + si la surface S présente à M sa face négative. L’angle solide ainsi défini :
est une fonction dl*scoiiiiitue à la traversée de S.
Si nous nous donnons C seul, il n’y a plus de surface privilégiée et nous devrons défini
l’angle solide T sous lequel on voit la courbe C comme une fonction continue. Il est dès lors facile de voir que partant de Mo en choisissant comme détermination de W, la surface algé- brique w de l’une des calottes et s’astreignant au cours des déplacements de M à conserver
la nH?1ne (continuité) on revient au point avec la détermination
si le trajet enveloppe C une fois et s’est effectué dans le sens positif. La fonction T que nous,
nous irnposons continue est donc multiforme de détermination.
en un point
Le champ d’un feuillet de puissance I dérire du potentiel
-I Q.
L’induction d’un feuillet et le champ d’un courant, du potentiel -1 ~’.
Note 2.
-La méthode employée pour obtenir la relation (3) est très rapide mais ce
n’est pas la plus naturelle. Montrons qu’en partant du potentiel-vecteur, on arrive au même
résultat. Nous utiliserons la notation :
59
qui s’introduit tout naturellement pour exprimer l’accroissement d’un vecteur v, après un
-+
déplacement ds du point où il est attaché
On remarquera que
d’où l’oo tire en désignait par C, une courbe fermée :
relation qui nous servira plus loin.
Partons maintenant de l’expression
Dérivons en suivant les trajectoires et notons ces dérivations par des d droits suivant la con- vention de l’hydrodynamique
Fig. 1.
Nous voyons sur la figure que
donc
et en vertu de (8)
Comme
le ô à1 désignant b la dérivation en un point fixe, la relation 9 devient l
L’expression entre crochets n’est autre que
Donc
.
