1 - - Prelude Prelude - -
Rappels d’éléments de statistiques Rappels d’éléments de statistiques
n
n
Variables aléatoires Variables aléatoires
nn
Moyenne, variance, corrélsation, etc. Moyenne, variance, corrélsation, etc.
nn
Lois classiques de distribution Lois classiques de distribution
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Variables aléatoires, densité, distribution Variables aléatoires, densité, distribution
n
n
Soit une variable aléatoire (v.a) X, Soit une variable aléatoire (v.a) X,
–– X est discrète si elle prend un nombre de valeurs fini ou dénombrableX est discrète si elle prend un nombre de valeurs fini ou dénombrable –– X est continue si elle prend ses valeurs sur un intervalle I de IRX est continue si elle prend ses valeurs sur un intervalle I de IR nn
La densité f d’une v.a. X est définie par : La densité f d’une v.a. X est définie par :
–– f(x) = P (X = x)f(x) = P (X = x)
Ex: dé non truqué : f(1) = P(X=1) =1/6 ; f(2) = P(X=2) =1/6 … Ex: dé non truqué : f(1) = P(X=1) =1/6 ; f(2) = P(X=2) =1/6 … n
n
La loi de distribution d’une v.a. X est telle que : La loi de distribution d’une v.a. X est telle que :
–– F(x) = P(X F(x) = P(X ≤≤x) [fréx) [fréquence cumulquence cumuléée]e]–
– P(aP(a≤≤X < b) = F(a) X < b) = F(a) ––F(b)F(b) nn
Cas discret : F(x) = Cas discret : F(x) = Σ
Σp(a p(a
ii ≤≤x) x)
n
n
Cas continu : F(x) = Cas continu : F(x) =
∫∞
− xf(x)dx
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Espérance, variance…
Espérance, variance…
n
n
Moyenne ou espérance mathématique de la v.a. X Moyenne ou espérance mathématique de la v.a. X
–– Cas discret : E(X) = Cas discret : E(X) =
n est le nombre de valeurs prises par la v.a.
n est le nombre de valeurs prises par la v.a.
ai est la valeur prise par X et pi proba de prendre la valeur ai ai est la valeur prise par X et pi proba de prendre la valeur ai –– Cas continu : E(x) = Cas continu : E(x) =
nn
Variance et écart Variance et écart- -type de la v.a. X type de la v.a. X
–– Variance d’une v.a. X estVariance d’une v.a. X est –
– Écart-Écart-type d’une v.a. X est type d’une v.a. X est σσ(X) [moyenne des (X) [moyenne des éécarts carts ààla moyenne]la moyenne]
n
n
Le coefficient de variation d’une v.a. X : Le coefficient de variation d’une v.a. X :
C(X) =C(X) = σσ(X) / E(X)(X) / E(X)
∑=n
i i ip
1a
+∞∫
∞
−xf(x)dx
) ( ) ( )
(
2 22X=E X −E X
σ
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Quelques lois classiques discrètes Quelques lois classiques discrètes
n
n
Loi de Bernoulli : une v.a. prend 2 valeurs possibles: Loi de Bernoulli : une v.a. prend 2 valeurs possibles:
–– 0 avec une proba p0 avec une proba p –– 1 avec une proba q = 1-1 avec une proba q = 1-pp
–– On note X~B(1,p) ; E(X) = p ; On note X~B(1,p) ; E(X) = p ; σσ22(X) = pq(X) = pq
nn
Loi binômiale : somme de n lois de Bernoulli (ex: suite de jetée Loi binômiale : somme de n lois de Bernoulli (ex: suite de jetées de s de pièces)
pièces)
–– P(X = k) = CP(X = k) = Ckknnppk k qqnn--kk
–– CCkknn= n! / [k! (n= n! / [k! (n--k)!] : nbre de combinaisons de k elts parmi nk)!] : nbre de combinaisons de k elts parmi n –– On note X~B(n,p) ; E(X) = np ; On note X~B(n,p) ; E(X) = np ; σσ22(X) = npq(X) = npq
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Quelques lois classiques discrètes Quelques lois classiques discrètes
n
n
Loi g Loi gé éom omé étrique : suite de tirage jusqu trique : suite de tirage jusqu’à ’à ré r éussite ussite
–– P(X = k) = pP(X = k) = pqqk-k-11
–– On note X~GEOM(p) ; E(X) = 1/ p ; On note X~GEOM(p) ; E(X) = 1/ p ; σσ22(X) = 1/ p(X) = 1/ p22 n
n
Loi de Poisson : approximation de la loi binômiale pour un grand Loi de Poisson : approximation de la loi binômiale pour un grand nbre nbre de tirages
de tirages
–– P(X = k) = [P(X = k) = [λλkk/k!] e/k!] e--λλ
–– On note X~POISSONOn note X~POISSON((λλ) ; E(X) = ) ; E(X) = λλ; ; σσ22(X) = (X) = λλ
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Quelques lois classiques continues Quelques lois classiques continues
n
n
Loi exponentielle Loi exponentielle
–– Distribution : F(x) = P(X Distribution : F(x) = P(X ≤≤x) = 1x) = 1--ee--λλxx 0 0 ≤≤xx –
– DensitéDensité: f(x) = P (X = x) = : f(x) = P (X = x) = λλee--λxλx si 0 si 0 ≤≤xx
= 0
= 0 si x < 0si x < 0 –
– On note X~EXPOn note X~EXP((λλ) ; E(X) = 1/) ; E(X) = 1/λλ; ; σσ22(X) = 1/(X) = 1/λλ22
–– PropriéPropriéttéé‘sans m‘sans méémoiremoire’’: : ce nce n’’est pas par ce que un est pas par ce que un éévvéénement ne snement ne s’’est est pas produit depuis longtemps qu
pas produit depuis longtemps qu’’il a plus de chance de surveniril a plus de chance de survenir.. n
n
Loi normale (Gaussienne) Loi normale (Gaussienne)
–– DensitéDensité: f(x) = P (X = x) =: f(x) = P (X = x) = –
– On note X~NORMALOn note X~NORMAL((µµ,,σσ22) ; E(X) = ) ; E(X) = µµ; ; σσ22(X) = (X) = σσ22
e
x µ σ
σ
2) (
2 2
2 1
− −Π
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Prelude Rappels des éléments de statistiques
Quelques lois classiques continues Quelques lois classiques continues
n
n
Loi uniforme Loi uniforme
–– DensitéDensité: f(x) = [1/ (b: f(x) = [1/ (b--a)] Ia)] I[a,b][a,b](x)(x) –– F(x) = (x-F(x) = (x-a) / (xa) / (x--b)b) si x si x ∈[a,b]∈[a,b]
–– = 0 = 0 si x < asi x < a
= 1= 1 sinonsinon
–– On note X~UNIFOn note X~UNIF(a,b) ; E(X) = (a+b)/2 ; (a,b) ; E(X) = (a+b)/2 ; σσ22(X) = (b-(X) = (b-a)a)22/12/12 n
n
Loi triangulaire Loi triangulaire
–– On note X~TRIAOn note X~TRIA(a,m,b) ; E(X) = (a+m+b)/3 ; (a,m,b) ; E(X) = (a+m+b)/3 ; σσ22(X) = (a(X) = (a22+b+b22+m+m22–ma–ma-- mb
mb--ab)/18ab)/18 nn
Loi gamma Loi gamma
n
n
