PCSI 2 Induction
2021 – 2022 1/3
INDUCTION
I Chute d’une tige
Une tige (T) rectiligne, de longueur a, de masse m et de résistance R effectue un mouvement de translation le long de la verticale descendante 𝑒⃗! en restant parallèle à une direction horizontale 𝑒⃗"
tout en fermant un circuit rectangulaire (C) situé dans le plan vertical #𝑒⃗", 𝑒⃗#% qui comporte une bobine d’inductance L. On confond la résistance totale de (C) avec R et son inductance propre avec L. (C) est orienté positivement par le vecteur horizontal 𝑒⃗!= 𝑒⃗"∧ 𝑒⃗#.
L’ensemble du dispositif est plongé dans un champ magnétique uniforme et permanent 𝐵)⃗ = 𝐵𝑒⃗!. (T) est abandonnée à t = 0 avec une vitesse 𝑣 = 𝑦̇ = 0. Son glissement sur (C) s’effectue sans frottement.
1) En notant k l’intensité du courant qui circule dans (C) à l’instant t, déduire des lois de l’électrocinétique une équation différentielle (E) reliant k et 𝑘̇ à v.
2) Déduire des lois de la mécanique une équation différentielle (M) reliant 𝑣̇ à k.
3) En combinant convenablement (E) et (M), faire apparaître une équation (P) dont les termes ont les dimensions de puissances. On écrira le premier membre de (P) comme la dérivée d’une somme d’énergies que l’on identifiera et l’on commentera la signification physique de (P).
4) Écrire une équation différentielle (K) relative à la seule fonction k(t).
5) Dans le cas d’une résistance « assez grande » (préciser), décrire qualitativement l’évolution des fonctions k(t) et v(t). Mettre en évidence un couple de valeurs particulières (ko, vo) dont on expliquera la signification physique et que l’on exprimera en fonction des données.
6) Dans l’hypothèse inverse d’une résistance R négligeable, calculer explicitement les fonctions k(t), v(t) et y(t). Analyser la situation obtenue d’un point de vue énergétique.
Réponse : 𝑅𝑘 = −𝐵𝑎𝑣 − 𝐿𝑘̇ ; 𝑚𝑣̇ = 𝑚𝑔 + 𝐵𝑎𝑘 ; $%$7&'𝑚𝑣é+&'𝐿𝑘'− 𝑚𝑔𝑦8 = −𝑅𝑘' ; 𝐿𝑘̈ + 𝑅𝑘̇ +)!+*!𝑘 = −𝐵𝑎𝑔 ; 𝑘,= −+-*. et 𝑣,=*+-/!)! pour 𝑅 > 2𝑎𝐵<+0 ; 𝑘 = 𝑘,(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡), 𝑣 =-1𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, 𝑦 =1-!(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) avec 𝜔 = *)
√0+.
II Couplage par inductance mutuelle
Un circuit (1) comprend un enroulement dépourvu de résistance, de coefficient d’induction propre L, et un condensateur de capacité C placé en série ; il est alimenté par un générateur de f.e.m. sinusoïdale de pulsation w.
Ce circuit est couplé par inductance mutuelle (coefficient M) avec un circuit identique (2).
Calculer l’impédance ainsi placée aux bornes du générateur et étudier sa variation avec w. Comparer au circuit (L, C) série.
Réponse : 𝑍 = H3014
"
#$5!46!1!
014#$" H donne deux résonances et une antirésonance, au lieu d’une résonance pour 𝑍 = I𝐿𝜔 −71&I.
III Spire dans un champ magnétique uniforme On considère une spire de résistance R qui peut tourner sans frottement autour d’un axe vertical.
On la soumet à un champ magnétique uniforme 𝐵)⃗(𝑡).
A t = 0, la spire a une orientation quelconque.
Quelle est l’orientation de la spire à l’équilibre ?
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Réponse : qf tel que 𝜃8− 𝜃,−9:;'<' %= 0 ou q est l’angle entre le champ magnétique et la normale à la spire, avec q (0) = q0.
IV Déplacement d’un cadre conducteur
On suppose que le champ magnétique 𝐵)⃗ est uniforme et constant entre les plans x = 0 et x = d, et nul ailleurs.
Un cadre conducteur carré de côté a (a < d), de résistance totale R et de côtés parallèles aux axes Ox et Oy, circule avec une vitesse 𝑣⃗ = 𝑣𝑒⃗". On désigne par X(t) l’abscisse du côté avant du cadre.
Déterminer en fonction de X le courant i et la force électromagnétique 𝐹⃗ résultante qui s’exerce sur le cadre :
1) en utilisant la loi de Faraday ; 2) par un bilan énergétique.
Réponse : pour X < 0, a < X < d et X > a + d : 𝐹⃗ = 0)⃗ ; pour 0 < X < a et d < X < a + d : 𝐹⃗ = −*!/)!𝑣⃗.
V Régime transitoire dans deux circuits couplés
Soient les deux circuits couplés de la figure ci-contre avec E constant et M > 0.
1) Écrire les deux équations différentielles couplées vérifiées par i1(t) et i2(t) lorsque l’interrupteur est fermé.
2) En déduire les deux équations différentielles découplées par un changement de variables simple.
3) L’interrupteur est fermé à l’instant t = 0.
a) Déterminer i1(t) et i2(t) dans le cas où M < L.
b) Reprendre ce dernier calcul dans le cas limite du couplage parfait où M = L.
Réponse : 𝐸 = 𝑅𝐼 + (𝐿 + 𝑀)$=$% et 𝐸 = 𝑅𝐽 + (𝐿 − 𝑀)$>$% en posant 𝐼 = 𝑖&+ 𝑖' et 𝐽 = 𝑖&− 𝑖'; 𝑖&='/?#2 − 𝑒4%/A"− 𝑒4%/A!%
et 𝑖'='/?#𝑒4%/A!− 𝑒4%/A"% en posant 𝜏&=0B6/ et 𝜏'=046/ si M < L; 𝑖&='/?#2 − 𝑒4%/A% et 𝑖&='/?𝑒4%/A en posant 𝜏'='0/ si M = L.
VI Étude expérimentale du couplage de deux circuits
On considère deux bobines identiques, d’inductance L, de résistance R, que l’on place de façon que les deux bobinages soient coaxiaux, avec le même sens d’enroulement ; la distance entre les deux bobines est d.
On mesure le couplage entre les deux bobines en envoyant dans l’une d’elles une tension triangulaire et en comparant à l’oscilloscope cette tension avec la tension induite dans l’autre, celle-ci étant en circuit ouvert.
On a branché en série entre le générateur de fonction et la première bobine une résistance R’ = 100 W. On négligera la résistance R des bobines.
1) Faire le schéma du montage.
2) Les traces observées à l’oscilloscope ont l’allure ci-contre.
En faisant varier la distance d entre les bobines, on observe pour l’amplitude crête à crête A du signal induit, mesurée en division de l’écran, les valeurs suivantes :
Calibre 0,01 V/div 5 mV/div 2 mV/div 1 mV/div
d (cm) 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 10 12 16 20
A 4,3 3,3 2,6 4,3 3,4 2,3 4,0 2,1 2,4
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Écrire les équations électriques du circuit.
En remarquant que la tension aux bornes de la deuxième bobine est constante sur chaque demi-période du signal d’entrée, montrer que, si T est la période du signal d’entrée et De son amplitude crête à crête, l’inductance mutuelle M entre les deux bobines et l’amplitude crête à crête A du signal induit sont reliées par l’équation : 𝐴 =C6∆E/FG.
Calculer alors, en mH, l’inductance mutuelle M entre les deux bobines pour chaque valeur de d.
VII Moteur électrique
Dans un moteur électrique, les fils actifs sont placés suivant les génératrices d’un cylindre – le rotor – de rayon r = 9,00 cm. Chaque fil de longueur L = 15,0 cm est parcouru par un courant d’intensité I = 10,0 A. Les fils sont placés dans un champ magnétique radial d’intensité B = 1,20 T, c’est-à-dire que le champ 𝐵)⃗ est toujours orthogonal aux fils.
1) Calculer la force qui agit sur chaque fil.
2) Quel est le travail W de cette force, toujours motrice, lorsque le cylindre a fait un tour ?
3) Sachant que les actions sur chaque fil ajoutent leurs effets et que le rotor comprend N = 700 fils, calculer la puissance P de ce moteur qui tourne à 180.101 tr.min-1.
Réponse : F = 1,80 N ; W = 1,02 J ; P = 21,4 kW.
VIII Rails de Laplace
On déplace d’un mouvement rectiligne uniforme un barreau conducteur de longueur L = 50 cm à la vitesse v = 2,0 m.s-1, perpendiculairement aux lignes de champ d’un champ magnétique uniforme d’intensité B = 0,4 T.
1) Quelle est la tension qui apparaît aux extrémités du barreau ? Préciser son signe.
2) Le barreau glisse sur deux rails conducteurs de résistances négligeables et reliés entre eux par un conducteur ohmique de résistance R = 4,0 W (figure ci-contre). Si on néglige la
résistance du barreau, quelle est la valeur de l’intensité du courant induit ? Quel est le sens du courant ? 3) Quelle force doit-on appliquer au barreau pour maintenir sa vitesse constante ?
4) Quelle puissance mécanique doit-on ainsi fournir ?
5) Quelle est la puissance électrique développée par ce générateur rudimentaire ?
Réponse : 0,4 V ; 0,1 A ; 20 mN ; 40 mW.
IX Alternateur rudimentaire
Une bobine plate de N = 200 spires, d’aire S = 20 cm2, tourne avec une vitesse angulaire constante w = 10 rad.s-1 entre les pôles d’un aimant en « U » qui produit un champ B = 0,2 T supposé uniforme et normal à l’axe de rotation.
La bobine dont les bornes sont reliées possède une résistance R = 1 W. Le champ qu’elle crée est négligeable devant celui de l’aimant.
1) Calculer la f.e.m. e d’induction induite par le mouvement de la bobine.
2) Déterminer le moment G par rapport à l’ace qu’il faut exercer pour entretenir la rotation (on pourra proposer plusieurs méthodes).
Réponse : 𝑒 = 𝑁𝐵𝑆𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑); Γ =(I)J)/ !𝜔𝑠𝑖𝑛'(𝜔𝑡 + 𝜑).
