Conjugaison dans S n et dans GL n ( R ).

Conjugaison dans S _n et dans GL _n ( R ).

Soitσ ∈S_n.

On appelle matrice de permutation associée àσ, la matrice P(σ) = (a_i,j)∈GL_n(R) définie par ai,j =δ_i,σ(j).

Définition A:Matrice de permutation

On montre très facilement que l’application

ϕ: S_n → GL_n(R) σ 7→ P(σ)

est un isomorphisme et que

P(σ)⁻¹=^tP(σ) =P(σ⁻¹).

Remarque I

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

Soientσ, τ ∈S_n.

σ et τ sont conjuguées dans S_n si, et seulement si, P(σ) et P(τ) sont conjuguées dans GLn(R), c’est-à-dire semblables surR.

Théorème 1

Pour démontrer le Théorème 1, nous aurons besoin des deux lemmes classiques qui suivent.

Soientσ, τ ∈S_n.

σ et τ sont conjuguées dans S_n si, et seulement si, les longueurs des cycles intervenant dans la décomposition en produit de cycles à supports disjoints deux à deux pourσ etτ sont égales.

Lemme 2

Soient E un ensemble muni d’un ordre noté 4 et f, g : E → Z deux applications à support fini et vérifiant la propriété suivante :

∀x∈E, X

y4x

f(y) =X

y4x

g(y).

Alorsf =g.

Lemme 3

Démonstration. Démontrons le Lemme 2.

Il suffit d’établir le résultat lorsqueσ etτ sont des cycles.

” ⇒ ” : Trivial puisque

ϕ◦ a1 a2 · · · ap

◦ϕ⁻¹ = ϕ(a1) ϕ(a2) · · · ϕ(ap) . 1

” ⇐ ” : Etant donné deux cycles σ = a₁ a₂ · · · a_k

etτ = b₁ b₂ · · · b_k

de longueur k, toute permutation ϕtelle queϕ(bi) =ai vérifie τ =ϕ⁻¹◦σ◦ϕ.

Démonstration. Démontrons le Lemme 3.

Commef etg sont à support fini, l’ensembleF ⊂E des points oùf etg diffèrent est fini. S’il n’était pas vide, étant fini, l’ensemble F possèderait un élément minimal x (c’est-à-dire un élément tel qu’il n’en existe pas de plus petit). Mais la condition d’égalité des deux sommes conduirait alors à une contradiction.

Démonstration. Démontrons le Théorème 1.

” ⇒ ”: Trivial puisqu’il existe ϕ∈S_n tel que σ=ϕ◦τ◦ϕ⁻¹ et donc P(σ) =P(ϕ)P(τ)P(ϕ)⁻¹ et les matrices P(σ) etP(τ) sont semblables surR.

” ⇐ ” :

On noteck(σ) etck(τ) le nombre de cycles de longueurk dans la décomposition deσ et de τ. Comme P(σ) et P(τ)P sont semblables alors elles ont même polynôme caractéristique. On peut numéroter les éléments de la base de sorte que la matrice P(σ) soit le tableau diagonal des matrices des cycles à supports disjoints de la décomposition deσ. Or le polynôme caractéristique d’un tel cycle de longueurkestX^k−1(il s’agit du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon). L’hypothèse se traduit donc par l’égalité suivante entre polynômes à coefficients dans R:

n

Y

k=1

(X^k−1)^ck(σ)=

n

Y

k=1

(X^k−1)^ck(τ).

Soitm∈N^?. Considéronsωm =e^2iπm la première racine m-ième de l’unité.

ωm est racine de multiplicité1 deX^k−1si, et seulement si, m divisek (0 sinon).

En raisonnant sur la multiplicité deω_m, on obtient l’égalité X

k/k divisem

c_k(σ) = X

k/kdivise m

c_k(τ).

Le Lemme 3 permet d’affirmer que, pour tout k>1,c_k(σ) =c_k(τ).

Le Lemme 2 permet d’affirmer que σ etτ sont conjuguées.

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