XSiEne contient aucun élément,Eestl’ensemble vide

1BCPST3 TD5 - Notion d’ensemble Lycée Thiers

I : COURS

Définition 1:

SoitEun ensemble.

XOn dit quexest unélémentdeEsixappartient àE. On notex∈E(négation :x∈/E).

XSiEne contient aucun élément,Eestl’ensemble vide. On noteE=∅. XSiEne contient qu’un unique élément,Eest unsingleton.

XSi Aest un ensemble, on dit queAestinclus dansE si tout élément deAest un élément deE. On noteA⊂E ou A⊆E. SiAest strictement inclus dansEon écriraA(E. On dit queAest unepartiedeE(ou unsous-ensembledeE) siAest inclus dansE. L’ensemble des parties deEse noteP(E). SiA⊂Eon a doncA∈P(E).

XOn dit que deux ensemblesEetF sontégaux(et on écritE=F) siE⊂FetF⊂E.

Remarque 1:

X Dans les cas simples, on montrera queE=Fen montrant que :x∈E⇔x∈F

Si cette première approche ne semble pas aboutir, on raisonnera par « double inclusion ».

X On définit souvent un ensemble d’une des deux manières suivantes :

F={x∈E|P(x)} ; F={y(x); x∈E}

La première expression se lit «Fest l’ensemble desx∈E tels que la conditionP(x)soit vérifiée ». La seconde se lit «Fest l’ensemble des élémentsy(x)tel quexvarie dansE».

X Le symbole «|» peut parfois être remplacé par « tq » , par « : » ou même par « ; » s’il n’y a pas d’ambiguité de compréhension.

X Si un ensemble est défini de manière expliciteE={x₁,x2,x₃, . . . ,xn}l’ordre des éléments n’a aucune importance et la répétition est inutile.

Exemple 1:

On poseE={a,b,c}. Déterminer toutes les parties deE, puis indiquer les écritures correctes parmi les suivantes : a∈E ; a⊂E ; {b,c} ∈E ; {b,c} ⊂E ; {a,b} ∈P(E)

Définition 2:

SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(A_k)_1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.

XLaréunion(ouunion) des ensemblesA_kest définie par :

n [

k=1

A_k={x∈E| ∃k∈J1,nK, x∈A_k} XL’intersectiondes ensemblesA_kest définie par :

n

\

k=1

A_k={x∈E| ∀k∈J1,nK, x∈A_k}

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Exemple 2:

Pourkentier supérieur ou égal à 2, on poseA_k=

0,1−1 k

. Montrer queA_k⊂A_k+1pour toutk≥2, puis déterminer

+∞

[

k=2

A_ket

+∞

\

k=2

A_k.

Définition 3:

SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(A_k)1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.

XLeproduit cartésiendes ensemblesA_kest définie par :

A1× · · · ×An={(x₁, . . . ,xn); ∀k∈J1,nK,x_k∈A_k} En particulier,E²=E×EetEⁿ=E× · · · ×E

| {z }

nfois

.

Un élément deEⁿest appelé unen-listed’éléments deE(oun-upletd’éléments deE).

Un 2-uplet est uncoupleet un 3-uplet est untriplet.

Exemple 3:

On reprendE={a,b,c}. Peut-on écrire :(a,b)∈E?(a,b)∈E×E?(a,b)⊂E×E? On poseF={1,2}. Écrire les éléments deE×Fet deF².

Propriété 1:

SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(A_k)_1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.

(1)(Lois de De Morgan)

n [

k=1

A_k=

n

\

k=1

A_k et

n

\

k=1

A_k=

n [

k=1

A_k

(2)(Distributivité) SoitBun sous-ensemble deE.

B∩

n [

k=1

A_k

!

=

n [

k=1

(A_k∩B) et B∪

n

\

k=1

A_k

!

=

n

\

k=1

(A_k∪B)

Exemple 4:

Soit(a,b,c,d)∈R⁴des réels deux à deux distincts. On noteA={a,b,c}B={a,d}C={c,d}.

DéterminerA∪(B∩C),(A∪B)∩(A∪C),(A∪B)∩Cet(A∩C)∪(B∩C).

Faire de même pourA= [−1,1],B=]1,4]etC= [−2,2].

Remarque 2:

X Dans un n-uplet, l’ordre est essentiel : (x₁,x₂)6= (x₂,x₁). On ne doit pas donc par confondre parenthèses et accolades.

X On retient en particulier le casn=2 des propriétés précédentes :

A∩B=A∪B; A∪B=A∩B;A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) X On remarquera également queA∪B=B∪AetA∩B=B∩A.

X Par convention, si l’ensemble des indices est vide on conviendra que l’intersection est égale àE et que l’union est vide.

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II : EXERCICES

Exercice 1: notations

Le planPest muni d’un repère orthonormé et on noteM(x,y)le point du plan de coordonnées(x,y).

Écrire sous forme d’ensemble :

1. E1est l’ensemble des réels dont le carré est strictement inférieur à lui même.

2. E2est l’ensemble des fonctions dérivablesF:R^∗₊→Rdont la dérivée est égale à lnx.

3. E3est l’ensemble des couples(x,y)de réels tels quex+2y=1.

4. E4est l’ensemble des couples(x,y)de réels tels queM(x,y)soit dans le disque ouvert de centre(0,0)et de rayon 1 et d’abscisse négative.

5. E5est l’ensemble des pointsM(x,y)qui sont à la fois sur le cercle unité et sur la première bissectrice.

6. E6est l’ensemble des éléments deR³qui s’écrivent sous la forme(2x+y,y,x).

7. E7est l’ensemble des éléments deR³qui s’écrivent sous la forme(2x,−x,0).

Exercice 2: utile en probabilités

On lancenfois de suite un dé à 6 faces. On considère les événements

A: « obtenir le chiffre 4 au moins une fois lors desnlancers »,B: « obtenir au moins deux fois le chiffre 4 lors desn lancers » etQ_i: « obtenir le chiffre 4 aui-ième lancer » pour tout 1≤i≤n.

1. Donner une relation d’inclusion entreAetBet en déduire une expression plus simple deA∩Bet deA∪B.

2. Décrire à l’aide des événementsQ_iouQ_iles événementsAetA.

Exercice 3: suites d’ensembles

On considère une suite(A_i)i≥1d’ensembles. Pour toutn∈N^∗on poseI_n=

n

\

i=1

A_ietU_n=

n [

i=1

A_i. 1. Montrer que(I_n)est décroissante pour l’inclusion (c’est à direI_n+1⊂I_npour toutn>1).

2. Que dire de(U_n)? Prouver cette conjecture.

Exercice 4: inclusion et conséquences SoitEun ensemble etA,Bdeux parties deE.

1. DéterminerX= (A∩B)∪(A∩B)etY = (A∪B)∩(A∪B).

2. Montrer que :A⊂B⇔B⊂A

3. Montrer que :(A∪B=A∩B)⇔A=B)

4. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i)A⊂B (ii)A∩B=A (iii)A∪B=B

Exercice 5: différence symétrique

SoitEun ensemble. SiAetBsont deux parties deEon définit la différence symétrique deAetBcomme étant l’ensemble A∆B= (A\B)∪(B\A)

1. ReprésenterA∆Bsur une figure et déterminerA∆A.

2. Montrer que∆est commutative.

3. Montrer qu’il existe une unique partieNdeEtelle que :∀A∈P(E),A∆N=A 4. Montrer queA∆B= (A∪B)\(A∩B).

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