1BCPST3 TD5 - Notion d’ensemble Lycée Thiers
I : COURS
Définition 1:
SoitEun ensemble.
XOn dit quexest unélémentdeEsixappartient àE. On notex∈E(négation :x∈/E).
XSiEne contient aucun élément,Eestl’ensemble vide. On noteE=∅. XSiEne contient qu’un unique élément,Eest unsingleton.
XSi Aest un ensemble, on dit queAestinclus dansE si tout élément deAest un élément deE. On noteA⊂E ou A⊆E. SiAest strictement inclus dansEon écriraA(E. On dit queAest unepartiedeE(ou unsous-ensembledeE) siAest inclus dansE. L’ensemble des parties deEse noteP(E). SiA⊂Eon a doncA∈P(E).
XOn dit que deux ensemblesEetF sontégaux(et on écritE=F) siE⊂FetF⊂E.
Remarque 1:
X Dans les cas simples, on montrera queE=Fen montrant que :x∈E⇔x∈F
Si cette première approche ne semble pas aboutir, on raisonnera par « double inclusion ».
X On définit souvent un ensemble d’une des deux manières suivantes :
F={x∈E|P(x)} ; F={y(x); x∈E}
La première expression se lit «Fest l’ensemble desx∈E tels que la conditionP(x)soit vérifiée ». La seconde se lit «Fest l’ensemble des élémentsy(x)tel quexvarie dansE».
X Le symbole «|» peut parfois être remplacé par « tq » , par « : » ou même par « ; » s’il n’y a pas d’ambiguité de compréhension.
X Si un ensemble est défini de manière expliciteE={x1,x2,x3, . . . ,xn}l’ordre des éléments n’a aucune importance et la répétition est inutile.
Exemple 1:
On poseE={a,b,c}. Déterminer toutes les parties deE, puis indiquer les écritures correctes parmi les suivantes : a∈E ; a⊂E ; {b,c} ∈E ; {b,c} ⊂E ; {a,b} ∈P(E)
Définition 2:
SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(Ak)1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.
XLaréunion(ouunion) des ensemblesAkest définie par :
n [
k=1
Ak={x∈E| ∃k∈J1,nK, x∈Ak} XL’intersectiondes ensemblesAkest définie par :
n
\
k=1
Ak={x∈E| ∀k∈J1,nK, x∈Ak}
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Exemple 2:
Pourkentier supérieur ou égal à 2, on poseAk=
0,1−1 k
. Montrer queAk⊂Ak+1pour toutk≥2, puis déterminer
+∞
[
k=2
Aket
+∞
\
k=2
Ak.
Définition 3:
SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(Ak)1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.
XLeproduit cartésiendes ensemblesAkest définie par :
A1× · · · ×An={(x1, . . . ,xn); ∀k∈J1,nK,xk∈Ak} En particulier,E2=E×EetEn=E× · · · ×E
| {z }
nfois
.
Un élément deEnest appelé unen-listed’éléments deE(oun-upletd’éléments deE).
Un 2-uplet est uncoupleet un 3-uplet est untriplet.
Exemple 3:
On reprendE={a,b,c}. Peut-on écrire :(a,b)∈E?(a,b)∈E×E?(a,b)⊂E×E? On poseF={1,2}. Écrire les éléments deE×Fet deF2.
Propriété 1:
SoitEun ensemble,nun entier naturel non nul et(Ak)1≤k≤nune famille finie de sous-ensembles deE.
(1)(Lois de De Morgan)
n [
k=1
Ak=
n
\
k=1
Ak et
n
\
k=1
Ak=
n [
k=1
Ak
(2)(Distributivité) SoitBun sous-ensemble deE.
B∩
n [
k=1
Ak
!
=
n [
k=1
(Ak∩B) et B∪
n
\
k=1
Ak
!
=
n
\
k=1
(Ak∪B)
Exemple 4:
Soit(a,b,c,d)∈R4des réels deux à deux distincts. On noteA={a,b,c}B={a,d}C={c,d}.
DéterminerA∪(B∩C),(A∪B)∩(A∪C),(A∪B)∩Cet(A∩C)∪(B∩C).
Faire de même pourA= [−1,1],B=]1,4]etC= [−2,2].
Remarque 2:
X Dans un n-uplet, l’ordre est essentiel : (x1,x2)6= (x2,x1). On ne doit pas donc par confondre parenthèses et accolades.
X On retient en particulier le casn=2 des propriétés précédentes :
A∩B=A∪B; A∪B=A∩B;A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) X On remarquera également queA∪B=B∪AetA∩B=B∩A.
X Par convention, si l’ensemble des indices est vide on conviendra que l’intersection est égale àE et que l’union est vide.
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II : EXERCICES
Exercice 1: notations
Le planPest muni d’un repère orthonormé et on noteM(x,y)le point du plan de coordonnées(x,y).
Écrire sous forme d’ensemble :
1. E1est l’ensemble des réels dont le carré est strictement inférieur à lui même.
2. E2est l’ensemble des fonctions dérivablesF:R∗+→Rdont la dérivée est égale à lnx.
3. E3est l’ensemble des couples(x,y)de réels tels quex+2y=1.
4. E4est l’ensemble des couples(x,y)de réels tels queM(x,y)soit dans le disque ouvert de centre(0,0)et de rayon 1 et d’abscisse négative.
5. E5est l’ensemble des pointsM(x,y)qui sont à la fois sur le cercle unité et sur la première bissectrice.
6. E6est l’ensemble des éléments deR3qui s’écrivent sous la forme(2x+y,y,x).
7. E7est l’ensemble des éléments deR3qui s’écrivent sous la forme(2x,−x,0).
Exercice 2: utile en probabilités
On lancenfois de suite un dé à 6 faces. On considère les événements
A: « obtenir le chiffre 4 au moins une fois lors desnlancers »,B: « obtenir au moins deux fois le chiffre 4 lors desn lancers » etQi: « obtenir le chiffre 4 aui-ième lancer » pour tout 1≤i≤n.
1. Donner une relation d’inclusion entreAetBet en déduire une expression plus simple deA∩Bet deA∪B.
2. Décrire à l’aide des événementsQiouQiles événementsAetA.
Exercice 3: suites d’ensembles
On considère une suite(Ai)i≥1d’ensembles. Pour toutn∈N∗on poseIn=
n
\
i=1
AietUn=
n [
i=1
Ai. 1. Montrer que(In)est décroissante pour l’inclusion (c’est à direIn+1⊂Inpour toutn>1).
2. Que dire de(Un)? Prouver cette conjecture.
Exercice 4: inclusion et conséquences SoitEun ensemble etA,Bdeux parties deE.
1. DéterminerX= (A∩B)∪(A∩B)etY = (A∪B)∩(A∪B).
2. Montrer que :A⊂B⇔B⊂A
3. Montrer que :(A∪B=A∩B)⇔A=B)
4. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
(i)A⊂B (ii)A∩B=A (iii)A∪B=B
Exercice 5: différence symétrique
SoitEun ensemble. SiAetBsont deux parties deEon définit la différence symétrique deAetBcomme étant l’ensemble A∆B= (A\B)∪(B\A)
1. ReprésenterA∆Bsur une figure et déterminerA∆A.
2. Montrer que∆est commutative.
3. Montrer qu’il existe une unique partieNdeEtelle que :∀A∈P(E),A∆N=A 4. Montrer queA∆B= (A∪B)\(A∩B).
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