c) En déduire qu’il existe dans F×p2 un élément d’ordre8

UNIVERSITÉ de BORDEAUX ANNÉE UNIVERSITAIRE 2015/2016

Session 1 d’Automne

Master Sciences et Technologies, Mention Mathématiques ou Informatique Spécialité Cryptologie et Sécurité Informatique

UE M1MA7W01 : Arithmétique Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 15/12/2015. Durée : 3h.

Exercice 1 – Soitpun nombre premier.

1)On se propose d’abord de démontrer que X⁴+ 1n’est pas irréductible dans Fp[X].

a) Examiner le casp= 2.

On suppose désormais que p >2.

b) Montrer que8|p²−1.

c) En déduire qu’il existe dans F^×_p2 un élément d’ordre8.

d) Établir que dansFp²[X], le polynômeX⁸−1 est scindé à racines simples.

e) En déduire que X⁴+ 1a toutes ses racines dans Fp² et conclure.

2)Cherchons à préciser les choses. En s’inspirant de ce qui précède, montrer que sip= 2 ou p≡1 mod 8, dansFp[X]le polynôme X⁴+ 1est scindé (à racines simples si p6= 2), et que sinon, il est produit de deux irréductibles de degré 2 de Fp[X].

3)FactoriserX⁴+ 1dansF3[X]et dansF17[X].

Soit maintenant p un premier impair et soit P(X) un diviseur irréductible de X⁴+ 1 dans Fp[X]. Soit dson degré. On note K le corps Fp[X]/(P(X))etα la classe deX dansK.

4)Quelle est la caractéristique de K? Quel est son cardinal ? 5)Montrer que α∈K^× et que (α+α⁻¹)² = 2.

6)Montrer que 2est un carré dans Fp, i.e. il existe x∈Fp tel que2 = x², si et seulement si α+α⁻¹ ∈Fp.

7)Montrer que α³+α⁻³6=α+α⁻¹.

8)En déduire que 2est un carré dans Fp si et seulement sip≡ ±1 mod 8.

Exercice 2 –

1)SoitP(X)∈F5[X]défini par P(X) =X³+X²+ 2X+ 2. FactoriserP(X)dansF5[X]et en déduire que l’anneauA=F5[X]/(P(X))n’est pas un corps.

2)À l’aide du théorème chinois, déterminer le cardinal deA^×. 3)Le groupe A^× est-il cyclique ?

4) Soit Q(X) ∈ F5[X] défini par Q(X) = X³ + X² + 2. Montrer que l’anneau B = F5[X]/(Q(X))est un corps.

5)Combien y a-t-il de polynômes unitaires irréductibles de degré 3 dansF5[X]?

6)Combien y a-t-il de polynômes unitaires irréductibles primitifs de degré 3 dans F5[X]? 7)Le polynôme Q(X) est-il primitif ?Indication : siα est la classe deX dansB, on pourra calculer α⁴ puisα⁶² en se servant de l’automorphisme de Frobenius.

8) Soit d un entier naturel divisant |B^×|. Combien y a-t-il dans B^× d’éléments d’ordre d? Exprimer ces éléments en fonction deα.

Exercice 3 –

1) Soit P(X) = X⁶+X⁵+X²+X+ 1 ∈F2[X]. Effectuer les divisions euclidiennes dans F2[X]deP(X) parX²+X+ 1,X³+X+ 1etX³+X²+ 1.

2)En déduire que P(X) est irréductible dansF2[X]. On identifieF64 àF2[X]/(P(X)).

3)Quels sont les sous-corps de F64?

4) Soit α la classe de X dans F64. Montrer que α⁵+α³ +α² appartient à un sous-corps strict K de F64. Exprimer les éléments de K comme polynômes en α de degrés inférieurs strictement à6.

5)Montrer queα³+α² appartient à un sous-corps strictLde F64. Exprimer les éléments de L comme polynômes enα de degrés inférieurs strictement à 6.

6)Soit (si)_i>0∈(F2)^Ndéfinie par s0=s1 =s2=s3 =s4= 0,s5= 1 et par la relation si+6 =si+5+si+2+si+1+si (pour tout i>0).

Expliquer pourquoi(s_i)_i>0 est périodique de périoder663.

7)Calculer les premiers termes de(si)_i>0 et en déduirer.

8)Le polynômeP(X) est-il primitif ?

9)Rappeler pourquoiP(X) divise X⁶³−1 dansF2[X].

10) SoitC le code binaire cyclique de longueur 63 et de polynôme générateur P(X). Quelle est la dimension deC? Quel est son cardinal ?

11)Quels sont les paramètres de C?

12)Calculerα⁸etα¹¹comme polynômes enαde degrés inférieurs strictement à6. En déduire un élément non nul de C de poids minimum.

Exercice 4 –

1)Montrer que dans F8, tout élément distinct de 0et1 est un élément primitif.

2)Expliquer pourquoi dansF8[X]le polynômeX³+X+ 1est scindé à racines simples. Soit α une de ses racines dansF8.

3)On considère dans M_3,7(F8) la matrice

M =





α²+ 1 α²+α+ 1 α²+α+ 1 α² 1 0 0 0 α²+ 1 α²+α+ 1 α²+α+ 1 α² 1 0 0 0 α²+ 1 α²+α+ 1 α²+α+ 1 α² 1



.

Montrer que les lignes de cette matrice sont linéairement indépendantes surF8. 4)Soit C le code linéaire de matrice génératriceM. Quel est le cardinal de C?

5)Montrer que(1,0,0, α²+ 1, α²+α+ 1, α²+α+ 1, α²)∈ C et en déduire queCest cyclique.

6)Quel est le polynôme générateurg(X) deC?

7) Vérifier que g(X) = (X −1)(X −α)(X−α²)(X −α³) et en déduire que l’on a bien g(X)|X⁷−1dansF8[X].

8)Soitc= (c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)un mot non nul deC. Montrer que siP(X) =P6

i=0ciXⁱ ∈ F8[X], on aP(1) =P(α) =P(α²) =P(α³) = 0.

9)En déduire que ω(c)>4.

10)Quelle est la distance minimale deC? Quel est l’ordre de la condition de décodage deC (le nombre d’erreurs que l’on peut corriger) ?

11)Soit C^⊥ le dual deC. Quel est le cardinal de C^⊥?

12)On sait par le cours que C^⊥ est un code cyclique. Quel est son polynôme générateur ? 13)Quelle est la distance minimale de C^⊥?