UNIVERSITÉ de BORDEAUX ANNÉE UNIVERSITAIRE 2016/2017
Session 1 d’Automne
Master Sciences et Technologies, Mention Mathématiques ou Informatique Spécialité Cryptologie et Sécurité Informatique
UE 4TCY703U : Arithmétique Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 14/12/2016. Durée : 3h.
Exercice 1 – Soient P(X) =X3−X2+X+ 1∈F7[X]etA= F7[X]
hP(X)i.
1)Montrer queP(X) est produit de deux irréductibles unitaires de degrés 1 et 2, notés respecti- vement R(X) etS(X). L’anneauA est-il un corps ?
2)Quel est le cardinal de A× le groupe des inversibles deA?
3)Montrer que l’ordre de tout élément de A× divise 48. Le groupe A× est-il cyclique ? 4)Combien y a-t-il de polynômes unitaires irréductibles de degré 2dansF7[X]? 5)Parmi ces polynômes combien sont primitifs ?
6)Montrer que S(X) est primitif.
7)En déduire un élément de A× d’ordre48.
Exercice 2 – Soit p un nombre premier différent de5. Considérons le polynôme P(X) =X4+ X3+X2+X+ 1∈Fp[X].
1) Montrer que 5 | p4 −1 et en déduire qu’il existe dans (Fp4)× un élément d’ordre 5 que l’on notera α.
2)Montrer que les racines deP(X) dansFp4 sont deux à deux distinctes et sontα, α2, α3, α4. 3)Montrer que
• sip≡1 mod 5, alors α∈Fp;
• sip≡ −1 mod 5, alors α∈Fp2\Fp;
• sip≡ ±2 mod 5, alors α∈Fp4\Fp2.
4)Donner suivant les trois cas la forme de la décomposition en produit d’irréductibles de P(X) dansFp[X].
5)FactoriserP(X) dansF11[X]et dansF19[X].
6)On pose β =α+α−1. Montrer que(2β+ 1)2= 5.
7)En déduire que 5est un carré dans Fp si et seulement sip= 2 oup≡ ±1 mod 5.
Exercice 3 – SoitP(X) =X4−X−1∈F3[X].
1)Montrer que P(X) est irréductible primitif. On identifieF81 et F3[X]
hP(X)i et on note α la classe de X dansF81.
2) Dresser la liste des classes cyclotomiques 3-aires modulo 40 et en déduire la forme de la factorisation deX40−1dansF3[X].
3) Montrer que dans F3[X], X40−1 est le produit de X −1, X + 1, de tous les irréductibles unitaires de degré 2 et de8 irréductibles unitaires non primitifs de degré 4.
4)En déduire que X40+ 1 est produit de10 irréductibles unitaires de degré 4, parmi lesquels 2 ne sont pas primitifs. Notons lesR(X) etS(X).
5) Prouver que les racines de R(X) et S(X) dans F81 sont exactement les éléments de (F81)× d’ordre 16 et les exprimer comme puissances de α, en séparant les racines de R(X) et celles de S(X).
6)Montrer qu’il n’y a qu’un sous-corpsK de F81vérifiant F3 (K ( F81. Exprimer ses éléments comme ploynômes en αde degrés <4.
Exercice 4 – On considère la matrice de M4×15(F2)suivante :
G=
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
.
1)Vérifier que les 4 lignes de Gsont des vecteurs linéairement indépendants de(F2)15.
2)On noteC le code binaire linéaire de matrice génératriceG. Quel est le nombre de mots deC? 3)Soit C⊥ le code dual de C. Montrer que(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)∈ C⊥ et en déduire que tous les mots de C sont de poids pair.
4)Montrer que (1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0)∈ C et en déduire que le codeC est cyclique.
5)Quel est son polynôme générateur ?
6)On se propose dans cette question de prouver que tout mot non nul deC est de poids 8.
(a) Montrer quex∈ C ⇔ ∃u∈F42 tel que x=uG.
(b) Soientu ∈F42, u6= (0,0,0,0)etf :F42 → F2 définie par f(y) =P4
i=1uiyi. Montrer que f est linéaire et que |Kerf|= 8.
(c) En remarquant que les colonnes deG sont tous les vecteurs non nuls deF42, montrer que six∈ C est non nul, alorsω(x) = 8.
7)Quels sont les paramètres de C? Le codeC est-il un code MDS ? 8)Que vautel’ordre de la condition de décodage vérifiée par C?
9) On sait par le cours queC⊥ est également cyclique. Quel est le polynôme générateur de C⊥? En déduire une matrice de contrôle deC.
10)Quels sont les paramètres de C⊥?
11) On envoie un mot c∈ C et le mot reçu est r= (1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0). On admet qu’il y a au pluseerreurs dans r. Retrouverc.
Exercice 5 –
1)Montrer que tout polynôme irréductible de degré 7 deF2[X]est primitif.
2)Montrer queP(X) =X7+X+1∈F2[X]est irréductible primitif. On identifieF128et F2[X]
hP(X)i. 3)Montrer que P(X)divise X127−1dansF2[X].
4)SoitC le code binaire cyclique de longueur127engendré par P(X). Quels sont les paramètres de C?
5) Soit (si)i>0 ∈ (F2)N la suite définie par (s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6) = (1,1,1,1,1,0,0) et par la relation si+7 = si+1 +si pour tout i > 0. Montrer que (si)i>0 est périodique et déterminer sa période r.
6)Soit αla classe de X dansF128.
a) Calculer Tr(1)et expliquer pourquoi Tr(α) =Tr(α2) =Tr(α4) = 0.
b) Exprimer α12 etα24 comme polynômes enα de degrés<7et en déduire Tr(α5)et Tr(α3).
c) Donner la valeur de Tr(αi), pour06i66.
d) Rappeler pourquoi il existe un entierk>0tel quesi =Tr(αi+k)pour touti>0et déterminer k en calculant les premiers termes de(si)i>0.
7)On considère le code C0 constitué par ler-uplet nul et les r-uplets (sn, sn+1, . . . , sn+r−1) (06 n6r−1). Montrer que C0 est linéaire cyclique.
8)Quelle est la dimension de C0?
9)Quel est l’ordre de la condition de décodage de C0? 10)Montrer que P(X)∈ C0⊥ et en déduire que C0 =C⊥.
