Quelle est sa caractéristique ? Quel est son cardinal ? L’anneauA est-il un corps ? 3)Quel est le cardinal de A× (le groupe des éléments inversibles deA

Université Bordeaux 1 Master CSI

Mathématiques M1MA7W01

Année 2012-2013 Arithmétique

Devoir Surveillé, 7 novembre 2012.

Durée 2h00. Documents interdits.

Dans ce qui suit, si K est un corps et si P(X) ∈ K[X], on note (P(X)) l’idéal de K[X]engendré parP(X), i.e. l’idéalP(X)K[X].

Exercice 1 –

1)Dresser la liste des polynômes unitaires deF3[X]de degré62, premiers avecX+ 1 etX−1.

2)On considère l’anneauA= F3[X]

(X³−X²−X+ 1). Quelle est sa caractéristique ? Quel est son cardinal ? L’anneauA est-il un corps ?

3)Quel est le cardinal de A^× (le groupe des éléments inversibles deA) ?

4)Soitα la classe deXdansA. Montrer queα∈A^× et déterminer son ordre dansA^×. 5)Montrer que pour toutβ ∈A^×, on a β⁶= 1. Le groupeA^× est-il cyclique ?

Exercice 2 –

1)SoitP(X) =X²+X+ 3∈F7[X]. Expliquer pourquoi l’anneauB = F7[X]

(P(X)) est un corps.

2)Quel est le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré 2 dansF7[X]? De degré 4 ?

3)Soitαla classe deXdansB. Quels sont les ordres possibles a priori deα dansB^×? 4) Exprimer α², α⁴ et α⁸ comme combinaisons linéaires de 1 et α à coefficients dans F7.

5)Le polynômeP(X) est-il primitif ?

6) Quel est le nombre de polynômes unitaires irréductibles primitifs de degré 2 dans F7[X]? De degré 4 ?

Exercice 3 – On considère dansF2[X]le polynômeP(X) =X⁶+X+ 1 et on noteC l’anneauF2[X]/(P(X)).

1)Soitαla classe deX dansC. Montrer que α∈C^× et calculer l’ordre deαdansC^×. 2)En déduire que C est un corps. On identifiera C à F64.

3)Montrer que P(X) est irréductible et primitif.

4)CombienC admet-il de sous-corps stricts et quels sont leurs cardinaux respectifs ? 5)On pose β=α+α³+α⁴+α⁵. Montrer que β appartient à un sous-corps strict de C à préciser.

6)Quels sont les éléments de ce sous-corps ?

7)Quel est le polynôme minimal de β sur F2? Que vaut Tr(β)?

8)On pose γ =α+α²+α³. Combien le corpsF2(γ) compte-t-il d’éléments ? 9)Quel est le polynôme minimal de γ surF2? Que vaut Tr(γ)?

10) DéterminerF2(β)∩F2(γ).

Exercice 4 –

1)Décomposer X⁴−1en produit d’irréductibles unitaires dans F5[X].

2)Quel est le nombre de facteurs irréductibles unitaires intervenant dans la décompo- sition deX⁸−1 dansF5[X]. Préciser leurs degrés.

3)En déduire la décomposition de X⁴+ 1dansF5[X].

4)Quel est le nombre de facteurs irréductibles unitaires intervenant dans la décompo- sition deX⁸+ 1dansF5[X]. Préciser leurs degrés.

5)Quel est le nombre de facteurs irréductibles unitaires intervenant dans la décompo- sition deX²⁰⁰+ 1dansF5[X]. Préciser leurs degrés.