resol num equations

(1)

Université Claude Bernard–Lyon I CAPES de Mathématiques : Oral 1 Année 2008–2009

M´ ethodes d’approximation de z´ eros de fonctions r´ eelles

On pourra prendre pour base la le¸con propos´ee par Daniel Perrin dans http://www.math.

u-psud.fr/~perrin/CAPES/Equations/equations07.pdf ou Denis Vekemans dans http:

//megamaths.perso.neuf.fr/oral1/cfon-04c13.pdf. Toutefois, quelques remarques me semblent nécessaires pour préciser certaines choses ou répondre à un certain nombre de questions évidentes (enfin, évidentes pour le jury...).

• Cadre : Le cadre des théorèmes est très restrictif. Il suppose implicitement qu’un travail préliminaire a été accompli pour localiser un zéro et un intervalle assez petit qui l’entour.

Outils rudimentaires pour ce travail : tracer le graphe, prendre des valeurs plus ou moins au hasard, étudier les variations... Pour les polynômes, il y a tout un tas de méthodes plus ou moins évoluées, telle la règle des signes de Descartes. Glissons cela rapidement, il vaut mieux éviter d’étaler une culture que l’on n’a pas...

• En fait, une fonction continue “typique” est bien plus irrégulière que ce qu’on imagine : son graphe ressemble à celui d’un mouvement brownien, et en particulier, il n’y a aucun intervalle sur lequel elle est monotone. (Il paraˆıt que l’on peut donner un sens précis

`

a cela...) En revanche, si une fonction de classe C¹ s’annule en un point, il n’y a pas de raison que sa dérivée s’y annule aussi (bien sûr, cela peut arriver !) ; idem pour la dérivée seconde d’une fonctionC². Au voisinage d’un zéro, les hypothèses sont donc assez génériques.

• Plutˆot que distinguer des cas selon le signe de f⁰ ou f⁰⁰, dire tout de suite que l’on peut supposer f⁰ > 0 et f⁰⁰> 0 quitte `a remplacer f par x 7→ ±f (±x) (cf. II (a)).

• On présentera typiquement trois méthodes : dichotomie, sécante, Newton. Il est indis- pensable de donner à chaque fois une majoration de l’erreur. Pour le choix de la preuve

`

a développer, je pense que celle de la dichotomie est un peu trop simple et que celle de la sécante est un peu trop compliquée.

• Pour la dichotomie, ne pas hésiter à presenter la méthode comme un outil théorique pour prouver le théorème des valeurs intermédiaires (qu’on ne prend pas comme prérequis) et comme un outil numérique pour le cœur de la le¸con. Remarquer au moins à l’oral que c’est la méthode la plus robuste ; en particulier, elle marche pour des fonctions non dérivable avec la même efficacité.

• Si f est C¹ et pasC², on peut a priori appliquer toutes les méthodes (sécante, Newton), mais les majorations d’erreur sont évidemment inopérantes. La question se pose de savoir si les méthodes convergent quand même ! Moyennant une hypothèse de convexité, c’est le cas (exercice...). Mais sans ¸ca, imaginer un exemple où la suite (xn) n’est pas bien définie. Dans le même esprit : que donne la méthode de Newton si f⁰ s’annule en α (et seulement en α) ?

• Exemples et calculatrice : la stratégie consistant à en traiter un avec toutes les méthodes

`

a la fin semble bonne. Comme d’habitude ces questions ne sont pas aobrdées ici mais il ne faut pas les laisser de côté pour autant.

(2)

I Dichotomie

Soit a < b deux r´eels et f : [a, b] → R une fonction continue. On suppose que f (a)f (b) < 0.

On d´efinit alors par r´ecurrence deux suites (a_n) et (b_n) par a₀ = a, b₀ = b et

∀n ∈ N, (a_n+1, b_n+1) =











an,an+ bn

2

si f (an)f ^aⁿ^+b₂ ⁿ ≤ 0,

a_n+ b_n 2 , b_n

sinon.

Montrons par r´ecurrence que pour tout n ∈ N, on a : an≤ a_n+1 ≤ b_n+1≤ b_n, bn− a_n= b − a

2ⁿ , f (an)f (bn) ≤ 0.

Pour n = 0, il n’y a qu’à vérifier la première série d’inégalités, qui va de soi : on a soit a₁ = a et b₁= (a + b)/2, soit a₁ = (a + b)/2 et b₁ = b.

Soit n ∈ N, supposons la propriété vraie pour n. On a soit an+2 = an+1 et bn+2 = (an+1+ bn+1)/2, soit an+2= (an+1+bn+1)/2 et bn+2= bn+1; dans les deux cas, vu que an+1≤ b_n+1, on a immédiatement a_n+1≤ a_n+2≤ b_n+2≤ b_n+1. L’égalité b_n+1− a_n+1 = (b_n− a_n)/2 = (b − a)/2ⁿ va de soi.

Enfin, comme f (an) et f (bn) sont de signe contraire, f ((an+ bn)/2) n’a pas le mˆeme signe que l’un de ces deux nombres : si f (a_n)f ((a_n+ b_n)/2) > 0, alors f (b_n)f ((a_n+ b_n)/2) ≤ 0. La d´efinition de (an+1, bn+1) assure donc que f (an+1)f (bn+1) ≤ 0.

Ainsi, la propriété annoncée est prouvée par récurrence. Les suites (an) et (bn) sont adjacentes, leur limite commune α vérifie, par continuité de f : f (α)² ≤ 0, c’est-à-dire : f (α) = 0. On vient de démontrer le théorème des valeurs intermédiaires et d’exhiber un algorithme qui donne un encadrement d’un zéro de f (pas nécessairement le seul si f n’est pas monotone).

Remarque : Pour un algorithme de dichotomie, on prend généralement en entrée a, b et la précision ε à laquelle on souhaite l’approximation d’un zéro de f . Il est intéressant de noter au passage le nombre de passages dans la boucle (pour comparer différentes méthodes).

Exercice : À l’aide de la méthode de dichotomie, montrer sans utiliser le théorème des accroissements finis que pour f dérivable sur [a, b], si f⁰< 0, alors f est strictement décroissante.

(Indication : proc´eder par contrapos´ee. En supposant qu’il existe c < d avec f (c) < f (d), exhiber deux suites adjacentes (c_n), (d_n) telles que (f (d_n) − f (c_n))/(d_n− c_n) ≥ (f (d) − f (c))/(d − c) > 0, et montrer qu’en la limite ` de ces suites, f⁰(`) ≥ 0. La fin est assez facile. Voir http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Lagrange.pdf.)

II M´ethodes `a un pas

Dans la suite, on suppose que f : [a, b] → R est de classe C² strictement croissante et strictement convexe, c’est-`a-dire que f⁰ > 0 et f⁰⁰ > 0. On suppose aussi f (a)f (b) < 0, et f a donc un unique z´ero α ∈ [a, b[.

Le principe de ces méthodes est de construire une suite (xn) qui converge vers α : on choisit une droite passant par (x_n, f (x_n)) pour approximer la courbe, ne dépendant que de x_n, et on définit xn+1 comme l’abscisse de l’intersection de cette droite et de l’axe des abscisses.

1^◦ Remarques pr´eliminaires

(a) Symétries Quitte à remplacer f par l’une des quatre fonctions suivantes, on peut et on va supposer sans perte de généralité que f est strictement croissante et convexe :

f₁: x 7→ f (x), f₂ : x 7→ f (−x), f₃: x 7→ −f (x), f₄ : x 7→ −f (−x).

(Si f = f1 est croissante convexe, f2 est d´ecroissante convexe, f3 est d´ecroissante concave et f4

est croissante concave – et r´eciproquement.)

(3)

(b) Equation de droites Consid´´ erons les points A(a, f (a)) et B(b, f (b)) sur le graphe de f , et soit c l’abscisse de l’intersection de la droite (AB) avec l’axe des abscisses. On v´erifie sans peine qu’alors, en notant p la pente de cette droite (suppos´ee non nulle), on a :

c = af (b) − bf (a)

f (b) − f (a) = a − f (a) p . 2^◦ Méthode de la “sécante à pente fixe”

On suppose connaˆıtre m, M ∈ R qui bornent f⁰ : pour tout x ∈ [a, b], m ≤ f⁰(x) ≤ M . On pose alors p = ^m+M₂ et on d´efinit une suite (x_n) par x₀= b et :

x_n+1= x_n−f (x_n) p . On montre que sous les hypothèses précédentes, on a :

|x_n+1− α| ≤ M − m

M + m|x_n− α|.

3^◦ M´ethode de Lagrange

On définit x0 = a et, pour n ≥ 0, xn+1 comme l’intersection de la droite passant par les points (b, f (b)) et (x_n, f (x_n)) (sécante à la courbe). Ainsi :

xn+1= xnf (b) − bf (xn)

f (b) − f (x_n) = xn− f (xn)

f (b)−f (xn) b−xn

.

Cela a un sens : sous les hypothèses de monotonie et de convexité précédentes, on montre par récurrence que a ≤ x_n≤ α et donc que x_n+1 est bien défini. En effet, l’expression

xn+1= f (b) f (b) − f (xn)

| {z }

λ≥0

xn+ −f (x_n) f (b) − f (xn)

| {z }

1−λ≥0

b

de xn+1 comme barycentre de xn et b avec des coefficients positifs (f (xn) ≤ 0 car xn ≤ α) montre que x_n≤ x_n+1 ≤ b. Par convexit´e de f , le point (x_n+1, 0) sur la s´ecante est au-dessus de (xn+1, f (xn+1)) sur la courbe, ce qui se traduit par f (xn+1) ≤ 0 = f (α), soit xn+1≤ α.

Majoration de l’erreur Soit

m₁= inf

[a,b]

|f⁰| et M₂ = max

[a,b]

|f⁰⁰|.

On pose de plus, pour x ∈ [a, α],

g(x) = xf (b) − bf (x) f (b) − f (x) ,

d’o`u xn+1 = g(xn). On veut majorer |g(x) − α|. Pour cela, l’expression de g(x) comme barycentre de b et x donne sans calcul :

g(x) − α = f (b)

f (b) − f (x_n)(x − α) + −f (x)

f (b) − f (x)(b − α).

Par le théorème des accroissements finis, le dénominateur s’écrit f⁰(θ)(x−b) pour θ convenable : faute de mieux, on va le minorer par m1|x−b|. Cela incite à faire apparaˆıtre b−x au numérateur :

g(x) = − b − x f (b) − f (x)

α − x

b − xf (b) +b − α b − xf (x)

.

(4)

On voit apparaˆıtre dans la parenthèse le barycentre de f (b), affecté du coefficient µ = (α − x)/(b − x) ≥ 0 et de f (x), affecté du coefficient 1 − µ ≥ 0. L’idée suivante, c’est se rappeler que l’on veut faire apparaˆıtre des dérivées d’ordre 2 ; d’où, formule de Taylor et, au départ, différences de valeurs de f . Cela légitime d’introduire f (b) − f (α) au lieu de f (b) :

g(x) = − b − x f (b) − f (x)

α − x

b − x(f (b) − f (α)) +b − α

b − x(f (x) − f (α))

. Ecrivons donc les formules de Taylor : il existe u ∈ ]x, α[ et v ∈ ]α, b[ tels que´

(

f (b) − f (α) = (b − α)f⁰(α) +^(b−α)₂ ²f⁰⁰(v), f (x) − f (α) = (x − α)f⁰(α) +^(x−α)₂ ²f⁰⁰(u).

Petit miracle : la simplification des deux termes (b − α)(x − α)f⁰(α). Il reste : g(x) − α = − b − x

f (b) − f (x)(b − α)(x − α) b − α

b − xf⁰⁰(v) +x − α b − xf⁰⁰(u)

.

Le terme entre les grandes parenth`eses est un barycentre de deux valeurs de f⁰⁰avec coefficients 1 − µ et µ, donc il est major´e par M₂. Ainsi :

|g(x) − α| ≤ M₂(b − a) 2m1

|x − α|.

En appliquant à x = xn, et en supposant b − a assez petit pour que le coefficient soit < 1, on voit que la suite x_n converge vers α à une vitesse au pire géométrique.

Voir une autre majoration et une autre preuve (plus élémentaire) par Daniel Perrin (réf. au début).

4^◦ M´ethode de Newton

Dans ce cas, on choisit pour droite la tangente à la courbe de f passant par (xn, f (xn)). Sa pente étant f⁰(xn), on définit (xn) par x0 = b et, pour n ≥ 0 :

xn+1= xn− f (xn) f⁰(xn).

On montre sans peine que cette suite est bien définie et décroissante : pour tout n, α ≤ x_n ≤ x_n+1 ≤ b. On en déduit facilement qu’elle converge vers α, et on montre facilement la majoration suivante :

|x_n+1− α| ≤ M₂ 2m1

|x_n− α|².

L’existence de ce carré est précieuse : posons c = log₁₀(M₂/2m₁), de sorte que la constante est 10^c. Supposons que n soit assez grand pour qu’on connaisse α avec k décimales exactes (i.e. |x_n− α| ≤ 10^−k, et k grand). Alors au rang suivant, on a une approximation avec 2k − c décimales exactes.

En résumé, on double presque le nombre de décimales exactes à chaque itération : c’est bien plus efficace que la convergence des méthodes précédentes.

Exemple. Prenons f (x) = x^q− β pour x ≥ 0, o`u q ∈ N^∗ et β > 0 fix´es. On calcule que g(x) = 1

q

(q − 1)x + β x^q−1

.

Pour q = 2, l’algorithme est connu depuis Babylone (tablette YBC 7289, voir par exemple http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/tablette-ybc-7289).

Remarque. La m´ethode ne va pas bien se comporter si f⁰(α) = 0, car on n’aura pas de minoration de |f⁰|. Faire un dessin pour l’expliquer.

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5^◦ Principe de toutes ces m´ethodes `a un pas

On constate que ces méthodes à un pas consistent à remplacer l’équation f (x) = 0 par une

´equation g(x) = x, o`u g : ]a, b[ → R est une fonction de la forme g(x) = x −f (x)

p(x),

où p(x) est la pente de la droite qui sert à approximer la courbe. Ceci permet de voir la solution α comme limite d’une suite récurrente définie par xn+1= g(xn).

Une telle suite, si elle converge vers un point fixe attractif α (tel que |g⁰(α)| < 1), possède en gros deux comportements différents (référence : première épreuve du CAPES 1998) :

• soit g⁰(α) 6= 0 : on obtient facilement une majoration de la forme |x_n+1− α| ≤ k|x_n− α|, avec 0 < k < 1, et un peu plus de travail montre que x_n−α est ´equivalent, pour n → +∞,

`

a Ck⁰ⁿ pour 0 < k⁰ < 1 convenable ;

• soit g⁰(α) = 0 ; on supposera ici que g⁰⁰(α) 6= 0 ; on obtient facilement une majoration de la forme |x_n+1− α| ≤ k|x_n− α|², et un peu plus de travail montre que x_n− α est

´

equivalent, pour n → +∞, `a Ck²ⁿ pour 0 < k < 1 convenable.

On essaie pour cette raison de choisir p(x) de sorte que g⁰(α) = 0. Ceci équivaut à p(α) = f⁰(α), condition remplie si on prend par exemple p(x) = f⁰(x) –comme dans la méthode de Newton ! 6^◦ Itération de Householder (just for the sake of it)

Ne croyons pas que l’histoire s’arrête nécessairement ici ! Au lieu de remplacer comme avec Newton la courbe par sa tangente, on peut remplacer la courbe par sa parabole osculatrice, c’est-à-dire f (x) par son DL d’ordre 2 au voisinage de x_n : la fonction q définie par

q(x) = f (xn) + (x − xn)f⁰(xn) + f⁰⁰(xn)

2 (x − xn)² poss`ede deux racines

θ±(x_n) = x_n+−f⁰(xn) ±pf⁰(xn)²− 2f (x_n)f⁰⁰(xn)

f⁰⁰(x_n) .

On a supposé f⁰ > 0 et on a en tête que xn est une bonne approximation de α, si bien que f (x_n) est petit : les racines sont réelles. Plus précisément, f⁰(x_n) ≥ m₁ > 0 et f⁰⁰(x_n) ≤ M₂. On va faire un DL de θ±(xn) :

θ±(x_n) = x_n+

−f⁰(xn) ± f⁰(xn) q

1 −^{2f (x}_fⁿ0(x^)fn⁰⁰)^(x² ⁿ⁾

f⁰⁰(x_n)

= x_n+

−f⁰(x_n) ± f⁰(x_n)

1 −^{f (x}_fⁿ0(x^)fn⁰⁰)^(x²ⁿ⁾ −^{f (x}_4fⁿ⁾0²(x^f⁰⁰n^(x)⁴ⁿ⁾² + o(f (x_n)²))

f⁰⁰(x_n) .

On choisit la racine θ+, la plus proche de celle de la m´ethode de Newton : θ₊(x_n) = x_n− f (xn)

f⁰(x_n)−f (xn)²f⁰⁰(xn)

4f⁰(x_n)³ + o(f (x_n)²).

Pour cette m´ethode, la suite des approximations est d´efinie par : x_n+1= x_n− f (x_n)

f⁰(xn) −f (x_n)²f⁰⁰(x_n) 4f⁰(xn)³ .

Sous réserve que f soit C³, la rumeur publique semble dire qu’il serait possible de démontrer une majoration de la forme |xn+1− α| ≤ C|x_n− α|³ : à chaque étape, on triple le nombre de décimales exactes.

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III Une m´ethode `a deux pas (just for the sake of it)

Il peut arriver que l’on ne dispose pas de formule analytique pour f⁰, ou que son calcul soit trop coûteux en temps. Dans ce cas, on peut imaginer prendre pour droite approximante la sécante passant par (xn, f (xn)) et (xn−1, f (xn−1)). On définit alors xn+1 par une récurrence à deux pas :

xn+1 = xn− f (xn)

f (xn)−f (xn−1) xn−x_n−1

= xn−1f (xn) − xnf (xn−1) f (x_n) − f (x_n−1) .

On peut reprendre la majoration de II 3^◦pour obtenir, pour n ≥ 1 et C = M₂/(2m₁) constant :

|x_n+1− α| ≤ C|x_n− α| · |x_n−1− α|.

On pose alors δn = ln(C|xn− α|), ce qui donne δ_n+1 ≤ δ_n+ δn−1. Il est naturel de comparer δ_n à la suite de type Fibonacci définie par une égalité dans la récurrence précédente. Comme chacun sait ou ne sait pas, une telle suite vaut Kφⁿ+ K⁰/φⁿ, où φ = (1 +√

5)/2 est le nombre d’or. Sachant que δn→ −∞, on en d´eduit qu’elle est minor´ee par Kφⁿ avec K < 0, puis que

|x_n− α| ≤ e^Kφⁿ/C.

On dit que l’on a une méthode d’ordre φ : à chaque itération, le nombre de décimales exactes est asymptotiquement multiplié par φ : c’est une convergence moins rapide que la méthode de Newton, mais beaucoup plus que les autres méthodes à un pas.

Référence : Michelle Schatzmann, Analyse numérique partie 4, Dunod.