Espacesvectorielsdedimensionﬁnie 15

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Chapitre 15

Espaces vectoriels de dimension finie

Sommaire

1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . 402

1.1 Dimension finie et existence de bases . . . 402

1.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . 403

1.3 Familles de vecteurs en dimension finie . . . 404

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . 405

2.1 Inclusion et dimension . . . 405

2.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 405

2.3 Sommes de sev en dimension finie . . . 407

3 Compétences à acquérir sur ce chapitre . . . 408

4 Exercices . . . 409

(2)

Dans tout ce chapitre^Kdésigne^Rou^C, et^Eest un espace vectoriel sur^K.

1 Espaces vectoriels de dimension finie

1.1 Dimension finie et existence de bases

On dit que^Eest dedimension finielorsqu’il admet une famille génératrice finie.

Définition 1 – Espace vectoriel de dimension finie

Cela signifie qu’il existep∈^N^∗etu1, ...,up vecteurs de^Etels que^E=Vect(u1,... ,up).

Dans le cas contraire, on dit que^Eest dedimension infinie.

Êxemple.^{0Ê} est de dimension finie, même siÊne l’est pas.

Êxemple.Si p ∈^N^∗ et u1, ..., up sont des vecteurs deÊ, alors ^F=Vect(u1,...,up) est de dimension finie (même siÊne l’est pas).

^Exemple.^Siⁿ∈^N^∗, alors^Kⁿ,M_n,p(^K) et^Kn[X] sont de dimension finie.

Si^Eest de dimension finie, alors^Epossède des bases.

Théorème 2 – Existence de bases en dimension finie

On peut préciser la façon d’obtenir des bases.

Si Êest de dimension finie et siF est une famille génératrice finie deÊ, alors on peut extraire deFune base deÊ.

Corollaire 3 – Extraction de base d’une famille génératrice finie

Dire que la famille de vecteurs Bestextraite de la famille de vecteursF signifie que tous les vecteurs deBsont pris parmi les vecteurs deF.

^Exemple.Donner une base de^E=Vect¡

(X−1)²,X²,−2X+1¢

et de^E=Vect¡

(1,0);(1,1);(0,2)¢ .

Si^Eest engendré parnvecteurs, toute famille den+1 vecteurs est liée.

Théorème 4 – Nombre de vecteurs d’une famille libre

Si^Eadmet des familles libres avec un nombre quelconque de vecteurs, alors^Eest de dimension infinie.

Corollaire 5 – Condition suffisante de dimension infinie

(3)

1 Espaces vectoriels de dimension finie 403 BLes espaces vectoriels^K[X],^K^Net^R^Rsont de dimension infinie.

1.2 Dimension d’un espace vectoriel

Si^Eest de dimension finie, alors toutes ses bases ont le même nombre d’éléments.

Théorème 6 – Nombre d’éléments des bases

Ce théorème permet de définir la notion de dimension.

Si^Eest de dimension finie, on appelledimensionde^Ele nombre d’éléments de ses bases.

Définition 7 – Dimension

C’est donc un nombre entier naturel ; il est noté dim(^E).

On peut remarquer que : dim(Ê)=0⇐⇒Ê={0Ê}.

Si^En’est pas réduit au vecteur nul, on peut donc dire que dim(^E)≥1.

^Exemple.^Dans ^E, les droites vectorielles correspondent aux sous-espaces vectoriels de dimension 1.

^Exemple.^Dans ^E, les plans vectoriels correspondent aux sous-espaces vectoriels de dimension 2.

^Exemple.^Siⁿ∈^N^∗, alors^Kⁿest de dimension finie et dim¡

K

n¢

=n.

^Exemple.^Siⁿ∈^N, alors^K_n[X] est de dimension finie et dim¡

Kn[X]¢

=n+1.

^Exemple.^{Si (n,}^p)∈¡

N

∗¢2, alorsM_n,p(^K) est de dimension finie et dim¡

M_n,p(^K)¢

=n×p.

B^Cest de dimension finie en tant que^C-ev et aussi en tant que^R-ev.

Mais : dimC(^C)=1 et dimR(^C)=2.

Exemple.Dans^R^N,^E=©

(un)n∈^N∈^R^N±

∀n∈^N,un+1=2unª

est une droite vectorielle.

Exemple.Soit (a,b)∈^R²fixé. Alors^E=©

(un)n∈^N∈^C^N; ∀n∈^N,un+2=aun+1+bunª est un plan vectoriel.

Exemple.Soit (a,b)∈^R²fixé. Alors^E=©

y∈D²(^R;^C);∀t∈^R,y^′′(t)+ay^′(t)+by(t)=0ª est un plan vectoriel.

(4)

1.3 Familles de vecteurs en dimension finie

Dans ce paragraphe, on suppose que^Eest de dimension finie notéen.

On se donne aussip∈^N^∗etF=(u1,...,up) une famille depvecteurs de^E.

On suppose que^Eest engendré par la famille de vecteursF=(u1,...,up).

On a alors les propriété suivantes :

1. on peut extraire deF une famille de vecteurs qui est une base de^E; 2. p≥n;

3. Fest une base de^E⇐⇒p=n

Théorème 8 – Familles génératrices en dimension finie : extraction d’une base

On retient souvent ce théorème sous la forme suivante : une famille de vecteursgénératrice et minimale de^Eest une base de^E.

SiF=(u1,...,up) est une famille de vecteurs de^E, on a donc : dim¡

Vect(u1,...,up)¢

≤p et on connaît le cas d’égalité :

dim¡

Vect(u1,... ,up)¢

=p⇐⇒ les vecteurs (u1,... ,up) forment une famille libre

On suppose que la famille de vecteursF=(u1,...,up) est libre.

On a alors les propriétés suivantes :

1. on peut compléter la famille de vecteursF en une base de^E; 2. p≤n;

3. Fest une base de^E⇐⇒p=n

Théorème 9 – Familles libres en dimension finie : théorème de la base incomplète

On retient souvent ce théorème sous la forme suivante : une famille de vecteurs libre et maximale de^Eest une base de^E.

^Exemple.^¡(1,1);(1,−1)¢

est une base de^R².

^Exemple.^Si^Fest une droite vectorielle de^E, tout vecteur−→u 6=→−0Eélément de ^Fest une base de^F.

^Exemple.Si^Fest un plan vectoriel de^E, tous vecteurs−→u et→−v non colinéaires et éléments de^Fforment une base de^F.

^Exemple.Dans un espace vectoriel de dimensionn, toute famille den+1 vecteurs ou plus est liée.

^Exemple.^Dans^Kn[X],n+1 polynômes non nuls de degrés échelonnés forment une base.

(5)

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie 405

SiG est une famille de vecteurs génératrice de^E, alors on peut choisir des vecteurs dans Gpour compléter la famille de vecteursFen une base^E.

Corollaire 10 – Version précisée du théorème de la base incomplète

^Exemple.^Compléter^¡^X²^,^X²+1¢

en une base de^K₂[X].

Si^Eest de dimensionnet siF est une famille denvecteurs de^E, alors on a équivalence des trois propriétés :

(i) Fest une base de^E; (ii) Fest libre;

(iii) Fest une famille génératrice de^E

Corollaire 11 – Principe des tiroirs en algèbre linéaire

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie

2.1 Inclusion et dimension

Si^Eest de dimension finie, alors tous ses sev^Fsont aussi de dimension finie et vérifient : dim(^F)≤dim(^E)

Théorème 12 – Sev d’un^K-ev de dimension finie

BIl n’y a pas de réciproque : si dim(^F)≤dim(^E), on ne peut pas dire que^F⊆^E. Par exemple dans^R³une droite n’est pas incluse dans n’importe quel plan.

SiÊest de dimension finie et si^Fest un sev deÊtel que dim(^F)=dim(Ê), alors^F=Ê. Corollaire 13 – Cas d’égalité

2.2 Rang d’une famille de vecteurs

Dans ce paragraphe, on se donnep∈^N^∗etF=(u₁,...,u_p) une famille depvecteurs de^E.

On appelle rangde la famille de vecteursF =(u1,...,up) la dimension du sous-espace vectoriel de^Eengendré par cette famille.

Définition 14 – Rang d’une famille de vecteurs

(6)

On le note rg(F) ou rg(u1,... ,up). On a donc : rg(F)=dim¡

Vect(F)¢

ou encore rg(u1,...,up)=dim¡

Vect(u1,...,up)¢

1. Siα∈^Ktel queα6=0 : rg¡

u₁,...,u_p₋₁,u_p¢

=rg¡

u₁,...,u_p−1,α.u_p¢ 2. rg¡

u₁,...,u_p₋₁,0E

¢=rg¡

u₁,...,u_p₋₁¢ . 3. Si (λ₁,...,λ_n−1)∈^Kⁿ⁻¹:

rg¡

u1,...,up−1,up¢

=rg Ã

u1,...,up−1,up+

p−1X

k=1

λ_k.uk

!

4. Siu_pest CL de la famille de vecteurs¡

u₁,...,u_p−1¢ : rg¡

u₁,...,u_p−1,u_p¢

=rg¡

u₁,...,u_p₋₁¢ Proposition 15 – Règles de calcul du rang d’une famille de vecteurs

Pour calculer le rang d’une famille de vecteurs, il faut donc extraire de (u1,...,up) une base de Vect(u1,...,up).

^Exemple.rg¡

(1,0,1);(1,1,0);(0,−1,1)¢

=2.

1. rg(F)=0⇐⇒u1=u2= ··· =up=0^E 2. rg(u1,...,up)≤p

3. rg(u1,...,up)=p⇐⇒(u1,... ,up) est libre

Théorème 16 – Propriétés du rang d’une famille de vecteurs

On suppose que^Eest de dimension finie, notéen.

1. rg(u1,...,up)≤min(n,p)

2. rg(u1,...,up)=n⇐⇒^Eest engendré par les vecteurs (u1,...,up)

Théorème 17 – Propriétés du rang d’une famille de vecteurs en dimension finie

Si^Eest de dimension finienet sip=n:

rg(u1,... ,un)=n⇐⇒la famille de vecteurs (u1,...,un) est une base de^E

(7)

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie 407

2.3 Sommes de sev en dimension finie

Dans ce paragraphe on suppose que^Fet^Gsont deux sous-espaces vectoriels de^E.

On suppose que^Eest de dimension finie et que^Fest un sev de^E.

Alors^F admet des supplémentaires dans^Eet ils sont tous de même dimension égale à dim(^E)−dim(^F).

Théorème 18 – Existence d’un supplémentaire en dimension finie

BIl n’y pas unicité d’un supplémentaire mais seulement de sa dimension.

On suppose que^Fet^Gdeux sev de^Ede dimension finie.^F+^Gest alors de dimension finie et :

dim(^F+^G)=dim(^F)+dim(^G)−dim(^F∩^G) Théorème 19 – Formule de Grassmann

Êxemple.Si dim(^F)+dim(^G)>dim(Ê) alors∃x∈^F∩^G;x6=0Ê.

On suppose que^Fet^Gdeux sev de^Ede dimension finie. Alors : dim(^F+^G)≤dim(^F)+dim(^G) avec égalité si, et seulement si, la somme est directe.

Corollaire 20 – Inégalité pour la dimension d’une somme de sev

On obtient deux nouvelles caractérisations du fait que ^F et^G sont supplémentaires dans ^E, dans le cas où^Eest de dimension finie.

On a équivalence de :

(i) ^Fet^Gsont supplémentaires dansÊ:Ê=^F^G_; (ii) ^F+^G=Êet^F∩^G=©

0_Eª

;

(iii) la concaténation d’une base de^Fet d’une base de^Gdonne une base de^E; (c’est alors vrai avec n’importe quelle base de^F, et n’importe quelle base de^G) (iv) ∀x∈^E,∃!(f,g)∈^F×^G; x=f +g

(v) ^E=^F+^Get dim(^E)=dim(^F)+dim(^G);

(vi) ^F∩^G=© 0^Eª

et dim(^E)=dim(^F)+dim(^G).

Théorème 21 – Caractérisation des sev supplémentaires

Exemple.Dans^R³, on considère^F=Vect¡

(1,1,1)¢

et^G=©

(x,y,z)∈^R³/x+y+z=0ª . Alors^R³=^F^G_.

(8)

3 Compétences à acquérir sur ce chapitre

➥ Savoir calculer la dimension d’un espace vectoriel en donnant une base.

➥ Connaître les propriétés des familles libres en dimension finie.

✪ Les utiliser pour montrer rapidement qu’une famille de vecteurs est une base.

➥ Connaître les propriétés des familles génératrices en dimension finie.

✪ Les utiliser pour montrer rapidement qu’une famille de vecteurs est une base.

➥ Savoir montrer l’égalité de deux espaces vectoriels grâce à un argument de dimension.

➥ Connaître les propriétés théoriques du rang d’une famille de vecteurs.

➥ Connaître la formule de Grassmann.

➥ Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires grâce à un argument de dimension.

(9)

4 Exercices 409

4 Exercices

Familles libres, génératrices, bases,

dimension

EXERCICE 1. Dans^R³

Les familles suivantes sont-elles des bases de^R³? F₁=¡

(0,1,2),(1,2,0),(2,0,1)¢

F₂=¡

(1,1,0),(2,0,1),(3,1,1),(1,0,2)¢

EXERCICE 2. Dimension deC^∞(^R,^R) Pour toutn∈^N, montrer que la famille¡

x7−→e^kx¢

0≤k≤nest libre.

En déduire queC^∞(^R,^R) est de dimension infinie.

EXERCICE 3. Dans^R⁴

On considère le sous-espace vectoriel^Ede^R⁴défini par

E=Vect³

(1,−1,3,−3),(2,−2,4,−4),(3,−3,7,−7),(1,−1,1,−1)´ . 1. Donner une base et la dimension de^E.

2. Déterminer un système d’équations cartésiennes de^E. 3. Etablir que^E⊂^F, où^Fest défini par

F=Vect³

(1,0,1,−1),(0,1,2,−2),(1,0,0,0),(0,0,−1,1)´ 4. On pose^G=Vect³

(1,0,0,1),(1,2,0,0)´

. Vérifier que^E∩^G={0}.

EXERCICE 4. Dans^R^R

On note^R^Rl’ensemble des fonctions numériques définies sur^R. On pose :

E=©

f ∈^R^R;∀x∈^R, f(x)=acos(x)+bsin(x)+coù (a,b,c)∈^R³ª

Montrer que^Eest un^R-espace vectoriel de dimension finie et donner une base et sa dimension.

EXERCICE 5. Encore dans^R^R

Pourα>0, on note^Fαl’ensemble des fonctions de la forme : x7−→P(x)e^αx+Q(x)e⁻^αx oùPetQsont des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 1.

1. Montrer que^F_αest un^R-espace vectoriel.

2. Déterminer une baseBde^F_αet en déduire sa dimension.

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EXERCICE 6. Exemples de bases de polynômes

1. SoientP1=X²+1,P2=X²+X+1 etP3=X²+X. Montrer que (P1,P2,P3) est une base de

K2[X].

2. Soitn∈^N. Pour toutk∈ 0,n, on posePk=(X +1)^k+1−X^k+1. Montrer que (P0,... ,Pn) est une base de^K_n[X].

P =aX⁴+(a+b)X; (a,b)∈^K²ª

est un sev de^K[X]. Donner en une base et la dimension.

4. Soitn∈^N. Pour toutk∈ 0,n, on poseP_k=X^k(X+1)ⁿ⁻^k. Montrer que (P₀,...,P_n) est une base de^Kn[X].

EXERCICE 7. DansM_n(^K)

1. Montrer que les^K-evT_n⁺(^K),T_n⁻(^K),S_n(^KetA_n(^K) sont de dimension finie et détermi- ner leur dimension.

2. Si A=((ai j))1≤i,j≤n∈M_n(^K) on note Tr(A)= Xn k=1

A∈M_n(^K); Tr(A)=0ª .

Montrer que^Hest un sev deM_n(^K) et déterminer sa dimension.

Rang d’une famille de vecteurs

EXERCICE 8. Une formule sur le rang Soient¡−→u₁,... ,−→u_n¢

famille de vecteurs de^E^K-ev, etp∈ 1,n. Montrer que :

rg¡−u→1,...,−→un¢

≤rg¡−u→1,...,−→up¢

+n−p

Sommes directes et sous-espaces supplémentaires

EXERCICE 9. Dans^Kⁿ SoientE=

(

(x₁,...,x_n)∈Kⁿ; Xⁿ

k=1

x_k=0 )

etF=©

(λ,λ,... ,λ)∈^Kⁿ; λ∈Kª . 1. Déterminer une base deEet deF.

2. Montrer queEetFsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deKⁿ.

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4 Exercices 411 EXERCICE 10. DansM_n(^K)

On considère le^K-evM_n(^K) des matrices carrées d’ordren.

On rappelle queS_n(^K) désigne l’ensemble des matrices carrées symétriques d’ordren, et que A_n(^K) désigne l’ensemble des matrices carrées antisymétriques d’ordren.

Montrer queS_n(^K) etA_n(^K) sont des sev supplémentaires deM_n(^K).

EXERCICE 11. Dans^R³

Déterminer un supplémentaire dans^R³de^F=Vect³

(0,1,1),(1,0,2)´ . EXERCICE 12. Dans^R[X]

On se donne un entier naturel n ≥ 3, on note ^E le ^R-espace vectoriel ^Rn[X]. Montrer que

F=©

P∈^Rn[X];X³|Pª

et^G=Vect£

X(X −1),(X−1)(X−2),X(X−2)¤

sont des sev supplémen- taires de^E.

EXERCICE 13. Dans^R^N

On note ^E l’ensemble des (un) ∈ ^R^N telles que : ∀n ∈ ^N,un+3 = un+2+un+1+2un,

Fl’ensemble des (an)∈^R^Ntelles que :∀n∈^N,an+1=2anet^Gl’ensemble des (bn)∈^R^Ntelles que :∀n∈^N, b_n+2= −b_n+1−b_n.

1. Vérifier que^E,^Fet^Gsont des^R-espaces vectoriels.

2. Déterminer une base et la dimension de^Fet de^G.

3. On admet que dim(Ê)=3. En déduire que :Ê=^F^G. Donner alors une base deÊ. 4. Soit (u_n)_n∈Nla suite définie paru₀=1,u₁=0,u₂=2 et :

∀n∈^N,un+3=un+2+un+1+2un.

Déterminer l’expression deunen fonction den.

5. Sans admettre que dim(^E)=3, redémontrer que^E=^F^Gpar analyse-synthèse.

EXERCICE 14. Hyperplans

SoientÊun^K-ev de dimension finie notéen. On dira qu’un sev^HdeÊest unhyperplanlorqu’il existe une droite vectorielle^DdeÊtelle queÊ=^H^D_.

1. Montrer que :

Hest un hyperplan deÊ⇐⇒dim(^H)=dim(Ê)−1 2. Si^H1et^H2sont deux hyperplans deÊ, donner la dimension de^H1∩^H².

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