TD12 : Probabilités

Lycée-Chrestien-de-Troyes-PC-mathématiques

TD 12 Suites et séries de fonctions PC

N° 1 Etudier la convergence simple puis uniforme des suites de fonctions définies par : 1.  x ^,

 

n 1 f x x

 nx

 2.  x ^, f xn

 

nxe^nx 3.  x ^, n

 

^x ₂¹

f x ne

n x

 

  ( n un entier non nul) 4. x ^,

 

¹

n 1

f x  nx

 N°2 On considère la série de fonctions



f_ndéfinie suer  définie par

 

e^nx22

n 1 n

f x  ^_

Montrer que la série



f_n converge normalement.

N°3 On considère la série de fonctions



f_ndéfinie suer ⁺ définie par

 

^{ }2 ⁿ

1

n xn n

f x  ^_

Montrer que la série



f_n ne converge pas normalement sur ⁺ et qu’elle converge normalement sur tout segment de ^*+.

N°4 Soit a  ; on considère la suite de fonctions _n

n 1



f



définie par f xn

 

nx e^{a nx2} 1. Etudier la convergence simple sur ^*_ de la série _n

n 1



f



2. Sur quels intervalles de ^*_ la série de _n

n 1



f



fonctions converge-t-elle normalement ?

N°5 Soit la série de fonctions _n

n 0



f

 

définies par :x^*_^, n

   

ⁿ

f x 1

n x

 

 . Montrer que sa somme est C¹ sur ^*_ N°6 Montrer que la fonction  de Riemann définie par :

 

_x

n 1

x 1

 ^ n







^{est C sur}

^

^1,

^

N°7 Soit la série de fonctions _n

n 0



f

 

définies par : x_^, n

 

^nx2

f x e 1 n

 

 ^. Montrer que sa somme S est continue sur ⁺ et de classe C^ sur



^0,



N°8 Montrer que 3

2 2

1 1

0

nt

n n n

t e dt

  



 

 



 

 

 

 

  

N°9 Montrer que

 

^{ 1}

1 1

0

1^{n nt} _nⁿ

n n

e dt

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

N°10 Soit

 

_x

n 1

x 1

 ^ n







^{et }

^{ }

^{x }



₀^{tx 1 e dtt}

1. Déterminer les domaines de définition de  et  2. Montrer que :

 x > 1,

   

_t^{x 1}

0

x x t dt

e 1

   ^{ }





 