Feuille d’exercices 5

UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 5

Exercice 1

Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions´ (fn)n≥1 suivantes d´efinies sur les intervalles Isp´ecifi´es. Trouver des intervalles sur lequel il y a convergence uniforme.

1. fn(t) = _t+n^t surR+. 2. fn(x) = (sinx)ⁿ surR.

3. fn:R→Rsont d´efinies pour toutn≥1 par

fn(x) =





0 six≤ −_n¹, 1 six≥ ¹_n,

1

2+ⁿ₂x sinon.

Exercice 2

On consid`ere la suite de fonctions (fn)n≥1 d´efinie ainsi : les fonctions fn : [0,1]→Rsont continues et

fn(x) =

½ 0 six≤ ¹₂−_n¹ oux≥ ¹₂+_n¹, 1 six= ¹₂

et fn est affine sur les intervalles [¹₂−¹_n,¹₂] et [¹₂,¹₂+¹_n].

1. ´Etudier la convergence de la suite de fonctions (fn) sur [0,1], puis ´etudier la suite num´eriqueR₁

0 fn.

2. Mˆeme question pour les fonctionsfn : [0,1]→Rsuivantes : a) fn(x) = 0 six∈[0,¹_n],fn(x) =_x¹ six∈]¹_n,1].

b) fn(x) =nsix∈]0,_n¹],fn(x) = 0 six∈ {0}∪]_n¹,1].

1

Exercice 3

On consid`ere la suite de fonctions (fn)n≥1d´efinies deRdansRpour toutn≥1 parfn(x) =_n¹sin(nx).

1. ´Etudier la convergence de cette suite de fonctions.

2. ´Etudier la convergence de la suite (f_n⁰)n≥1 des d´eriv´ees. Que peut-on con- stater ?

Exercice 4

On consid`ere la suite de fonctionsfn :R→Rd´efinie parfn(t) = q

t²+_n¹. 1. ´Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions (fn) sur R. La limite est-elle d´erivable ?

2. ´Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (f_n⁰) surR, puis ´etudier sa convergence uniforme.

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