1. (Evocens64.tex) Soitf une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie dans un intervalleI. ´Ecrire avec des quantificateurs que f n’est pas d´ecroissante.
2. (Evocens49.tex) SoitAune partie d’un ensembleB. L’inclu- sion suivante
F(A,C)⊂ F(B,C) est-elle vraie ?
3. (Evocens17.tex) Une fonction d´efinie dans un ensemble fini et `a valeurs dans [0,+∞[ est-elle born´ee ?
4. (Evocens88.tex) Cet exercice utilise les images directes et r´eciproques de parties par une fonction.
SoitE etF deux ensembles etgune fonction deE dans F. Quel est l’ensemble
g−1(F\g(E))?
5. (Evocens48.tex) Soit aet b deux r´eels strictement positifs.
Quelle est la justification valide de : lna <lnb⇒a < b
a. La fonction exponentielle est strictement croissante.
b. La fonction logarithme est strictement croissante.
6. (Evocens83.tex) Ecrire avec des quantificateurs la proposi-´ tion
«Tout entier naturel est le carr´e d’un entier naturel.»
et sa n´egation.
7. (Evocens80.tex) SoitE un ensemble et Aune partie de E, la proposition suivante est-elle vraie (V) ou fausse (F) ?
((a∈A)⇒(a /∈A))⇒a /∈A
8. (Evocens8.tex) SoitE un ensemble de cardinalm. Quel est le cardinal deP(E) ?
9. (Evocens5.tex) SoitE={1,2}. Donner un exemple de fonc- tion deE dansP(E)
10. (Evocens74.tex) Soit x1,· · · , xp des nombres r´eels. Tra- duire la propri´et´e suivante avec un quantificateur et une in´egalit´e
min(x1,· · · , xp)<1
11. (Evocens84.tex) SoitEune partie deR. La proposition sui- vante est-elle vraie (V) ou fausse (F) ?
(∀x∈E,∃y∈E tqx≤y)
⇔(∀y∈E,∃x∈E tqy≤x)
12. (Evocens37.tex) Soit (a)n∈Nune suite de nombres r´eels. On consid`ere la proposition
(P) ∃n∈Ntel que an< an+1
Quelle propri´et´e poss`ede une suite qui ne v´erifie pas (P) ? 13. (Evocens86.tex) SoitE =Rles phrases suivantes sont-elles
vraies (V) ou fausses (F) ?
∀x∈E,∃y∈E tqx≤y
∃y∈Etq∀x∈E, x≤y
∀x∈E,∃y∈E tqx < y
∀x∈E,∀y∈E, x≤y
14. (Evocens28.tex) Soitf une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensemble F. ´Ecrire avec des quantificateurs :f n’est pas surjective.
15. (Evocens61.tex) On consid`ere une suite (un)n∈
Nqui converge vers un r´eel Len v´erifiant
∀n∈N∗,0≤un−L≤L n
On ne connait pasLmais on connait un encadrement : 0< a≤L≤b
Soitε >0. Comment choisirnen fonction dea,b,εpour ˆ
etre certain que un soit une valeur approch´ee de L `a ε pr`es ?
16. (Eexo193.tex) SoitI=]0,1[ etf une fonction deI dansR, l’implication suivante
f > 0 entraine f minor´ee par un nombre strictement positif est-elle vraie ?
17. (Evocens31.tex) Soit f une fonction d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensembleA. On consid`ere l’´equation
(1) f(x) =a
d’inconnuexet de param`etrea. Traduire avec des quan- tificateurs la propri´et´e suivante.
Pour certaines valeurs du param`etre, l’´equation (1) ad- met au moins une solution.
18. (Evocens45.tex) La proposition suivante est-elle vraie ? La justification propos´ee est-elle valide ?
Proposition. Soit (xn)n∈N une suite de nombres r´eels telle que
∀n∈N: 1≤xn≤1 + 1 1 +n Alors la suite (xn)n∈
Nconverge vers 1.
Justification D’apr`es le th´eor`eme de passage `a la limite dans une in´egalit´e.
19. (Evocens60.tex) Soitpun naturel non nul eta1,· · ·, ap des nombres r´eels. En utilisant un quantificateur, ´ecrire que lesa1,· · ·, apsont tous non nuls.
20. (Evocens56.tex) SoitAetB deux propositions. Former une implication logiquement ´equivalente `a la proposition
Pour queAsoit vraie, il faut queB le soit.
21. (Evocens54.tex) SoitE un ensemble et Aune partie de E.
SoitC ⊂ P(A) etD ⊂ C. Les ´el´ements deDsont-ils des
´el´ements de Aou des parties deA?
22. (Evocens71.tex) Soitx1,· · ·, xpdes nombres r´eels. Compl´eter l’´equivalence suivante avec un quantificateur et une in´egalit´e
max(x1,· · · , xp)<1⇔ . i∈J1, pK,1−xi. 23. (Evocens39.tex) Ecrire avec des´ {}l’ensembleP({a}).
24. (Evocens40.tex) Ecrire avec des´ {}l’ensembleP({a, b}).
25. (Evocens63.tex) Soitf une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie dans un intervalleI. ´Ecrire avec des quantificateurs que f n’est pas croissante.
26. (Evocens19.tex) Lorsque f est une fonction d´efinie dans R etK un nombre>0, on notefK la fonction d´efinie par fK(x) = f(Kx) pour tous les x ∈ R. Soit P(f, K) la propri´et´e :
f →+∞l⇒fK→+∞l
Ecrire la r´´ eciproque comme une propri´et´eP(g, k) 27. (Evocens57.tex) SoitAetB deux propositions. Former une
implication logiquement ´equivalente `a la proposition Pour queAsoit vraie, il suffit queBle soit.
28. (Evocens35.tex) Soitfune fonction d´efinie dans un ensemble Eet `a valeurs dans un ensembleA. SoitBune partie de A. On consid`ere l’´equation
(1) f(x) =a
d’inconnuexet de param`etrea. Traduire avec des quan- tificateurs et une implication la propri´et´e suivante.
L’´equation (1) n’admet des solutions que si le param`etre appartient `a B.
29. (Evocens53.tex) Soit un ensemble B, un entier naturelpet pensemblesA1,· · · , Ap.
Traduire avec des quantificateurs et les symboles∈et 6∈
la phrase suivante :
L’ensembleB n’est pas inclus dans l’union desAi pourientier entre 1 etp.
30. (Evocens2.tex) Un ensemble est-il ´egal `a l’ensemble de ses singletons ?
31. (Evocens72.tex) Soit x1,· · ·, xp des nombres r´eels. Tra- duire la propri´et´e suivante avec un quantificateur et une in´egalit´e
max(x1,· · ·, xp)>1
32. (Evocens58.tex) Soit p un naturel non nul et a1,· · · , ap des nombres r´eels. En utilisant unp-uplet, ´ecrire que les a1,· · · , ap ne sont pas tous nuls.
33. (Evocens62.tex) Soitn∈Nfix´e. Pour toutk∈Z, on pose tk = kπ
n+ 1, A={tk, k∈ {0,1,· · · , n}}
Pr´eciserk0 tel que π−tk =tk0. L’implication x∈A⇒π−x∈A
est-elle vraie ? Si elle ne l’est pas, pr´eciser un x pour lequel elle est fausse.
34. (Evocens52.tex) SoitB un ensemble, soitpun entier naturel et soientpensemblesA1,· · ·, Ap.
L’implication suivante est-elle vraie ? B n’est inclus dans aucun desAi
⇒B n’est pas inclus dans l’union desAi
35. (Eexo191.tex) SoitAune partie deR, ´ecrire avec des quan- tificateurs la phrase ”Aest minor´ee par un nombre stric- tement positif”.
36. (Evocens1.tex) Un ensemble est-il ´egal `a l’union des single- tons form´es avec ses ´el´ements ?
37. (Evocens81.tex) SoitP une proposition. Les propositionssui- vantes sont-elles vraies (V) ou fausses (F) ?
(P et (nonP)), (P ou (nonP))
38. (Evocens33.tex) Soitfune fonction d´efinie dans un ensemble Eet `a valeurs dans un ensembleB, soitAune partie de B. On consid`ere l’´equation
(1) f(x) =a
d’inconnuex et de param`etrea ∈A. Traduire avec des quantificateurs la propri´et´e suivante.
L’´equation (1) n’admet jamais de solution (pour aucune valeur du param`etre).
39. (Evocens69.tex) On consid`ere le syst`eme suivant d’´equations aux inconnues r´eelles x et y. Discuter suivant les pa- ram`etres r´eelsaetbdu nombre de couples solutions pour le syst`eme
(√
x−a=a2+p y−1 b−p
y−1 =√ x−a
40. (Evocens42.tex) Ecrire avec des´ {}l’ensembleP(P(P(∅))).
41. (Evocens30.tex) Soit f une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans R. ´Ecrire avec des quantifi- cateurs :f n’est pas la fonction nulle.
42. (Evocens41.tex) Ecrire avec des´ {}l’ensembleP(P(∅)).
43. (Evocens9.tex) Soitpun entiers sup´erieur ou ´egal `a 2, T ={(x, y)∈ {1,· · ·p} × {1,· · ·p} tqx≥y}
Pour une famille de nombres (ai,j)(i,j)∈T, compl´eter la relation suivante :
X
(i,j)∈T
ai,j=X
i=
X
j=
ai,j
44. (Evocens21.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
(nun)n∈
N=n(un)n∈
N
45. (Evocens68.tex) Soit aet b deux r´eels strictement positifs.
Quelle est la justification valide de : ea < eb ⇒a < b
a. La fonction exponentielle est strictement croissante.
b. La fonction logarithme est strictement croissante.
46. (Evocens66.tex) Soitf une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie dans un intervalleI. ´Ecrire avec des quantificateurs que f n’est pas strictement d´ecroissante.
47. (Eexo190.tex) SoitAune partie deR, ´ecrire avec des quan- tificateurs la phrase ”A est minor´ee”.
48. (Evocens77.tex) SoitEetF deux ensembles,f une fonction deEdansF,gune fonction deF dansEetAune partie de E. Traduire l’implication suivante par une inclusion entre des images directes et r´eciproques de parties
∀x∈F, g(x)∈/A⇒(∀a∈A, x6=f(a))
49. (Evocens51.tex) SoitB un ensemble, soitpun entier naturel et soientpensemblesA1,· · ·, Ap.
Traduire avec des quantificateurs et les symboles∈et6∈
la phrase suivante :
L’ensemble B n’est inclus dans aucun des Ai pouri entier entre 1 etp.
50. (Evocens46.tex) La proposition suivante est-elle vraie ? La justification propos´ee est-elle valide ?
Proposition. Soit (xn)n∈
N une suite de nombres r´eels telle que
∀n∈N: 1≤xn≤1 + 1 1 +n Alors la suite (xn)n∈Nconverge vers 1.
Justification D’apr`es le th´eor`eme de convergence des suites monotones.
51. (Evocens6.tex) SoitE={1,2}. Donner un exemple de fonc- tion deP(E) dansE.
52. (Evocens25.tex) Soitf une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensemble F. ´Ecrire avec des quantificateurs :f est bijective.
53. (Evocens11.tex) Soitpetq entiers avec 1≤p≤q, T ={(x, y)∈ {1,· · ·p} × {1,· · ·q}tqx≤y}
Pour une famille de nombres (ai,j)(i,j)∈T, compl´eter la relation suivante :
X
(i,j)∈T
ai,j =X
i=
X
j=
ai,j
54. (Eexo189.tex) SoitAune partie deR, ´ecrire avec des quan- tificateurs la phrase«Aest major´ee”».
55. (Evocens59.tex) Soitpun naturel non nul eta1,· · · , ap des nombres r´eels. En utilisant un quantificateur, ´ecrire que lesa1,· · ·, ap ne sont pas tous nuls.
56. (Evocens20.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
La suite (u1+u2+· · ·+un)n∈
Nest la somme des suites
(u1)n∈
N,(u2)n∈
N,· · ·,(un)n∈
N
57. (Evocens70.tex) Pour chaque k ∈ N, fk est une fonction de R dans R. Soit x ∈ R et n ∈ N. ´Ecrire avec des quantificateurs les propri´et´es (fn(x))n∈N est croissante etfn est d´ecroissante.
58. (Evocens10.tex) Soitpetqdeux entiers tels que 2≤q≤p, T ={(x, y)∈ {1,· · ·p} × {1,· · ·q} tqx≥y}
Pour une famille de nombres (ai,j)(i,j)∈T, compl´eter la relation suivante :
X
(i,j)∈T
ai,j=X
j=
X
i=
ai,j
!
59. (Eexo194.tex) SoitI=]0,1[ etf une fonction continue deI dansR, l’implication suivante
f > 0 entraine f minor´ee par un nombre strictement positif
est-elle vraie ?
60. (Evocens55.tex) SoitA etB deux parties d’un ensemble E.
Traduire par une relation simple entreAetBla propri´et´e A∩B =∅.
61. (Evocens7.tex) SoitE un ensemble de cardinal m et F un ensemble de cardinaln. Quel est le cardinal deF(E, F) ? 62. (Evocens29.tex) Soit f une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensembleF. ´Ecrire avec des quantificateurs :f n’est pas injective.
63. (Evocens65.tex) Soitf une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie dans un intervalleI. ´Ecrire avec des quantificateurs que f n’est pas strictement croissante.
64. (Eexo192.tex) Soitf une fonction deI(intervalle deR) dans R, ´ecrire avec des quantificateurs la phrasef est major´ee par un nombre strictement n´egatif.
65. (Evocens34.tex) Soit f une fonction d´efinie dans un en- sembleEet `a valeurs dans un ensembleA. On consid`ere l’´equation
(1) f(x) =a
d’inconnuexet de param`etrea. Traduire avec des quan- tificateurs la propri´et´e suivante.
L’´equation (1) admet toujours des solutions (pour toutes les valeurs du param`etre).
66. (Evocens12.tex) Soitpetqdeux entiers sup´erieurs ou ´egaux
` a 2,
T ={(x, y)∈ {1,· · ·p} × {1,· · ·q}tqx≤y}
Pour une famille de nombres (ai,j)(i,j)∈T, compl´eter la relation suivante :
X
(i,j)∈T
ai,j=X
j=
X
i=
ai,j
!
67. (Evocens16.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
Soitp∈ N, La suite (xpn)n∈N est la puissance p-ieme de la suite (xn)n∈N
68. (Evocens23.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
1 n
n∈N∗
+ 1
p
p∈N∗
= 2
q
q∈N∗
69. (Evocens79.tex) Les trois propositions suivantes sont elles vraies (V) ou fausses (F) ?
((1 = 2)⇒(0 = 0)) ((1 = 2)⇒(06= 0)) ((1 = 1)⇒(1 = 0)) 70. (Evocens43.tex) La proposition
«Une fonction qui n’admet pas de maximum global est non major´ee»
est-elle vraie ou fausse ?
71. (Evocens85.tex) SoitE = [1,10] les phrases suivantes sont- elles vraies (V) ou fausses (F) ?
∀x∈E,∃y∈E tqx≤y
∃y∈Etq∀x∈E, x≤y
∀x∈E,∃y∈E tqx < y
∀x∈E,∀y∈E, x≤y
72. (Eexo143.tex) Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I, ´ecrire avec des quantificateurs la d´efinition de la pro- position ”f est born´ee”
73. (Evocens87.tex) Pour chacune des propositions suivantes, indiquez si elle est vraie ou fausse.
∅ ∈ {∅}
∅ ⊂ {∅}
{∅}=∅
∅ ∈ {∅} ⇒ {∅} 6=∅
74. (Evocens15.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
Soit (x−1)2(x+ 1) = 0 une ´equation d’incon- nuex. Six6= 1, l’unique solution est−1.
75. (Evocens26.tex) Soit f une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensembleF. ´Ecrire avec des quantificateurs :f est surjective.
76. (Evocens27.tex) Soit f une application d´efinie dans un en- sembleE et `a valeurs dans un ensembleF. ´Ecrire avec des quantificateurs :f est injective.
77. (Evocens44.tex) La proposition suivante est-elle vraie ? La justification propos´ee est-elle valide ?
Proposition. Soit f une fonction continue et stricte- ment croissante dans un intervalle [a, b] et telle que f(a)f(b)<0. Il existe alors un uniquec∈[a, b] tel quef(c) = 0.
Justification D’apr`es le th´eor`eme du tableau des varia- tions.
78. (Evocens22.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
(nun)n∈
N= (un)n∈
N+· · ·+ (un)n∈
N
| {z }
ntermes
79. (Eexo195.tex) SoitI = [0,1] et f une fonction continue de IdansR, l’implication suivante
f > 0 entraine f minor´ee par un nombre strictement positif
est-elle vraie ?
80. (Evocens32.tex) Soit f une fonction d´efinie dans un en- sembleEet `a valeurs dans un ensembleA. On consid`ere l’´equation
(1) f(x) =a
d’inconnuexet de param`etrea. Traduire avec des quan- tificateurs la propri´et´e suivante.
Pour certaines valeurs du param`etre, l’´equation (1) n’ad- met pas de solution.
81. (Evocens76.tex) SoitE etF deux ensembles,f une fonction deEdansF,gune fonction deF dansEetAune partie de E. Traduire l’implication suivante par une inclusion entre des images directes et r´eciproques de parties
∀x∈F, g(x)∈A⇒(∃a∈Atqx=f(a))
82. (Evocens24.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
La suite 1
n+ 1
n+ 1 +· · ·+ 1 2n
n∈N∗
est une somme de suites qui convergent vers 0.
83. (Evocens38.tex) Ecrire avec des´ {}l’ensembleP(∅).
84. (Evocens82.tex) La proposition suivante est-elle vraie (V) ou fausse (F) ?
((∃x∈Ntq 4 = 2x) et (∃x∈Ntq 6 = 2x))
85. (Evocens47.tex) La proposition suivante est-elle vraie ? La justification propos´ee est-elle valide ?
Proposition. Soit (xn)n∈
N une suite de nombres r´eels telle que
∀n∈N: 1≤xn≤1 + 1 1 +n Alors la suite (xn)n∈
Nconverge vers 1.
Justification D’apr`es le th´eor`eme d’encadrement.
86. (Evocens75.tex) Soit x1,· · ·, xp des nombres r´eels. Tra- duire la propri´et´e suivante avec un quantificateur et une in´egalit´e
min(x1,· · ·, xp)>1
87. (Evocens4.tex) Un ensemble est-il ´egal `a l’union de ses par- ties ?
88. (Evocens3.tex) Un ensemble est-il ´egal `a l’ensemble de ses parties ?
89. (Evocens18.tex) Une fonction d´efinie dans Ret ne prenant qu’un nombre fini de valeurs est-elle born´ee ? Atteint-elle ses bornes ?
90. (Evocens50.tex) SoitAune partie d’un ensembleB.
On consid`erela restriction`aAdes fonctions d´efinies dans B et `a valeurs r´eelles. Dans la liste suivante quelle est la fl`eche qui correspond aux espaces de d´epart et d’arriv´ee de cette restriction ?
A→B, F(A,R)→ F(B,R), F(B,R)→ F(A,R), B→A
91. (Evocens14.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
{1}est l’unique solution de l’´equation x2−2x+ 1 = 0 d’inconnuex.
92. (Evocens13.tex) La phrase suivante est-elle vraie, fausse ou incorrecte ?
La suite (xnn)n∈
Nest la puissancen-ieme de la suite (xn)n∈
N
93. (Evocens67.tex) Soitfune fonction d´efinie dans un ensemble Ω et `a valeurs dans un ensembleX. SoitAune partie de Ω. ´Ecrire avec des quantificateurs que la restriction def
`
aAn’est pas surjective.
94. (Evocens73.tex) Soit x1,· · · , xp des nombres r´eels. Tra- duire la propri´et´e suivante avec un quantificateur et une in´egalit´e
max(x1,· · ·, xp)<1
95. (Evocens36.tex) Soit (a)n∈N une suite de nombres r´eels. On consid`ere la proposition
(P) ∃n∈Ntel quean> an+1
Quelle propri´et´e poss`ede une suite qui ne v´erifie pas (P) ? 96. (Evocens78.tex) SoitE un ensemble et Aune partie de E.
Les propositions suivantes sont elles vraies (V) ou fausses (F) ?
A∈ P(E), P(A)⊂ P(E)
P(A)∈ P(E), P(A)∈ P(P(E))
