FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

1.

(Einteg17.tex)

ln(1 + sh x) 2.

(Eexo221.tex)

π 4 3.

(Einteg44.tex)

I = Z 1

0

u ⁶ (1 + u ² ) ² du 4.

(Einteg87.tex)

Valeur de l’int´ egrale : e − √

e.

5.

(Eexo47.tex)

ln |t − z| + i arctan t − Re z Im z 6.

(Einteg80.tex)

1

3

7.

(Einteg19.tex)

3 ln |x + 3| − 2 ln |x + 2|

8.

(Einteg64.tex)

S n ≤ Z n

1

√ dt

t = 2( √ n − 1) 9.

(Eexo164.tex)

e − 1

10.

(Einteg81.tex)

ln ³ ₂ 11.

(Einteg37.tex)

I = Z 1

0

1 + u ² 3 + (1 + u ² ) ² du 12.

(Einteg69.tex)

R : argsh( x + 1 2 ) 13.

(Eexo266.tex)

x − 3x ^2/3 + 3x ^1/3 + λ, λ ∈ R 14.

(Eexo174.tex)

ln sin x

15.

(Einteg31.tex)

x

2 e ^x sin x + 1 − x 2 e ^x cos x 16.

(Einteg51.tex)

ln |sin x + cos x| , 1

2 ln |sin x + cos x| + x 2 17.

(Einteg10.tex)

tan x 2

= sin x 1 + cos x 18.

(Eexo262.tex)

1

2 arcsin ²

√ 3x

3 + λ, λ ∈ R . 19.

(Einteg63.tex)

S _n ≥ Z n

0

√ tdt = 2

3 n

³²

20.

(Einteg61.tex)

1

3 (t + 1) ³ − 3

2 (t + 1) ² + 3(t + 1) − ln |t + 1|

21.

(Einteg59.tex)

On trouve X

(X + 1)(X ² + 1) = − 1 2

1 X + 1 + 1

2 X + 1 X ² + 1 Puis une primitive

− 1

2 ln(1 + tan x) + 1

4 ln(1 + tan ² x) + 1 2 x

22.

(Einteg39.tex)

I = Z

^√1₂

0

1

(1 − u ² )(1 + 2u) du 23.

(Einteg86.tex)

Valeur de l’int´ egrale : ¹ ₃ . 24.

(Einteg91.tex)

(−1) ^k − 1 (kπ) ² . 25.

(Einteg5.tex)

xe ^x

26.

(Einteg72.tex)

Z tan t u

1 + 2u ² du = 1

4 ln(1 + 2 tan ² t) 27.

(Einteg56.tex)

1

sin ϕ arctan x − cos ϕ sin ϕ 28.

(Einteg26.tex)

x ² 4 + 1

4 sin(2x) + 1

8 cos(2x) 29.

(Einteg42.tex)

I = Z

^π₄

−

^π₄

dt 2 + cos t 30.

(Eexo173.tex)

− ln cos x

31.

(Einteg60.tex)

I = 3 Z 2

¹6

1

t ³ t + 1 dt 32.

(Eexo220.tex)

1

2 + i e ^(2+i)x 33.

(Einteg74.tex)

Z cos t dy y ⁴ (y ² − 1) 34.

(Eexo171.tex)

1 2 p

|λ|

− ln(1 − x p

|λ|) + ln(1 + x p

|λ|)

35.

(Eexo200.tex)

−f (−x) 36.

(Einteg22.tex)

√ 1

5 arctan( √ 5x) 37.

(Eexo166.tex)

2 ln 2 − 1

38.

(Eexo261.tex)

x − √

3 arctan ^x

√ 3

3 + λ, λ ∈ R . 39.

(Einteg85.tex)

R´ esultat du changement de variable

I = Z

^π₂

0

e ^t cos(t) dt 40.

(Einteg27.tex)

ln |x| − ln |x + 1|

41.

(Einteg36.tex)

I = Z 1

0

2 du (a − b)u ² + a + b 42.

(Einteg4.tex)

(x − 1)e ^x

1 ACInteg

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43.

(Einteg8.tex)

1

tan ^x ₂ = cos x + 1 sin x 44.

(Eexo253.tex)

1

2

45.

(Eexo57.tex)

tan x 46.

(Eexo208.tex)

∃c ∈]a, b[ tel que

R = (b − a) ⁿ⁺¹

(n + 1)! f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) 47.

(Einteg20.tex)

x ln(x ² + 1) − 2x + 2 arctan x 48.

(Eexo259.tex)

ln 3 − ln 2 + 2 √

2 − 2.

49.

(Einteg35.tex)

Les fonctions f et g doivent ˆ etre C ¹ ([a, b]).

50.

(Einteg23.tex)

1

9 e ^3x (3x − 1) 51.

(Einteg28.tex)

−3 ln |x + 3| + 2 ln |x + 1|

52.

(Eexo264.tex)

3

2 x ^2/3 − ¹² ₇ x ^7/6 + ³ ₅ x ^5/3 + λ, λ ∈ R 53.

(Einteg2.tex)

tan x − x

54.

(Einteg54.tex)

I = 2 Z

√ 2 0

(u ² − 1) ² + 1 du

55.

(Einteg90.tex)

t 7→ 1

4 (t − a) ⁴ . 56.

(Eexo52.tex)

Sur ] − 1, 1[

x arcsin x + p 1 − x ² 57.

(Einteg67.tex)

]0, +∞[, 1

2 argch(2x + 1) ] − ∞, −1[, − 1

2 argch(−2x − 1) 58.

(Einteg16.tex)

ln(1 + ch x) 59.

(Einteg53.tex)

I = Z 1

0

2 3 + u ² du

60.

(Einteg84.tex)

R´ esultat des deux int´ egrations par parties : I = −1 + J, J = e

^π2

− I

On en d´ eduit I = 1

2 (e

^π2

− 1), J = 1

2 (e

^π2

+ 1)

61.

(Einteg46.tex)

(−a cos(bx) + b sin(bx)) e ^−ax a ² + b ² 62.

(Einteg77.tex)

1

5 arctan x − 2 5 63.

(Einteg57.tex)

√ 1

2 arctan e ^x

√ 2 64.

(Einteg13.tex)

1

2 sin x − 1 10 sin 5x 65.

(Eexo58.tex)

− 1

3 cos ³ x + 1 5 cos ⁵ x 66.

(Einteg21.tex)

1

2 ln(1 + x ² ) + arctan x 67.

(Einteg66.tex)

R : 1

2 argsh(2x + 1) 68.

(Eexo219.tex)

−2x sin x cos x

69.

(Eexo260.tex)

x

³

3 − ₁₀ ³ x ^10/3 + λ, λ ∈ R . 70.

(Einteg52.tex)

π

2

71.

(Einteg45.tex)

I = Z

^π₄

0

cos ² θ 1 + sin ² θ dθ 72.

(Eexo163.tex)

x arccos x − √

1 − x ² 73.

(Einteg82.tex)

Z

¹₂

0

u ² 1 − u ² du 74.

(Eexo59.tex)

1 8 + 1

8 cos x sin x − 1

4 sin x cos ³ x 75.

(Eexo53.tex)

√ 2

3 arctan 2x + 1

√ 3 76.

(Einteg49.tex)

argsh x a 77.

(Einteg33.tex)

1 ln a a ^x 78.

(Einteg25.tex)

x 2 − 1

4a sin(ax) 79.

(Eexo54.tex)

− 1

2 ln |1 − x| + 1

2 ln |1 + x|

80.

(Eexo46.tex)

x arcsin x + p 1 − x ² 81.

(Einteg11.tex)

1

2 sin x + 1 10 sin 5x

2 ACInteg

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82.

(Einteg1.tex)

tan x 83.

(Eexo269.tex)

π

²

72 + ^π ₆ √ 3 − 1.

84.

(Eexo51.tex)

−2 arcth e ^x

85.

(Einteg34.tex)

La fonction f doit ˆ etre continue dans [−1, 1].

Sa d´ eriv´ ee est alors :

cos xf (sin x) + sin xf(cos x) 86.

(Einteg76.tex)

x arcsin x + p 1 − x ² 87.

(Einteg48.tex)

arcsin x a 88.

(Einteg68.tex)

]0, 1[: 1

2 arcsin(2x − 1) 89.

(Einteg62.tex)

S n ≤ Z n+1

1

√ tdt = 2

3

(n + 1)

³²

− 1 90.

(Eexo168.tex)

Z e

^t

1

2du 3u ² + 2u + 1

91.

(Eexo265.tex)

(x ² + ⁵ ₃ x− ³⁸ ₉ ) sin 3x+( ² ₃ x+ ⁵ ₉ ) cos 3x+λ, λ ∈ R 92.

(Einteg89.tex)

Z x

0

arctan t dt = x arctan x − 1

2 ln(1 + x ² ) 93.

(Eexo175.tex)

ln sh x

94.

(Eexo271.tex)

−2 + ^π ₂ + ln 2.

95.

(Eexo270.tex)

1

2 (sh 1 sin 1 − ch 1 cos 1 + 1).

96.

(Eexo162.tex)

1

2 arctan x + x 2(1 + x ² ) 97.

(Einteg32.tex)

√ 2

3 arctan 2x − 1

√ 3 98.

(Eexo254.tex)

1

2

99.

(Einteg40.tex)

I = Z

¹₂

0

1 1 − 2u ² du 100.

(Einteg65.tex)

S _n ≥ Z n+1

2

√ dt

t = 2( √

n + 1 − √ 2) 101.

(Einteg50.tex)

argch x a 102.

(Einteg92.tex)

2(−1) ^k (kπ) ² . 103.

(Eexo159.tex)

− 1

2 ln(1 + cos x) + 1

2 ln(1 − cos x)

104.

(Einteg6.tex)

(x ² − x + 1)e ^x 105.

(Einteg15.tex)

(b − a) Z 1

0

f (a + u(b − a))du 106.

(Eexo170.tex)

√ 1

λ arctan x

√ λ 107.

(Einteg41.tex)

I = Z

^√1₂

1 2

1 − u ² u ² (2 − u ² ) du 108.

(Einteg70.tex)

] − 1, 3[: arcsin( x − 1 2 ) 109.

(Eexo257.tex)

0 car la fonction est impaire.

110.

(Einteg83.tex)

π 8

111.

(Eexo172.tex)

1 2 p

|λ|

ln(1 + p

|λ|x) − ln(1 − p

|λ|x) 112.

(Einteg18.tex)

1 5

p 1 + 5x ² 113.

(Einteg58.tex)

1

4 ln(2 − cos x) − 1

4 ln(2 + cos x) 114.

(Eexo60.tex)

x arctan x − 1

2 ln(1 + x ² ) 115.

(Einteg29.tex)

arctan(sin x) 116.

(Eexo207.tex)

Z b

a

(b − t) ⁿ

n! f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t)dt 117.

(Eexo255.tex)

0

118.

(Einteg78.tex)

1

2 ln(x ² − 4x + 29) + 2

5 arctan x − 2 5 119.

(Einteg24.tex)

sin x − 1 3 sin ³ x en ´ ecrivant (1 − sin ² x) cos x ou

1

12 sin(3x) + 3 4 sin x en lin´ earisant.

120.

(Eexo165.tex)

Z 1

0

dt

1 + t = ln 2 121.

(Eexo268.tex)

π

12 + ¹ ₂ √ 3 − 1.

122.

(Eexo55.tex)

ln(cosh x)

3 ACInteg

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123.

(Eexo263.tex)

tan x + ln 1 + tan ² x

+ λ ou tan x − 2 ln | cos x| + λ avec λ ∈ R

124.

(Einteg43.tex)

I = Z

^√1₂

1 2

1 (1 − u ² ) ³ du 125.

(Eexo222.tex)

ln 2 2 126.

(Einteg7.tex)

Z

^√1₂

0

u ² (1 − u ² ) ² du 127.

(Eexo272.tex)

2 arctan √

2 − ¹ ₂ π 128.

(Eexo161.tex)

x ln x − x 129.

(Einteg88.tex)

1

3 + ln 3 e ^3x 3 ^x 130.

(Eexo169.tex)

√ 1

λ arctan x

√ λ 131.

(Einteg3.tex)

x tan x − ¹ ₂ x ² + ln | cos x|

132.

(Eexo267.tex)

2

3 x ^3/2 − (x − 1) ^3/2

+ λ, λ ∈ R 133.

(Einteg12.tex)

− 1

2 cos x − 1 10 cos 5x 134.

(Einteg47.tex)

(−a sin(bx) − b cos(bx)) e ^−ax a ² + b ² 135.

(Eexo48.tex)

x − ⁷ ₃ x ³ + o(x ³ )

136.

(Eexo256.tex)

3π 4

137.

(Einteg75.tex)

4 e 138.

(Einteg73.tex)

−

Z cotan t

(1 + u ² ) du = − cotan t − 1 3

3

cotan t 139.

(Einteg9.tex)

√ 2

3 arctan tan ^x ₂

√ 3

140.

(Einteg38.tex)

I = Z 1

0

1 − u

(1 + u)(1 + u ² ) du 141.

(Eexo56.tex)

− coth x 142.

(Einteg55.tex)

I = Z e

1

4

u ⁴ − 4u + 3 du 143.

(Eexo160.tex)

2 arctan e ^x ou arctan(sh x) 144.

(Eexo50.tex)

1

2 ln(1 + sin x) − 1

2 ln(1 − sin x)

145.

(Eexo258.tex)

√ 3 − ² ₃ √ 2 − ¹ ₃ . 146.

(Einteg14.tex)

ln 2

147.

(Einteg30.tex)

x ²

3 sin 3x + 2x

9 cos 3x − 2 27 sin 3x 148.

(Eexo167.tex)

1

1 + i e ^(1+i)x 149.

(Einteg79.tex)

2x

1 + x ⁸ − 1 1 + x ⁴ 150.

(Einteg71.tex)

]1, +∞[, argch( x − 2 3 ) ] − ∞, −5[, − argch( 2 − x

3 )

4 ACInteg