FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

1.

(Evocens64.tex)

∃(x, y) ∈ I

²

tq x < y et f (x) < f (y) 2.

(Evocens49.tex)

non

3.

(Evocens17.tex)

oui

4.

(Evocens88.tex)

L’ensemble vide ∅.

5.

(Evocens48.tex)

La fonction exponentielle est strictement croissante.

6.

(Evocens83.tex)

∀n ∈ N , ∃m ∈ N tq n = m

²

∃n ∈ N , tq ∀m ∈ N , n 6= m

²

7.

(Evocens80.tex)

La proposition est vraie.

8.

(Evocens8.tex)

2

^m

9.

(Evocens5.tex)

1 → ∅ , 2 → {1}

10.

(Evocens74.tex)

min(x

1

, · · · , x

p

) < 1 ⇔ ∃i ∈ J 1, p K tq x

i

< 1 11.

(Evocens84.tex)

Vraie (le nom des variables locales est

´ echang´ e)

12.

(Evocens37.tex)

Elle est d´ ecroissante.

13.

(Evocens86.tex)

Dans le mˆ eme ordre : V, F, V, F.

14.

(Evocens28.tex)

∃y ∈ F tel que ∀x ∈ E : f (x) 6= y 15.

(Evocens61.tex)

n > b ε 16.

(Eexo193.tex)

non

17.

(Evocens31.tex)

∃a ∈ A, ∃u ∈ E tel que f (u) = a

18.

(Evocens45.tex)

La proposition est vraie (encadrement), la justification est fausse (le PLI suppose la convergence des suites).

19.

(Evocens60.tex)

∀i ∈ {1, · · · , p}, a

i

6= 0 20.

(Evocens56.tex)

A ⇒ B 21.

(Evocens54.tex)

Des parties de A.

22.

(Evocens71.tex)

max(x

₁

, · · · , x

_p

) < 1 ⇔ ∀i ∈ J 1, p K , 1 − x

_i

> 0 23.

(Evocens39.tex)

{∅, {a}}.

24.

(Evocens40.tex)

{∅, {a}, {b}, {a, b}}.

25.

(Evocens63.tex)

∃(x, y) ∈ I

²

tq x < y et f (x) > f (y) 26.

(Evocens19.tex)

P (f

_K

,

_K¹

)

27.

(Evocens57.tex)

B ⇒ A

28.

(Evocens35.tex)

(∃u ∈ E tel que f (u) = a) ⇒ a ∈ B 29.

(Evocens53.tex)

∃b ∈ B tel que ∀i ∈ {1, · · · , p} : b 6∈ A

_i

30.

(Evocens2.tex)

non.

31.

(Evocens72.tex)

max(x

₁

, · · · , x

_p

) > 1 ⇔ ∃i ∈ J 1, p K tq 1 < x

_i

32.

(Evocens58.tex)

(a

₁

, · · · , a

_p

) 6= (0, · · · , 0) = 0

_Rn

33.

(Evocens62.tex)

k

⁰

= n + 1 − k. L’implication est fausse ; en particulier 0 ∈ A mais π 6∈ A.

34.

(Evocens52.tex)

non.

35.

(Eexo191.tex)

∃m > 0 ∈ R , ∀x ∈ A, m ≤ x 36.

(Evocens1.tex)

oui

37.

(Evocens81.tex)

(P et (non P)) : F, (P ou (non P )) : V 38.

(Evocens33.tex)

∀a ∈ A, ∀u ∈ E : f(u) 6= a 39.

(Evocens69.tex)

– Si b < a

²

: pas de solution.

– Si b ≥ a

²

: un unique couple solution 40.

(Evocens42.tex)

{∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.

41.

(Evocens30.tex)

∃a ∈ E tel que f(a) 6= 0 42.

(Evocens41.tex)

{∅, {∅}}.

43.

(Evocens9.tex)

X

(i,j)∈T

a

_i,j

=

p

X

i=1





i

X

j=1

a

_i,j





44.

(Evocens21.tex)

incorrecte

45.

(Evocens68.tex)

C’est parce que la fonction ln est strictement croissante.

46.

(Evocens66.tex)

∃(x, y) ∈ I

²

tq x < y et f (x) ≤ f (y) 47.

(Eexo190.tex)

∃m ∈ R , ∀x ∈ A, m ≤ x

48.

(Evocens77.tex)

f (A) ⊂ g

⁻¹

(A) 49.

(Evocens51.tex)

∀i ∈ {1, · · · , p}, ∃b

i

∈ B tel que b

i

6∈ A

i

1 ACVocens

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

50.

(Evocens46.tex)

La proposition est vraie (encadrement), la justification est fausse (il n’y a aucune suite monotone dans l’´ enonc´ e).

51.

(Evocens6.tex)

∅ → 2, {1} → 1, {2} → 1, {1, 2} → 1 52.

(Evocens25.tex)

∀y ∈ F, ∃ (un unique) x ∈ E tel que f (x) = y 53.

(Evocens11.tex)

X

(i,j)∈T

a

_i,j

=

p

X

i=1





q

X

j=i

a

_i,j





54.

(Eexo189.tex)

∃M ∈ R , ∀x ∈ A, x ≤ M 55.

(Evocens59.tex)

∃i ∈ {1, · · · , p} tq a

_i

6= 0 56.

(Evocens20.tex)

incorrecte

57.

(Evocens70.tex)

∀(p, q) ∈ N

²

, p ≤ q ⇒ f

p

(x) ≤ f

q

(x)

∀(u, v) ∈ R

²

, u ≤ v ⇒ f

n

(v) ≤ f

v

(v) 58.

(Evocens10.tex)

X

(i,j)∈T

a

_i,j

=

q

X

j=1





p

X

i=j

a

_i,j





59.

(Eexo194.tex)

non 60.

(Evocens55.tex)

B ⊂ A.

61.

(Evocens7.tex)

n

^m

62.

(Evocens29.tex)

∃(a, b) ∈ E

²

tels que : a 6= b et f (a) = f (b) 63.

(Evocens65.tex)

∃(x, y) ∈ I

²

tq x < y et f (x) ≥ f (y) 64.

(Eexo192.tex)

∃m < 0 ∈ R , ∀x ∈ I, f(x) ≤ m 65.

(Evocens34.tex)

∀a ∈ A, ∃u ∈ E tel que f (u) = a 66.

(Evocens12.tex)

X

(i,j)∈T

a

_i,j

=

q

X

j=1





min(j,p)

X

i=1

a

_i,j





67.

(Evocens16.tex)

vraie 68.

(Evocens23.tex)

vraie 69.

(Evocens79.tex)

((1 = 2) ⇒ (0 = 0)) : V ((1 = 2) ⇒ (0 6= 0)) : V ((1 = 1) ⇒ (1 = 0)) : F

70.

(Evocens43.tex)

fausse

71.

(Evocens85.tex)

Dans le mˆ eme ordre : V, V, F, F.

72.

(Eexo143.tex)

∃M ∈ R , ∀x ∈ I : |f (x)| ≤ M 73.

(Evocens87.tex)

∅ ∈ {∅} Vraie

∅ ⊂ {∅} Vraie

{∅} = ∅ Fausse

∅ ∈ {∅} ⇒ {∅} 6= ∅ Vraie.

74.

(Evocens15.tex)

incorrecte 75.

(Evocens26.tex)

∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que f (x) = y 76.

(Evocens27.tex)

∀(a, b) ∈ E

²

: f (a) = f (b) ⇒ a = b

77.

(Evocens44.tex)

La proposition est vraie (TVI), la justifica- tion est fausse (la fonction n’est pas suppos´ ee d´ erivable).

78.

(Evocens22.tex)

incorrecte 79.

(Eexo195.tex)

oui

80.

(Evocens32.tex)

∃a ∈ A tel que ∀u ∈ E, f(u) 6= a 81.

(Evocens76.tex)

g

⁻¹

(A) ⊂ f (A) 82.

(Evocens24.tex)

fausse (elle converge vers ln 2) 83.

(Evocens38.tex)

{∅}.

84.

(Evocens82.tex)

La proposition est vraie (x est un nom local

`

a chaque proposition.

85.

(Evocens47.tex)

La proposition est vraie , la justification (thm encadrement) est valide.

86.

(Evocens75.tex)

min(x

1

, · · · , x

p

) > 1 ⇔ ∀i ∈ J 1, p K , x

i

> 1 87.

(Evocens4.tex)

oui

88.

(Evocens3.tex)

non 89.

(Evocens18.tex)

oui et oui

90.

(Evocens50.tex)

F(B, R ) → F (A, R ) 91.

(Evocens14.tex)

fausse

92.

(Evocens13.tex)

incorrecte 93.

(Evocens67.tex)

∃z ∈ X tq ∀a ∈ A : f (a) 6= z 94.

(Evocens73.tex)

max(x

₁

, · · · , x

_p

) < 1 ⇔ ∀i ∈ J 1, p K , x

_i

< 1 95.

(Evocens36.tex)

Elle est croissante.

96.

(Evocens78.tex)

A ∈ P(E) : V, P (A) ⊂ P(E) : V P (A) ∈ P(E) : F, P (A) ∈ P (P (E)) : V

2 ACVocens