Aucune justification n’est demandée 1

Exercice 1 : 2

Points

Répondre par vrai ou faux a chacune des propositions suivantes.

Aucune justification n’est demandée 1

1

1 1----Le discriminant ∆ du trinôme − 2 x + x

²

+ 1 est ∆ = 9 2

2

2 2----Si GB 4

GA = 3 alors G est barycentre des points pondérés (A,4) et ( B , − 3 ) Exercice 2 : : : : 6

Points

On considère le polynôme P ( x ) = x

³

− 6 x

²

+ 11 x − 6 1

1

1 1---- a aa a----Montrer que 2 est une racine du polynôme P b b b b----En déduire que P ( x ) = ( x − 2 )( x

²

− 4 x + 3 )

2 2

2 2---- a a a----Résoudre dans a R l’équation x

³

− 6 x

²

+ 11 x − 6 = 0 b

b b

b----En déduire les solutions dans R de l’équation x

⁶

− 6 x

⁴

+ 11 x

²

− 6 = 0

c cc c----Factoriser le polynôme Q ( x ) = x

⁶

− 6 x

⁴

+ 11 x

²

− 6 en produit de 6 facteurs de premier degré

3 3

3 3---- a aa a----Donner le tableau de signe de P(x)

b b b

b----En déduire que pour tout réel x de l’intervalle [ ] ^{1 , 2 on a P ( x + 1 ) ≤ P ( x )}

4 4

4 4---- a aa a----Résoudre dans R l’inéquation x

³

− 6 x

²

+ 11 x − 6 ≤ 0

b b b b----En déduire les solutions dans R de l’inéquation x

³

+ 11 x ≤ 6 x

²

+ 6

Exercice 3

:

5

Points

Dans la figure1 si contre on a :

• ABCD est un trapèze isocèle et rectangle en A

^A1

• AB = AD = 6 cm et DC = 5 cm

• EFGD est un carrée de coté x et d’aire

^A1

^{; x ∈} ] ] ^{0 , 5}

• ABF est un triangle de hauteur h et d’aire

^A2

1

1

1 1----

aa a----Exprimer les deux aires a

^A1

_et

A₂

en fonction de x

^A2

b b----Déterminer x pour que b b

^A1

=

^A2

2 2

2 2---- Le plan est rapporté au repère orthonormé repère orthonormé repère orthonormé repère orthonormé R R R R _{= ( A , AB , AD )}

figure1figure1figure1figure1

a aa a-Sur quel intervalle I varie t-il le réel x ?

b b b----Déterminer les coordonnées des points A, B, D et F dans le repère b R R R R

cc c----Montrer que les points B , D et F sont alignés pour tout réel x du l’intervalle I c

d d----Déterminer x pour que les deux vecteurs AF et BF soient orthogonaux d d

1

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE DIRECTION REGIONALE

DE MANOUBA

Devoir de synthèse N° 1 Mathématiques

Classe : Deuxième sciences1+2

LYCEE SECONDAIRE OUED ELLIL

ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013 Prof : Mr Bellassoued Durée :Deux heures Date : Décembre 2012

Exercice 4: 7

Points

Soit ABC un triangle isocèle en A . AB = AC = 3 et BC = 5 1

1

1 1----Construire le point G barycentre des points pondérés (A,5) et (C,-2) 2 2

2 2----Soit F le point du plan tel que 5 FA + 2 FB − 2 FC = 0

a aa a----Montrer que F est barycentre des points pondérés (G,3) et (B,2)

b b b b----Construire le point F 3 3

3 3----a aa a----Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan vérifiant 5 MA − 2 MC = 6

b b b b----Vérifier que A est un point de cet ensemble 4

4

4 4---- Montrer que la droite (AF) est parallèle a la droite (BC) 5

5

5 5---- La droite passante par F et parallèle a (AC) coupe (BC) en I . Montrer que I est le barycentre des points pondérés (B,2) et (C,3) 6 6

6 6----a aa a----Vérifier que le quadrilatère AFIC est un parallélogramme . On note K son centre.

b b b b----Montrer que CB 5 CA 1 2

CK = 1 +

c cc c----En déduire que K est barycentre des points A , B et C affectés des coefficients α , β et _γ que l’on déterminera

CORRECTION DE DEVOIR DE SYNTHESE N°1 Exercice 1

1111----Le discriminant

∆

du trinôme −

2 x

+

x

² +

1

^est ∆=⁹ : Faux Faux Faux Faux Justification

Justification Justification

Justification : : : : −2x+x²+1=x²−2x+1

•

^a=^1;b=−^2;c=¹. ∆=b²−4ac=4−4×1×1=4−4=0 2

2 2

2---- Si GB 4

GA=3 alors G est barycentre des points pondérés (A,4) et (B,−3) : VraiVraiVraiVrai Justification

Justification Justification

Justification :::: GB 4

GA=3 signifie 4GA−3GB=0donc G est barycentre des points (A,4) et (B,−3) Exercice 2

11

11----a a a a

P ( x )

=

x

³−

6 x

²+

11 x

−

6

0 6 22 24 8 6 2 11 2 6 2 ) 2 ( P

16 16

2

3− × + × − = − + − =

=

− 3 123

2

1 , donc 2 est une racine du polynôme P

bbbb----P(x)=(x−2)(x² −4x+3) :

Première méthode Première méthode Première méthode Première méthode deuxième méthode deuxième méthode deuxième méthode deuxième méthode troisième méthode troisième méthode troisième méthode troisième méthode

c 2 x ) b 2 c ( x ) a 2 b ( ax

c 2 bx 2 ax 2 cx bx ax

) c bx ax )(

2 x ( ) x ( P

2 3

2 2

3

2

−

− +

− +

=

−

−

− + +

=

+ +

−

=

On développe

( x

−

2 )( x

² −

4 x

+

3 )

Par identification on aura

Par identification on aura Par identification on aura Par identification on aura ::::

d’où P(x)=(x−2)(x² −4x+3) P(x)=(x−2)(x² −4x+3)

2

) 3 x 4 x )(

2 x ( ) x (

P = − ²− +











=

⇔

−

=

−

=

−

−

=

−

=

⇔

−

=

−

=

3 c 6 c 2

verifié :

11 b 2 c

4 6 a 2 b 6 a 2 b

1 a

6 x 11 x 6 x

6 x 8 x 3 x 2 x 4 x

6 x 8 x 2 x 3 x 4 x

2 3

x x 11

6 2 2 3

2 2

3

2

− +

−

=

− + +

−

−

=

− +

− +

−

=

−

43 42 1 43 42 1

2 2 2

2---- a a a---- a

x

³ −

6 x

² +

11 x

−

6

=

0

signifie (x−2)(x² −4x+3)=0 signifie x−2=0ou

( x

² −

4 x

+

3 )

=

0

x−2=0 signifie x=2 ;

( x

²−

4 x

+

3 )

=

0

^:

¹

⁺

( )

⁻

⁴

⁺

³

⁼

⁰

^{donc x′=1 et 3}

a

x′′= c = donc S_R⁼

{ } ^{1 ; 2 ; 3}

. bbb----On pose b X=x²; E : X³ −6X² +11X−6=0 d’après 222 /a2/a/a/a X=x² =1 ouX=x² =2 ou X=x² =3

signifie x=1oux=−1oux= 2ou x=− 2oux= 3ou x=− 3 donc S_R ⁼

{

^{− 3;− 2;−1;1; 2; 3}

}

cccc---- − 3;− 2;−1;1; 2et 3sont les six racines du polynôme x⁶−6x⁴+11x²−6 , et puisque le coefficient

du monôme du plus degré est 1 alors : X⁶−6X⁴+11X²−6=(x− 3)(x− 2)(x−1)(x+1)(x+ 2)(x+ 3)

3 3 3

3---- a a a---- le tableau de signe de P(x) ( Voir tableau) a ( Voir tableau)( Voir tableau) ( Voir tableau)

b b b

b---- d’après le tableau d’après le tableau d’après le tableau d’après le tableau ; ; ; Si ;

^x

∈

[ ] ^{1 , 2}

^{alors P(x)}≥⁰

^x

∈

[ ] ^{1 , 2}

donc

^x

+

¹

∈

[ ] ^{2 , 3}

alors P(x+1)≤0 et par suite Si

^{x ∈} [ ] ^{1 , 2}

^{P(x+1)≤P(x)}

4 4 4

4---- a a a---- a x³−6x²+11x−6≤0 ; S_R =

]

−∞

^{, 1} ] [ ]

^U

^{2 , 3}

bbbb----

x

³+

11 x

≤

6 x

²+

6

; l’inéquation est définie si





≥ +

≥ +

0 6 x 6

0 x 11 x

2 3

sig







≥ +

≥ +

≥

≥

0 6 x 6

0 ) 11 x ( x

0 2

0 2

3 2 1

43 42 1

0 x≥

⇔

x

³+

11 x

≤

6 x

²+

6

sig





≥

+

≤ +

0 x

6 x 6 x 11

x

^{3 2}

sig

≥

≤

−

− +

0 x

0 6 x 6 x 11

x

^{3 2}

sig 

≥

≤ 0 x

0 ) x (

P

donc d’après le tableau de signe S_R ⁼

( ]

^−∞

^{, 1} ] [ ]

^U

^{2 , 3} )

^I

[ ^{0 ,}

^+∞

[ [ ] [ ]

⁼

^{0 , 1}

^U

^{2 , 3}

^{,d’où S}R ⁼

[ ] [ ] ^{0 , 1}

^U

^{2 , 3}

Exercice 3

1 1 1

1---- a a a---- a A₁

=

x×x=x² A₁

=

x² ; A₂

=

2 h AB×

; A₂

= 3 ( 6 x )

2 ) x 6 ( 6

h

−

×

− =

×678

18 x 3 +

−

= ; A₂ =−3x+18

bbb----b A1

=

^{A2 sig x2}=−^3x+¹⁸ et

^x

^∈

] ] ^{0 , 5}

^{sig x2+3x−18=0 et}

^x

^∈

] ] ^{0 , 5}

^{∆=b2−4ac=9−4×1×}

( )

^{−18 =4+72=81.}

⁶

] ]

^0,5

2 12 2

9 3 a

2

x′= −b− ∆ = − − = − =− ∉ ³

] ]

^0,5

2 6 2

9 3 a

2

x′′= −b+ ∆ = − + = = ∈

d’où A1

=

^A2 pour x=3 2

2 2

2---- aaaa---- Suivant le repère RRRR

= ( A , AB , AD )

, l’unité de l’unité de l’unité de longueurl’unité de longueurlongueurlongueur est 6 cm est 6 cm est 6 cm est 6 cm A1 B est un point unitaire et puisque CD=5cm ,alors 

 



=

∈ 6

,5 0 I

x

bbb----A(0,0) ; B(1,0) ; D(0,1) et F(x,1-x)b

A2

ccc---- c 







−

=









−

= −









−

−

1 1 0

1 1 0 y

y x BD x

B D

B

D ;

( ) ( ^{1 x} ) ^BD

1 x 1 x 1

1 1 x y

y x BF x

B F

B

F = −







−

−

=









−

= −









−

−

les deux vecteurs

BF

et

BD

sont colinéaires pour toutx∈Iet par suite les les points B,D et F sont alignés.

dddd---- 









= −









−

−

x 1

x y

y x AF x

A F

A

F et 









−

= − x 1

1

BF x .

AF

et

BF

sont orthogonaux sig ^x

(

^x−1

) (

^{+ 1−x}

)

^{2 =0} sig ^x

(

^x−1

) (

^{+ x−1}

)

^{2 =0, or x≠1, alors x+x−1=0 sig 2x=1} et par suite x=0,5∈I

3

Exercice 4 11

11----le point G barycentre des points pondérés (A,5) et (C,-2) :

( )

^{2 AC 32AC}

5

AG 2 =−

− +

= − (voir figure)

2 2 2

2---- aaaa----F le point du plan tel que

5 FA

+

2 FB

−

2 FC

=

0

5 FA

+

2 FB

−

2 FC

=

0

^signifie

5 FA

−

2 FC

+

2 FB

=

0

. G barycentre des points (A,5) et (C,-2) donc 5FA−2FC=(5−2)FG=3FG :et par suite 5FA 2FC 2FB 0

FG 3

= +

−43 42

1 signifie 3FG+2FB=0

•

³+²=⁵≠⁰ donc F est barycentre des points pondérésF est barycentre des points pondérésF est barycentre des points pondérésF est barycentre des points pondérés (G,3) et (B,2)(G,3) et (B,2)(G,3) et (B,2)(G,3) et (B,2) b b b b---- GB

5 GB 2 2 3

GF 2 =

= + , d’où la construction du point F ( voir figure) 33

33---- aaaa---- Ensemble des points M du plan vérifiant

5 MA

−

2 MC

=

6

•

G est barycentre des points (A,5) et (C,-2) donc

^{5 MA}

⁻

^{2 MC}

⁼

( ⁵

⁻

² ) ^MG

⁼

^{3 MG}

• 5 MA

−

2 MC

=

6

^signifie

3 MG

=

6

donc

MG

=

2

, et par suite GM=2,ainsi l’ensemble cherché est le cercle le cercle le cercle le cercle CCCC de centre G et de rayon de centre G et de rayon de centre G et de rayon de centre G et de rayon

R = 2

.... Pour la construction voir figure

b b b b----

A ∈

^{C C C C} : : : : AC 3

AG=−2 donc AC

3

AG = −2 et par suite 3 3

3 AC 2 3

AG=2 = × = , ainsi

A ∈

^{C C C C} 4

4 4

4----

Première méthode Première méthode Première méthode Première méthode

_:

5 FA

+

2 FB

−

2 FC

=

0

d’après Chasles 5FA+2(FA+AB)−2(FA+AC)=5FA+2FA−2FA+2AB−2AC=0 sig 5FA+2AB+2CA =0 sig 5FA+2(CA+AB)=0 5FA+2CB=0 donc CB

5 FA=−2 les deux vecteurs

AF

et BC sont colinéaires et par suite (AF)⁄⁄ (BC)

deuxième méthode deuxième méthode :::: deuxième méthode deuxième méthode •

^GC

3 AG 2 3 ) 2 GC AG 3( AC 2 3

AG=−2 =− + =− − sig GC

3 AG 2 3

AG+2 =− sig

sig GC

3 AG 2 3

5 =− et par suite GC

5

AG=−2 donc

5 2 GC

GA = ;

•

GB

5

GF=2 donc

5 2 GB

GF = , ainsi

5 2 GB GF GC

GA= =

•

Les points G , A et C d’une part , et les points G ,F et B d’autre part sont alignés dans le même ordre, et

GB GF GC

GA = , donc d’après la réciproque du théorème de Thalèsla réciproque du théorème de Thalèsla réciproque du théorème de Thalès on a la réciproque du théorème de Thalès (AF)⁄⁄ (BC) 555

5----On appliquant le théorème de Thalèsthéorème de Thalèsthéorème de Thalès tel que théorème de Thalès

( IF )

⁄⁄ (GC) ; F∈(BG) et I∈(BC) :

5

2 GB GF CB

CI = = donc

5 2 CB

CI = et par suite CB 5 CI=2

•

Les vecteurs

CI

et

CB

sont colinéaires de même sens

donc CB

5

CI=2 CB

3 2

2

= + , ainsi I est le barycentre desI est le barycentre desI est le barycentre des pointsI est le barycentre despointspointspoints

pondérés (B,2) et (C,3)pondérés (B,2) et (C,3)pondérés (B,2) et (C,3)pondérés (B,2) et (C,3) . 6

6

66---- aaaa----

( AF )

⁄⁄ (IC) et

( FI )

⁄⁄ (AC) donc AFIC est un parallélogrammeparallélogrammeparallélogrammeparallélogramme bbbb----K est le centre du parallélogramme AFIC , donc CF

2 CK =1

signifie (CA CI)

2

CK=1 + CB

5 CA 1 2 ) 1 5CB CA 2 2(

1 + = +

= et par suite CB

5 CA 1 2

CK=1 +

cccc---- CB CA CB

10 CA 2 10 CB 5 5 CA 1 2 CK 1

γ + β + α + β γ + β + α

= α +

= +

= avec

{











= γ

⇔

= γ + β + α

= β

= α

3 10

2 5

7

ainsi le point KKK est barycentre des points pondérésK est barycentre des points pondérés est barycentre des points pondérés est barycentre des points pondérés (A(A(A ,5) , (B(A,5) , (B,5) , (B,5) , (B ,2) et (C,2) et (C,2) et (C,2) et (C ,3),3),3) ,3)

4 4