Exercice
Soit (un) et (vn) deux suites réelles définies par :
1
1
12 2
3
n n
n
u
u v
n IN u
et
1
1
1 3
4
n n
n
v
u v
n IN v
1. Pour tout entier n non nul, on pose wn = vn – un
a. Démontrer que (wn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b. Exprimer wn en fonction de n.
c. Démontrer que la suite (wn) est convergente et déterminer sa limite.
2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.
3. Déduire de ce qui précède que les suites (un) et (vn) convergent vers une même limite.
4. Pour tout entier n non nul, on pose tn = 3un + 8vn. a. Démontrer que (tn) est une suite constante.
b. En déduire la valeur de la limite commune aux suites (un) et (vn) . 5. Calculer en fonction de l'entier n :
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un et ∑n = v1 + v2 + v3 + … + vn
Correction 1.a.
w1 = v1 – u1 = 1 – 12 = – 11 Pour n non nul :
1 1 1
3 2 3 9 4 8
4 3 12 12 12
n n n n n n n n n n n
n n n
u v u v u v u v u v w
w v u wn est une suite géométrique de raison 1
12et de premier terme w1 = – 11 1.b.
1 1
1
1 1
12 11 12
n n
wn w
Et oui, attention, le premier terme est défini pour n = 1 ! 1.c.
la suite géométrique a une raison strictement inférieure à 1, elle est convergente et sa limite est 0.
2. 1
2 2 3 2 2
3 3 3 3
n n n n n
n n n n n n
u v u v u
u u u v u w
or, on a vu que la suite géométrique (wn) est strictement négative, donc un+1 – un est strictement négatif et la suite (un) décroissante.
De même, on a : 1
3 3 4 1 1
4 4 4 4
n n n n n
n n n n n n
u v u v v
v v v v u w strictement positif, donc (vn) strictement croissante.
3. Les suites (un) et (vn) sont respectivement croissantes et décroissantes, et un – vn converge vers 0, donc d'après le cours, on peut conclure que (un) et (vn) sont adjacentes et convergent vers une limite commune L.
4.a.
1 1 1
2 3
3 8 3 8 2 2 6 3 8
3 4
n n n n
n n n n n n n n n n
u v u v
t u v u v u v u v t on conclut donc que tn est constante et égale à t1 = 3u1 + 8v1 = 312 + 8 1 = 44 4.b.
Par passage à la limite de l'égalité tn = 3un + 8vn, on obtient :
lim lim 3 8 3 lim 8 lim 3 8 44
11 44
4
n n n n n
n t n u v n u n v L L
L L
5.
tn = 3un + 8vn
1 1 1 1 1 1
3 8 3 8 3 8 3 8
n n n n n n
n n n n n n n n n
k k k k k k
t u v u v u v S
or
1
44 44
n n k
t n n
d'où l'équation : 3Sn 8 n 44n
On sait de plus que wn vn unest une suite géométrique.
1 1
11 12
n
wn
D'une part : 1
1
1 1
1 12 12 1 1
11 11 1 12 1
1 1 1 11 12 12
12
n
n n
n n n k
w w q
q
d'autre part :
1 1 1 1
n n n n
n n n n n n n
k k k k
w v u v u S
Soit à résoudre le système :
3 8 44
12 1 1 12
n n
n
n n
S n
S
8 3 44 36 1 121 1 3 2
1 1 8 2
3 8 44 96 1
12
n
n n
n
n n
n L L
L L
S S n
ou encore :
36 1
4 1
11 12
96 1
4 1
11 12
n n
n n
n
S n
