Géométrie analitique. Application de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centre; ces lignes et surfaces étant rapportées à des axes de d

B ^ÉRARD

Géométrie analitique. Application de la méthode de maximis et minimis à la recherche des grandeur et direction des diamètres principaux, dans les lignes et surfaces du second ordre qui ont un centre; ces lignes et surfaces étant rapportées à des axes de directions quelconques, passant par ce centre

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 3 (1812-1813), p. 105-113

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I05

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Application de la méthode de maximis

et

minimis à la recherche des grandeur

^et

^{direction des diamètres} principaux , ^{dans les} lignes

^et

surfaces ^{du second}

ordre qui

^{ont un}

^centre;

^ces

lignes

^et

surfaces

^étant

rapportées

^à

^des

^axes

^de directions quelconques , pas-

sant

par

^ce

centre ;

Par M. BÉRARD, principal

^et

professeur ^de mathématiques

du

collège

^de

Briançon , ^{membre de} plusieurs ^sociétés

savantes.

LIGNES ET SURFACES DU SECOND

ORDRE.

LE _sujet

^dont

_je

^vais

_m’occuper

^a

_déjà

été traité de diverses manières dans ce

recueil ; mais ,

^outre

qu’on

^a

toujours supposé

^{que les}

lignes

et surfaces du second ordre étaient

rapportées

^{à des axes rectan-}

gulaires ;

^ce

qui

^{ôte aux résultats une}

généralité

^{souvent très-}

précieuse ;

^la méthode que

je

vais suivre ^me

paraît

^conduire

plus

directement et

plus simplement

^au but que ^{ne saurait} le faire la transformation des coordonnées

qui ,

^{dans le cas sur-tout où les}

coordonnées

primitives

^{ne sont} pas

rectangulaires ,

^{entraîne dans}

des calculs d’une extrême

complication.

^{Tel est le double motif}

qui

me détermine à revenir encore sur ce

sujet.

Soit

l’équation

^d’une

ligne

du second

ordre , rapportée

^{à son centre et}

à deux axes faisant entre eux un

angle

^03B3.

Tom. III.

^I5

I06 LIGNES ^{ET SURFACES}

En

désignant

par ^{r la distance dun}

point quelconque

^{de cette} courbe ^{à son} centre , ^{on aura}

Et la

propriété qui

caractérise les

quatre

^{sommets de la}

^courbe

^est que pour chacun

d’eux ,

^{r doit être un maximum ou un minimum.}

Supposons

donc que x ^et y soient les coordonnées ^{de l’un} de

ces sommets ,

auquel

^{cas r sera la} moitié de l’un des diamètres

principaux.

^Soit

posé

les équations (t)

^et

(2) deviendront

d’où on

conclura ,

par l’élimination de x2 ,

différentiant cette

équation ,

par

rapport à

p

seulement puisque ,

par

l’hypothèse , ^{dr=o ,}

^{il viendra}

d’ou

cette

valeur , substituée

dans

l’équation ^{(3) ;}

^donne

ou, ^en

développant

^et

ordonnant ,

Les

quatre

racines de cette

équation, lesquelles

^{seront , deux à}

^{deux 0} égales

^{et de}

signes contraires ,

^seront les distances du centre de la courbe à ses

quatre

^{sommets , ou , ce}

qui

^{revient au même , ses}

quatre

demi-diamètres

principaux.

Les deux valeurs

de r2 ,

^substi-

tuées dans celle de p ,

donneront 3

pour ^cette

inconnue ,

^{deux valeurs}

DU SECOND ORDRE.

I07

p’ , p" ,

^{et alors} les directions des diamètres

principaux

^{scront données}

par les deux

équations

Pour que les deux valeurs ^de r2 , tirées de

l’équation (4)

^soient

réelles

, il

faut ,

^{comme l’on}

sait,

_{que la}

quantité

soit

positive ;

or , cette

quantité

^{est la même chose} que la suivante

laquelle

^est essentiellement

positive ;

ainsi les deux valeurs de r3

seront

réelles ,

^{dans tous les cas.}

Maintenant,

^les valeurs de r2

peuvent

^{être ou toutes deux}

positives,

ou l’une

positive

^{et l’autre}

négative ,

^{ou enfin toutes deux}

négatives ;

et,

d’après

^les

principes

^{connus ,}

l’équation (I) appartiendra

^à

l’ellipse

dans lc

premier

^{cas, à}

l’hyperbole

^{dans le}

^{second ,}

^et

n’exprimera

absolument rien dans le troisième.

Dégageant

^{donc le}

premier

^terme

de

l’équation (4)

^{de son}

coefficient,

^et

appliquant

^la

règle

^de

Descartes ,

^on trouvera ,

après

^les réductions

convenables ,

que

l’équa-

tion

(i) appartient

^à

l’ellipse,

^{si l’on a}

qu’elle appartient

^à

l’hyperbole ,

^{si l’on a}

et

qu’enfin

^elle

n’exprime ^{rien ,}

^{si l’on a}

En

particulier

^{les deux valeurs de r2, et par}

conséquent

^celles

de _r, seront

égales,

^{si l’on a}

ce qui

^ne

peut

avoir lieu

qu’autant qu’on

^{aura à la fois}

et alors

l’équation (i) appartiendra

^{à un cercle.}

Dans le cas

particulier

^{où les axes des} coordonnées seront rectan-

I08

LIGNES ET SURFACES

gulaircs,

^{on aura} Cos.03B3=o ,

Sin.03B3=I ;

^{et il viendra}

conséquemment

l’équation (t) appartiendra

^à

l’ellipse ,

^{si l’on a}

à

l’hyperbole ,

^{si l’on a}

et elle

n’exprimera rien,

^{si l’on a}

En particulier ,

^elle

appartiendra

^au

^{cercle ,}

^{si l’on a ,}

^a

^la

^fois,

Tout cela s’accorde avec les

principes

^connus.

Supposons

que les ^axes des coordonnées soient deux diamètres

conjugues

^{de la}

courbe ;

^{alors on}

devra avoir

C=o.

L’équation (i)

deviendra

en sorCe que les

quarrés

des demi-diamètres

conjugués

^seront

la somme des

quarrés

^{de ces} demi-diamètres ^sera donc

et le

produit

^{de leurs}

quarrés

^{et du}

quarré

^{du sinus de}

l’-angle qu’ils

comprennent

^{ou , ce}

qui

^{revient au}

^{même ,}

^le

quarré

^de

^l’aire

^du

parallélogramme

^{construit sur leurs}

grandeurs

^et

directions y

^sera

Mais ,

^{dans la même}

hypothèse

^de

^{C=o ,} l’équation (4) ^devient

DU SECOND ORDRE.

I09

et , par la

théorie

des

équations,

^D.

^{A+B AB}

^{est la somme des}

^quarrés

des deux demi-diamètres

principaux,

^et

D2

_AB

_Sin.203B3

est le

produit

^des

quarrés

^{de ces diamètres.}

Done ,

^{dans les}

lignes

^du second ordre

qui

^{ont un}

centre, I.°

La ^somme des

quarrés

^{de deux} demi-diamètres

conjugués quelcon-

ques ^est

égale

^{à la somme des}

quarrés

^des deux demi-diamètres

principaux ;

^{2.° le}

parallélogramme

^{construit sur les}

grandeurs

et directions de deux demi-diamètres

conjugués quelconques

^est

équivalant

^au

rectangle

construit- sur les

grandeurs

^{et directions}

des deux demi-diamètres

principaux.

Soit

l’équation ^d’une

^surface du second

ordre, rapportée à

^{son centre}

et à trois axes dont les directions soient telles

qu’on

^ait

En

désignant

par ^r la distance d’un

point quelconque

^{de cette}

surface à

son centre , ^{on aura}

Et la

propriété qui

caractérise les six ^sommets de la surface courbe

est que , pour chacun

d’eux ,

^{r doit être un maximum} ou ^un minimum.

Supposons

donc que ^{x ,} y , z soient les coordonnées de l’un de

ces sommets,

auquel

^{cas r sera la} moitié de l’un des diamètres

principaux’.

^Soient

posés

les

équations (i)

^et

(2)

deviendront

û’où. ^ou

conclura ,

par l’élimination

de z2 ,

II0

LIGNES ^ET

^SURFACES

différentiant ^cette

équation ,

par

rapport à p et q seulement, puisque,

par

l’hypothèse,

^{dr= o ; et}

égalant séparément

^{à zéro les}

multipli-

cateurs de

dp

^et

dq ,

^{il viendra}

ce

qui

^donne

substituant

ces valeurs dans

l’équation (3) ,

^{elle deviendra}

(Ar22013D)(Br22013D)(Cr22013D)+2(A’r2-Dcos.03B1)(B’r22013DCos.03B2)(C’r22013DCos.03B3)

- (Ar2- D)(A’r2-DCos.03B1)2-(Br2-D)(B’r2-DCos.03B2)2- (Cr2-D)(C’r2-DCos.03B3)2=o, ou , ^en

développant

^et

ordonnant ,

Les six racines de cette

équation, lesquelles

^{seront, deux à}

^deux, égales

^{et de}

signes contraires ,

^{seront les} distances du ^centre de la surface courbe à ses six sommets, ou , ^ce

qui

^{revient au}

^même,

ses six demi-diamètres

principaux.

^{Les trois valeurs}

^{de r2. ,}

substituées dans celles

de p et q , donneront,

pour ^ces

inconnues,

^trois

systèmes

de valeurs

p’ , q’ , p" , q" , ^{plll )} q’’’ ,

^{et alors les} directions des

DU SECOND ORDRE.

III

diamètres principaux

^{seront donnés} par les trois

systèmes d’équations

On

^sait

qu’une équation

^{du troisième}

degré

^étant

pour

^{que ses} trois racines soient réelles ^et

inégales

^{il faut}

qu’on

^ait

en

appliquant

^{cette condition aux valeurs de}

^{r2 ,}

données par

l’équation (4) ,

^{on se} convaincra

qu’elles

^{sont toutes trois}

^{réelles ,}

^et

qu’ainsi

on

peut juger

^{de leurs}

signes

par les

signes

^{des termes de cette}

équation.

L’équation (1) appartiendra à l’ellipsoïde ,

si les trois valeurs de

r2 sont

positives ;

^elle

appartiendra

^à

l’hyperboloïde à

^une nappe , si une seule des valeurs de r2 ^est

négative ;

^elle

appartiendra a l’hyperboloïde

^{à deux} nappes , si ^une seule des valeurs de r2 est

positive ;

^enfin

l’équation (I) n’exprimera

absolument

rien ,

^{si les} valeurs ^de r2 , données _par

l’équation (4) ,

sont toutes trois

négatives ; c’est-à-dire,

^{si tous les termes de cette}

équation

^{ont le même}

signe.

Si deux des valeurs de r2 sont

égales ; c’est-à-dire si,

^{en con-}

servant les notations

qui

viennent d’être

employées ,

^{on a}

l’équation (ï) appartiendra

^{à une} surface de révolution. Si enfin les trois valeurs do

r2 ,

^étant

positives ,

^sont

égales

^entre

elles ,

^ce

qui arrivera,

^{si l’on} a , à la fois

l’équation (i) appartiendra

^{à une}

sphère.

Dans le cas

particulier

^{où les axes des} coordonnées seront rectan-

gulaires ,

^{on aura}

d’où

II2

LIGNES

^ET

^SURFACES

résultats

qui,

^{aux notations}

près,

coïncident

parfaitement

^{avec .ceux}

qui

^{ont été} donnés par M. Bref

(*).

Supposons présentement

^{que les axes des} coordonnées soient trois diamètres

conjugués ;

^{alors on} devra avoir

en sorte que

l’équation (I) ^deviendra

les

quarrés

^des demi-diamètres

conjugués

^{seront donc}

respectivement

et

l’équation (4)

^deviendra

ou

’d’où l’on

voit,

_par ^la théorie des

équations ,

que ^{la somme} des

quarrés

^des demi-diamètres

principaux

^est

(4) Voyez les pages 33 et I44 ^{du 2.e volume des} Annaley.

que

DU SECOND ORDRE.

II3

que ^{la somme} des

produits

^{de ces}

quarrés

deux à deux ^est

et

qu’enfin

^le

produit

^{de ces mêmes}

quarrés

^{ou le}

quarré

^du

produit

des demi-diamètres

principaux

^est

Donc,

^{dans les surfaces} du second ordre

qui

^{ont un centre, I.°}

La somme des

quarrés

^{de trois} demi-diamètres

conjugués quelconques ,

est

égale à

^{la somme des}

quarrés

^{des trois}

demi-diamètres principaux ;

2.° la somme des

quarrés

des aires des

trois faces adjacentes à

^l’un

des

angles

trièdres du

parallélipipèdá

^{construit sur les}

grandeurs

et directions de trois demi-diamètres

conjugués quelconques,

^est

égale à

^{la somme des}

quarrés

des aires des trois

faces adjacentes

à l’un des

angles

trièdres du

parallélipipède rectangle

^{construit sur}

les

grandeurs

^et directions des trois demi-diamètres

principaux ;

3.°

enfin ,

^le

parallélipipède

^{construit sur les}

grandeurs

^{et directions}

de trois demi-diamètres

conjugués quelconques ,

^est

équivalent

^au

parallélipipède rectangle

^{construit sur les}

grandeurs

^{et directions}

des trois demi-diamètres

principaux.

Ainsi,

^en

dénotant ,

pour

plus

^de

simplicité,

par ^a,

b

^{, c, les}

trois demi-diamètres

principaux,

^et par

al , b’ ,

^{c’ trois demi-}

diamètres

conjugués quelconques,

^{on aura les trois}

équations

sur

quoi

il faut remarquer que

quelques-unes

^des

lignes

^a,

^{a’ , b ,}

bl, c, CI

_peuvent ^être

imaginaires ,

^et

qu’alors

^leurs

^quarrés

^sont

négatifs.

Tom. III 16