Table des matières Une version utile Une version monotone... 5

(1)

Continuit´ e

Table des mati` eres

1 Autour de la notion de continuit´e 2

1.1 Fonction continues . . . 2

1.1.1 D´efinition de la continuit´e . . . 2

1.1.2 Le cas des sauts de discontinuit´e . . . 3

1.1.3 Théorèmes de stabilités . . . 3

1.1.4 Lien entre dérivabilité et continuité . . . 3

1.2 Théorème des valeurs intermédiaires et corollaires . . . 4

1.2.1 Un théorème général . . . 4

1.2.2 Une versionutile. . . 4

1.2.3 Une version monotone . . . 5

2 Th´eor`eme de la bijection 5 2.1 Quelques mots sur lesjections . . . 5

2.1.1 Injection, surjection et bijection . . . 5

2.1.2 Bijection r´eciproque : premiers exemples de fonctions bijectives et de leurs bijections r´eciproques . . 6

2.2 Enonc´´ e du th´eor`eme de la bijection . . . 8

2.3 Une application du th´eor`eme de la bijection : construction de la fonction ln . . . 9

2.3.1 Le logarithme n´ep´erien . . . 9

2.3.2 Relations fonctionnelles du logarithme n´ep´erien . . . 10

2.3.3 Résolution des équations et inéquationsen log . . . 10

2.3.4 Dérivation de la fonction logarithme népérien . . . 11

2.3.5 Le logarithme d´ecimal . . . 11

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1 Autour de la notion de continuit´ e

1.1 Fonction continues

1.1.1 D´efinition de la continuit´e

D´efinition :Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI. On dit quef est continue ena∈I si

x→alimf(x) =f(a). (1)

Si f est continue en tout pointadeI, on dit quef est continue sur I. En outre, si lim

x→a⁺f(x) =f(a) (2)

on dit quef est continue `a droite dea, et si

lim

x→a⁻f(x) =f(a) (3)

on dit quef est continue `a gauche dea. Enfin, sif n’est pas continue ena, on dit quef est discontinue ena.

Pour la suite, on admet lien fondamentale suivante entre continuité, continuité à gauche et continuité à droite :f est continue enasi et seulement sif est continue à gauche et à droite dea.

Remarque :Graphiquement, on considérera que lorsque la courbe de la fonction est tracéesans lever la main, la fonction est continue sur cet intervalle (qu’on prendra fermé). On donne ci-dessous une illustration qui résume les notions de continuités à gauche et à droite :

On observe que la fonction dont a la courbe ci-dessus est continue `a gauche de 1. Elle est continue sur ]− ∞,1[ et donc cette fonction est continue sur ]−∞,1]. Graphiquement toujours, cette fonction est continue sur ]1,2[. Enfin, cette fonction est continue `a droite de 2 et continue sur ]2,+∞[ : elle est donc continue sur [2,+∞[.

Attention `a un pi`ege classique : on donne la courbe de la fonction inverse ci-dessous,

la fonction inverse est bien continue surR^∗, c’est-`a-dire sur son ensemble de d´efinition.

On admet alors que les fonctions ci-dessous sont continues :

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Les fonctions... sont continues sur...

constantes (x7→C,C∈R) R puissances (x7→xⁿ, n∈N) R

inverse (x7→1/x) R^∗

racine carr´ee (x7→√

x) R+= [0,+∞[

exponentielle (x7→e^x) R On va voir trois approches pour montrer qu’une fonction est continue.

1.1.2 Le cas des sauts de discontinuit´e Via un exemple.

Exemple(s) :Soitf la fonction d´efinie surRpar f(x) =

x² six≤1

−2xsix >1 (4)

Pour illustrer la situation, on donne la courbe def ci-dessous

Montrons quef est discontinue en 1. On a lim

x→1⁻f(x) = lim

x→1⁻x²= 1²= 1 et lim

x→1⁺f(x) = lim

x→1⁺−2x=−2.

Comme lim

x→1⁻f(x)6= lim

x→1⁺f(x), la fonction f est discontinue en 1.

1.1.3 Théorèmes de stabilités On admet le théorème suivant :

Théorème :Soientf et gdeux fonctions continues sur un même intervalleI. Alors 1. f+gest continue sur I;

2. f×gest continue sur I;

3. pour toutλ∈R,λ·f est continue surI; 4. signe s’annule pas sur I, f /gest continue surI.

Exemple(s) :Commex7→x² est continue surRet comme x7→e^x est continue surR´egalement, par produit x7→x²e^x est continue surR.

1.1.4 Lien entre dérivabilité et continuité On admet le théorème suivant :

Théorème :Soitf une fonction définie sur un intervalleI. Sif est dérivable sur I, alorsf est continue surI.

Autrement dit, la dérivabilité entraˆıne la continuité. La réciproque est fausse.

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Exemple(s) :La fonction x7→x²e^x est d´erivable surRcomme produit de x7→x² etx7→e^xtoutes deux d´erivables sur R. Doncx7→x²e^xest continue surR.

On donne enfin un exemple de fonction continue, mais non d´erivable.

Exemple(s) :On trace ci-dessous la courbe d’une fonctionhdonn´ee parh(x) =f(x) six≤0 eth(x) =g(x) six >0 :

Graphiquement, la fonctionhsemble bien continue sur R (on peut le vérifier en montrant que les limites à gauche et à droite de 0 de f co¨ıncident). On trace en vert les demi-tangentes à la courbe def au point d’abscisse 0 à gauche et à droite : elles ne forment pas une droite, doncf n’est pas dérivable en 0 (mais dérivable à gauche et à droite de 0).

1.2 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires et corollaires

1.2.1 Un théorème général

Le théorème suivant ne sera pas utilisé en exercice. Il permet de présenter le principe des valeurs intermédiaires.

Théorème des valeurs intermédiaires : Soitf une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Pour tout k entre f(a) et f(b), il existe au moins un réelc∈[a, b] tel quef(c) =k.

Ou en reformulant, l’´equationf(x) =kadmet au moins une solution sur [a, b].

Graphiquement, le théorème des valeurs intermédiaires est assez intuitif : si on trace la courbe d’une fonctionsans lever la main, toutes les valeurs entref(a) etf(b) sont réalisées parf(x) sur [a, b]. Ou encore :

1.2.2 Une version utile

Cette version du théorème des valeurs intermédiaires estplus soupleet plus classique. Elle permet d’affirmer qu’une

´equation de la formef(x) =k admetau moinsune solution. A retenir.

Théorème des valeurs intermédiaires (2) :Soitf une fonction définie sur un intervalle Iet a < bdeux réels dansI. Si 1. f est continue sur [a, b] ;

2. kest entref(a) etf(b),

alors l’´equationf(x) =k admet au moins une solution sur l’intervalle [a, b].

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Exemple(s) :Soitf :x7→e^x. Montrons qu’il existe au moins un r´eelx∈[0,1] tel quee^x= 2.

Comme

1. f est continue sur [0,1] (car elle est d´erivable surR, donc continue surRet donc continue sur [0,1]) ; 2. 2 est entree⁰= 1 ete¹=e≈2,71,

d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équatione^x= 2 admet au moins une solution surR.

Remarque : Si on observe la courbe de la fonction exponentielle, on constate graphiquement qu’une telle solution est unique

On peut donc adapter le théorème des valeurs intermédiaires, comme ci-après.

1.2.3 Une version monotone

Théorème des valeurs intermédiaires (version monotone) :Soitf une fonction définie sur un intervalleI. Soient a < b deux réels deI. Si :

1. f est continue sur [a, b] ; 2. kest un r´eel entref(a) et f(b) ;

3. f est strictement monotone sur [a, b] (c’est à dire strictement croissante ou strictement décroissante), alors l’équationf(x) =k admet une unique solution sur l’intervalle [a, b].

Exemple(s) :Soitϕ:x7→xe^xd´efinie surD= [−1,+∞[. Montrer queϕ(x) = 3 admet une unique solution sur D.

On commence par ´etudier les variations de la fonctionϕsurD. La fonctionϕest d´erivable surD et pourx∈D ϕ⁰(x) = (xe^x)⁰= (x)⁰e^x+x(e^x)⁰= 1·e^x+xe^x=e^x(1 +x).

Comme 1 +x≥≥0,e^x(1 +x)≥0 et s’annule uniquement en−1. Doncϕ⁰(x) est strictement positive surD sauf en−1, doncϕest strictement croissante surD. Bref,ϕest strictement monotone surD.

On a ϕ(2) = 2e²>4 (car e¹=e≈2,71), donc on se place sur l’intervalle [−1,2]. Comme

1. ϕest continue sur [−1,2] (carϕest d´erivable surR, donc continue surR, donc continue sur [−1,2] ; 2. 3 est entreϕ(−1) =−e⁻¹<0 etϕ(2)>4 ;

3. ϕest strictement monotone sur [−1,2],

d’après le théorème des valeurs intermédiaires version monotone, l’équationϕ(x) = 3 admet une et une seule solution sur [−1,2].

Reste `a traiter l’´equation sur ]2,+∞[. Commeϕest strictement croissante surD, donc sur [2,+∞[, pour toutx∈]2,+∞[

on a 3< ϕ(2)< ϕ(x) : donc l’´equation n’a aucune solution sur ]2,+∞[.

Conclusion : l’´equationϕ(x) = 3 admet une et une seule solution surD.

2 Th´ eor` eme de la bijection

2.1 Quelques mots sur les jections

2.1.1 Injection, surjection et bijection

Définition :Soitf une fonction définie sur un intervalleI. On noteJ un intervalle contenant l’ensemble des valeurs de f, c’est à dire l’ensemble des valeurs de f(x) pourx∈I. On dit que :

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1. f est une injection deIsurJ si quels que soientxety dansI, six6=y alorsf(x)6=f(y). Autrement dit, toutes les valeurs def sont diff´erentes.

De fa¸con ´equivalente, on peut aussi montrer que sixety sont dansJ,f(x) =f(y) impliquex=y.

2. f est une surjection de I sur J si quel que soit y dans J, il existe au moins un r´eel x ∈ I tel que y = f(x).

Autrement dt, toutes les valeurs deJ sont des images par f, ou encore chaque réel y de J admet au moins un antécédent parf dansI.

3. f est une bijection deI surJ si f est une injection et une surjection deI sur J. Autrement dit, pour tout r´eel y∈J, il existe un uniquex∈I tel quey=f(x).

On peut sch´ematiser le principe :

Illustration d’une fonction injective Illustration d’une fonction surjective Donnons quelques exemples graphiquement :

Exemple(s) :

∗ On considère la fonction carré, notée f, surR. Graphiquement

on constate que 2 est l’image de deux r´eels distincts (−√ 2 et√

2) et doncf(−√

2) =f(√

2), mais que−√ 26=√

2.

Doncf n’est pas une injection deRsurR.

∗ D´esormais,gest la fonction carr´e sur l’intervalle [0,+∞[=R+. Graphiquement :

toutes les images des r´eels de R+sont diff´erentes. Donc la fonctiong est bien une injection deR+ surR.

∗ On constate, toujours graphiquement (mais c’est assez évident) que−3 n’a pas d’antécédents. La fonction g n’est donc pas une bijection deR₊surR.

2.1.2 Bijection r´eciproque : premiers exemples de fonctions bijectives et de leurs bijections r´eciproques

(7)

Définition :Soitf une fonction définie sur un intervalleI. Sif est bijective deIversJ un intervalle, on appelle bijection réciproque def la fonction notéef⁻¹deJ versIqui à chaque réelx∈J associe l’unique antécédent dexparf. Remarque :On admet immédiatement les faits suivants (c’est crucial !) :

1. f(f⁻¹(x)) =f⁻¹(f(x)) =xquel que soitx∈I∩J.

2. les courbes des fonctionsf etf⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

Exemple(s) :Deux exemples :

1. Ci-dessous on trace les courbes des fonctions carr´es et racine carr´ee surR+ :

On observe graphiquement que ces deux courbes sont symétriques par rapport à la courbe d’équation y =x. En notantf :x7→x², on a f⁻¹:x7→√

xsurR+. En particulier pour toutxpositif

√ x²=√

x²=x.

(Attention, en toute généralité√

x²=|x|).

2. On trace la courbe de la fonction cosinus sur l’intervalle [0, π] :

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La fonction arcos est la fonction cos⁻¹ appelée l’arcosinus définie sur [−1,1]. On a bien arcos(cos(x)) =xquel que soitx∈[0, π]. Vous noterez que le cosinus prend les valeurs de l’intervalle [−1,1] quandxparcourt [0, π] : l’arcosinus est lui défini sur [0,1]. La fonction arcos est une bijection de [−1,1] sur [0, π].

3. La fonction cube admet pour bijection r´eciproque la fonction racine cubique, not´eex7→√³

xdont on trouve la courbe par sym´etrie :

2.2 Enonc´ ´ e du th´ eor` eme de la bijection

En conséquence du théorème des valeurs intermédiaires version monotone, on a :

Th´eor`eme de la bijection : Toute fonction strictement continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] avec a < best bijective de [a, b] vers l’intervalle [f(a), f(b)] (ou [f(b), f(a)]).

En particularit´e,f admet une bijection r´eciproque.

Exemple(s) : Montrons que f : x 7→x⁵ est une bijection de [−1,1] sur [−1,1]. La fonction f est dérivable sur R - car c’est une polynôme - etf⁰(x) = 5x⁴. Commef⁰ est strictement positive sur [−1,1] sauf en 0, la fonctionf est strictement croissantef sur [−1,1]. Donc f est strictement monotone sur [−1,1]. En particulier, commef est dérivable sur [−1; 1], elle y est continue.

Comme :

∗ f est continue sur [−1,1] ;

∗ f(−1) = (−1)⁵=−1 etf(1) = 1⁵= 1 ;

∗ f est strictement croissante sur [−1,1],

d’après le théorème de la bijection, x7→x⁵ est une bijection de [−1,1] sur [−1,1].

On peut observer graphiquement :

(9)

La bijection r´eciproque de x7→x⁵ estx7→√⁵ x.

2.3 Une application du th´ eor` eme de la bijection : construction de la fonction ln

2.3.1 Le logarithme n´ep´erien

La fonctionx7→e^xétant strictement croissante surR(car sa dérivée est la fonction exponentielle strictement positive surR), elle réalise une bijection de tout intervalle [a, b] vers [eâ, e^b]. On admet que le théorème de la bijection s’étend sur Rici : la fonction exponentielle réalise donc une bijection deRsurR^∗₊, et sa bijection réciproque est appelée la fonction logarithme népérien.

Définition :La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie surR^∗₊ comme la bijection réciproque de la fonction exponentielle.

Remarque :Imm´ediatement,

ln(e^x) =xquel que soitx∈Ret e^ln(x)=xquel que soitx∈R.

Mais ´egalement ln(1) = 0, ln(e) = 1 et ln(0) n’existe pas. Graphiquement, comme ln et exp sont des bijections r´eciproques :

(10)

En particulier, l’´equation y=e^x admet une unique solutionx= ln(y) si et seulement siy >0. Sinon, cette ´equation n’a pas de solution.

En outre, on admet les variations de la fonction ln surR^∗₊ : x

ln

0 1 +∞

− 0 +

−∞

+∞

Les limites du logarithme népérien sont une conséquence des limites de la fonction exponentielle et de la symétrie entre les courbes :

lim

x→0⁺ln(x) =−∞et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

En outre, il est bon de connaˆıtre la formulation fondamental : e^a^ln(b)=b^a.

On a en effeteâ^ln(b)= (e^ln(b))â^=bâ. Par exemple, 2^x=e^ln(2)x et on peut ainsi définir une nouvelle famille de fonctions : ce sont les exponentielles de bases quelconques (positives strictement).

2.3.2 Relations fonctionnelles du logarithme népérien On admet le théorème suivant :

Th´eor`eme :On a

1. quel que soitx∈R^∗₊, quel que soity ∈R^∗₊,

ln(x×y) = ln(x) + ln(y).

2. quel que soitx∈R^∗₊, quel que soity ∈R^∗₊, ln

x

y

= ln(x)−ln(y).

3. quel que soitx∈R^∗₊, quel que soitn∈N^∗,

ln (xⁿ) =n×ln(x).

Exemple(s) :On a par exemple : 1. ln(6) = ln(2×3) = ln(2) + ln(3) ; 2. ln(√

2) = ln(2^1/2) =¹₂ln(2) ; 3. ln(16) = ln(2⁴) = 4 ln(2) ;

4. ln(xe^x) = ln(x) + ln(e^x) = ln(x) +x; 5. ln(e^3x+1) = 3x+ 1 ;

6. ln(1/e) = ln(1)−ln(e) =−1.

2.3.3 Résolution des équations et inéquations en log

On admet le théorème suivant, conséquence directe du caractère bijectif du logarithme népérien deR^∗₊ surRet de sa stricte croissance :

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Théorème :Soientxety deux réels strictement positifs. On a 1. ln(x) = ln(y) si et seulement six=y;

2. ln(x)<ln(y) si et seulement six < y.

Exemple(s) :Des exemples classiques, `a connaˆıtre ! 1. R´esoudree^x= 4.

Comme 4>0, on ae^x= 4⇔lne^x= ln 4⇔x= ln 4. DoncS ={ln 4}.

2. R´esoudree^x≤3e.

Comme 3eest strictement positif, on a

e^x≤3e⇔lne^x≤ln(3e)⇔x≤ln(3) + 1 et doncS =]− ∞,ln(3) + 1].

3. R´esoudre

2

5 n

≤0,5,n∈N.

Comme toutes les quantit´es sont strictement positives, on a :

2

5 ⁿ

≤0,5⇔ln

2

5 ⁿ

≤ln 0,5⇔nln 2

5

≤ln(0,5)⇔n(ln(2)−ln(5))≤ln(0,5)⇔n≥ ln(0,5) ln(2)−ln(5) car ln est strictement croissante surR^∗₊ donc 2<5 implique ln(2)<ln(5) c’est-`a-dire ln(2)−ln(5)<0.

Simplifions : ln(0,5)

ln(2)−ln(5) = −ln(2)

−(ln(5)−ln(2)) = ln(2)

ln(5)−ln(2) ≈0,76.

Conclusion :S =N^∗.

2.3.4 Dérivation de la fonction logarithme népérien On admet le théorème suivant :

Théorème :La fonction logarithme népérien est dérivable surR^∗₊ - donc elle y est continue - et quel que soitx∈R^∗₊ ln(x)0

= 1 x.

En outre, sif est une fonction dérivable sur I un intervalle, et que f est strictement positive sur I (c’est à dire f(x)>0 quel que soitx∈I), alors lnf est dérivable surI et quel que soitx∈I,

ln(f(x))⁰= f⁰(x) f(x). Exemple(s) :On va d´eriver la fonctiong:x7→ln(x+ 3) sur ]−3,+∞[.

On note que sur ]−3,+∞[, la fonction affinex7→x+ 3 est d´erivable et est strictement positive. Doncgest d´erivable sur ]−3,+∞[ et sur cet intervalle,

g⁰(x) = (x+ 3)⁰ x+ 3 = 1

x+ 3.

2.3.5 Le logarithme d´ecimal

Définition :On appelle logarithme décimal, noté log, la fonction définie surR^∗₊ par log(x) = ln(x)

ln(10), ∀x∈R^∗₊.

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Remarque :Justifions le nom de ce logarithme particulier. On a pourp∈N: log(10^p) =ln(10^p)

ln(10) = pln(10) ln(10) =p.

Autrement dit, le logarithme d´ecimal d’une puissance de 10 renvoie la puissance en question. Par exemple, log(10¹²) = 12.

On admet le th´eor`eme suivant :

Théorème :La fonction log admet une bijection réciproque surR^∗₊ : c’est la fonctionx7→10^x (fonction exponentielle de base 10).

Exemple(s) :On donner cette formule que vous avez rencontr´e en chimie : pH =−log

H3O⁺ qu’on peut inverser ainsi :

10^−pH = H3O⁺

.