Correction du devoir de Math´ematiques n
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Exercice 1
1. Sip1, p2, p3 etp4 dans cet ordre, forment une progression arithm´etique de raisonr, alorsp2=p1+r, p3 = p1+ 2r etp4 =p1+ 3r. On a donc :
p4 = p1+ 3r = 0,4 p1+p1+r+p1+ 2r+p1+ 3r = 1 ⇐⇒
p1+ 3r = 0,4 4p1+ 6r = 1 ⇐⇒
p1 = 0,1 r = 0,1 On en d´eduit quep1= 0,1, p2 = 0,2, p3= 0,3, p4 = 0,4.
2. (a) La probabilit´e d’obtenir dans l’ordre 1, 2, 4 est p124 =p1×p2×p4 = 0,1×0,2×0,4 = 0,008.
(b) La probabilit´e d’obtenir trois nombres distincts dans l’ordre croissant est p123+p124+p134+p234 = p1×p2×p3+p1×p2×p4+p1×p3×p4+p2×p3×p4 = 0,006 + 0,008 + 0,012 + 0,024 = 0,05.
3. (a) On a un sch´ema de Bernoulli avec n = 10 et p4 = 0,4. On sait que la probabilit´e d’obtenir i fois le chiffre 4 est (pour 06i610) :
p(X=i) = 10
i
0,4i(1−0,4)10−i = 10
i
0,4i0,610−i. (b) On a E(X) =n×p= 10×0,4 = 4.
Cela signifie que sur un grand nombre de tirages le 4 sortira en moyenne 4 fois sur 10.
(c) On a p(X>1) = 1−p(X = 0). Orp(X= 0) = 0,610.
Doncp(X>1) = 1−0,610≃0,994, soit `a peu pr`es 994 chances sur 1 000 d’obtenir au moins une fois le 4 en 10 tirages.
Exercice 2
A- 1. La probabilit´e P(X 6 1) s’interpr`ete comme ´etant l’aire sous la courbe de la densit´e comprise entre les droites x= 0, x= 1 ety= 0.
2. Comme la densit´e de la variable al´eatoireXest la fonction d´efinie sur [0 ; +∞[, parf(t) =λe−λt, alors f(0) =λ. Sur le graphique, le param`etreλest donc l’ordonn´ee du point de la courbe def d’abscisse 0.
B- 1. P(X 61) = Z 1
0
1,5e−1,5tdt=−e−1,5×1−(−1) = 1−e−1,5≃0,777.
2. P(X >2) = 1−P(X62) = 1− Z 2
0
1,5e−1,5tdt= e−1,5×2= e−3.
3. Comme P(16X 62) =P(X 62)−P(X61), alors P(16X 62) = e−1,5−e−3 ≃0,173.
4. Calculons l’int´egrale F(x) = Z x
0
1,5te−1,5tdt en utilisant une int´egration par parties : u′(t) = 1,5e−1,5t u(t) =−e−1,5t
v(t) =t v′(t) = 1 Donc
F(x) =
−te−1,5tx 0 −
Z x
0
−e−1,5tdt=
−te−1,5tx 0−
1 1,5e−1,5t
x
0
=−xe−1,5x− 1
1,5e−1,5x+ 1 1,5 Mais lim
x→−∞xex = lim
x→−∞ex= 0, donc E(X) = lim
x→+∞F(x) = 1 1,5 = 2
3.
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