Correction du Devoir maison de math´ematiques n
◦5
Exercice 1
A
B
C D G
−−→
AD = −→AG+−GD−→
−−→
AD = 13(−AB−→+−→AC) +13−BC−→
−−→
AD = 13(−AB−→+−BC−→+−→
AC)
−−→
AD = 13(−→AC+−→AC)
−−→
AD = 23−→AC
Exercice 2
A B
C
D O
E
F
1. On poseD(x;y) :
−−→ AB
−5
−1
−DC−→
2−x
−1−y
ABCD est un parall´elogramme donc−AB−→=−DC−→ : −5 = 2−x
−1 = −1−y En r´esolvant ce syst`eme, on obtientD(7; 0).
2. On poseE(x;y) :
−→AE
x−3
y−2
−CB−→
−4
2
−→AE = 34−CB−→donc :
x−3 = −3
y−2 = 32 En r´esolvant ce syst`eme, on obtientE(0;72).
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3. On poseF(x;y) :
−→F A
x−3
y−2
−F B−→
x+ 2
y−1
−F C−→
x−2
y+ 1
2−→F A+−F B−→+−F C−→=−→0 donc :
2(x−3) + (x+ 2) + (x−2) = 4x−6 = 0 2(y−2) + (y−1) + (y+ 1) = 4y−4 = 0 En r´esolvant ce syst`eme, on obtientF(32; 1).
Exercice 3
A B C
D O
1. D’apr`es le th´eor`eme de Pythagore :
CD2 = (xD −xC)2+ (yD−yC)2 = 22+ 42 = 20 AD2 = (xD−xA)2+ (yD−yA)2 = 42+ 22 = 20 CD=ADdonc le triangle ACDest isoc`ele en D.
2. D’apr`es le th´eor`eme de Pythagore :
BD2 = (xD −xB)2+ (yD−yB)2 = 42+ 32 = 25 BC2 = (xC −xB)2+ (yC−yB)2 = 22+ 12 = 5
On constate queBD2=CD2+BC2donc d’apr`es la r´eciproque du th´eor`eme de Pythagore le triangleBCD est rectangle enC.
3. Dans le triangle BCDrectangle en C : cos(\BDC) = CD
BD =
√20
√25 = 2
√5 La calculatrice indiqueBDC\≃27◦.
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Exercice 4
A
B
I M N C
2. Dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC) : A(0; 0),B(1; 0),C(0; 1),M(13; 0), N(0;23) et I(12; 0).
3. Dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→AC) :
−−→M N
0− 13 2 3 −0
soit −−→M N −13
2 3
et −IC→
0− 12
1−0
soit −IC→ −12
1
Ces vecteurs sont colin´eaires : −−→M N = 23−→ IC.
4. Les droites (M N) et (IC) sont donc parall`eles.
Exercice 5*
A
B I J C
M
N G P
1. Dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC), en utilisant les relations vectorielles qui d´efinissent les points M,N etP, on obtientM(13; 0), N(23;13) et P(0;23).
2. Dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→AC), en utilisant la formule de la moyenne permettant de calculer les coordonn´ees des milieux, on obtientI(12;12) et J(13;12).
3. Le centre de gravit´eG1du triangleABCest donn´e par la formule−−→AG1 = 23
−→
AI. On obtient G1(13;13).
Le centre de gravit´e G2 du triangle M N P est donn´e par la formule −−−→M G2 = 23−−→M J. On obtient G2(13;13).
Les triangles ABC etM N P ont donc mˆeme centre de gravit´e.
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Exercice 6**
A
B C
P M
N
3. Dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC), en posant−BP−→=k1−−→BN, on obtient P(1−k1;23k1).
4. Dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→AC), en posant−CP−→=k2−−→CM, on obtient P(13k2; 1−k2).
5. On en d´eduit que :
1−k1 = 13k2 2
3k1 = 1−k2
D’o`u k1 = 67 etk2 = 37. 6. Dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC), en rempla¸cantk1, on obtientP(17;47).
Exercice 7**
A
B I C
J M
N
P G
On se place dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→AC), on obtient : M(−1
3; 0) N(4 3;−1
3) P(0;4 3)
SoientI etJ les milieux respectifs des segments [BC] et [N P], on obtient : I(1
2;1
2) J(2 3;1
2)
Le centre de gravit´eG1 du triangle ABC est donn´e par la formule−−→AG1 = 23−AI→ et le centre de gravit´e G2 du triangle M N P est donn´e par la formule−−−→M G2 = 23−−→
M J, on obtient : G1(1
3;1
3) G2(1 3;1
3) Les triangles ABC etM N P ont donc mˆeme centre de gravit´e.
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