Devoir maison de Math´ematiques n
◦4
Exercice 1
Le but de cet exercice est d’´etudier, pour x ety ´el´ements distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de l’´equation (E) :xy =yx et en particulier les couples constitu´es d’entiers.
1. Montrer que l’´equation (E) est ´equivalente `a lnx x = lny
y .
2. Soit h la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parh(x) = lnx x .
La courbe repr´esentativeCde la fonctionhest donn´ee ci-dessus, on appellex0 l’abscisse du maximum de la fonction hsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(a) Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et d´eterminer la limite de la fonctionh en 0.
(b) Calculer h′(x), o`u h′ d´esigne la fonction d´eriv´ee de la fonctionh et retrouver les variations de la fonction h.
D´eterminer les valeurs exactes de x0 et deh(x0).
(c) D´eterminer l’intersection de la courbeC avec l’axe des abscisses.
3. Soit λun ´el´ement de l’intervalle
0 ; 1 e
.
Prouver l’existence d’un unique nombre r´eel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre r´eel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tels queh(a) =h(b) =λ.
Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).
4. On consid`ere la fonction squi, `a tout nombre r´eel ade l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre r´eel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tel queh(a) =h(b) (on ne cherchera pas `a exprimers(a) en fonction dea).
Par lecture graphique uniquement et sans justification, r´epondre aux questions suivantes (a) Quelle est la limite de squand atend vers 1 par valeurs sup´erieures ?
(b) Quelle est la limite de squand atend vers e par valeurs inf´erieures ?
(c) D´eterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations des.
5. D´eterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).
www.emmanuelmorand.net 1/2 Ts0809Chap08DM
Devoir maison de Math´ematiques n◦4
Exercice 2
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O,−→u ,−→v) (unit´e graphique 1 cm).
1. R´esoudre, dans l’ensemble Cdes nombres complexes, l’´equation suivante : z2−8z√
3 + 64 = 0
2. On consid`ere les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a= 4√
3−4i et b= 4√ 3 + 4i.
(a) ´Ecrire aetb sous forme exponentielle.
(b) Calculer les distances OA, OB, AB. En d´eduire la nature du triangle OAB.
3. On d´esigne par C le point d’affixe c = −√
3 + i et par D son image par la rotation de centre O et d’angle −π
3.
D´eterminer l’affixe ddu point D.
4. On appelle G le barycentre des trois points pond´er´es (O ; −1), (D ; + 1), (B ; + 1).
(a) Justifier l’existence de G et montrer que ce point a pour affixe g= 4√ 3 + 6i.
(b) Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.
(c) Montrer que les points C, D et G sont align´es.
(d) D´emontrer que le quadrilat`ere OBGD est un parall´elogramme.
5. Quelle est la nature du triangle AGC ?
www.emmanuelmorand.net 2/2 Ts0809Chap08DM
