Correction du devoir maison de Math´ematiques n
◦6
Exercice 1
1. Pour n∈Non a :
Jn+1−Jn= Z n+1
1
e−t√
1 +tdt− Z n
1
e−t√
1 +tdt= Z n+1
n
e−t√
1 +tdt cette quantit´e est positive car e−t√
1 +t > 0 pour t ∈ [1; +∞[, on en d´eduit que la suite (Jn) est croissante.
2. (a) Pour x>1 on ax 6x2 d’o`u en appliquant la fonction racine carr´ee qui est croissante √ x6x, on en d´eduit en posantx= 1 +tque, pour toutt>0, on a√
1 +t61 +t.
(b) en multipliant l’in´egalit´e pr´ec´edente par e−t positif et en int´egrant par rapport `at entre 1 etn, on obtient Jn6In.
(c) On int`egre par parties : In =
Z n
1
(1 +t)×e−tdt=
(1 +t)×(−e−t)t=n
t=1 − Z n
1
1×(−e−t) dt In = −(n+ 1)e−n+ 2e−1−
e−tt=n
t=1 =−(n+ 1)e−n+ 2e−1−e−n+ e−1 =−(n+ 2) en +3
e On en d´eduit que Jn6In6 3
e pour tout entier naturelnnon nul.
(d) La suite (Jn) est croissante et major´ee donc elle converge. (Th´eor`eme de convergence monotone)
Exercice 2
1. On a :
W0= Z π
2
0
1 dt= [t]t=
π 2
t=0 = π
2 et W1 =
Z π
2
0
costdt= [sint]t=
π 2
t=0 = 1 2. On int`egre par parties :
Wn+2 = Z π
2
0
(cost)n+1×(cost)dt=
(cost)n+1×(sint)t=
π 2
t=0 − Z π
2
0 −(n+ 1)(cost)nsint×(sint)dt Wn+2 =
Z π
2
0
(n+ 1)(cost)n(sint)2dt= Z π
2
0
(n+ 1)(cost)n(1−cost)2dt Wn+2 = (n+ 1)
Z π
2
0
(cost)ndt− Z π
2
0
(cost)n+2dt
!
= (n+ 1)(Wn−Wn+2)
d’o`u on tireWn+2= n+ 1
n+ 2 Wn , n∈N. 3. On en d´eduit :
W2 = 0 + 1
0 + 2 W0 = π
4 W3 = 1 + 1
1 + 2 W1 = 2
3 W4 = 2 + 1
2 + 2 W2 = 3π 16
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