Devoir maison de math´ematiques n
◦5
Exercice 1
1. D´eterminer la mesure principale associ´ee `a chacune des mesures suivantes : 15π
2
34π
7 − 65π
3 −73π
6
2007π 5 2. D´eterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus des r´eels suivants :
−5π 3
7π 4
19π 6
Exercice 2
Exprimer en fonction de sinxet de cosx les expressions suivantes : cos(5π+x) sin(3π
2 +x) cos(3π−x) sin(5π
2 −x)
Exercice 3
R´esoudre les (in)´equations suivantes : cosx=−
√3
2 ; x∈[π 2;3π
2 ] −1
2 <sinx <
√3
2 ; x∈[−π 2;π
2]
Exercice 4
On consid`ere le syst`eme suivant avec x∈[0; 2π] : 2 sinx−4 cosx = √
3 + 2 sinx+√
3 cosx = 0 1. D´eterminer cosxet sinx.
2. En d´eduire la valeur dex.
Exercice 5
1. D´eterminer les coordonn´ees cart´esiennes des points de coordonn´ees polaires suivantes : A(2;3π
2 ) B(2;−π
4) C(1
2;11π 6 )
2. D´eterminer les coordonn´ees polaires des points de coordonn´ees cart´esiennes suivantes : D(3;−3) E(−1
2;
√3
2 ) F(√
3; 1)
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Devoir maison de math´ematiques n◦5
Exercice 6
On consid`ere un triangle ABC avec (−AB,−→ −→AC) =−π2 [2π] et (−BA,−→ −−BC) =→ π3 [2π] . 1. Faire une figure.
2. En utilisant la relation de Chasles, prouver que : (−→CA,−−→
CB) = (−→AC,−−→
AB) + (−BA,−→ −−→
BC) +π [2π]
3. En d´eduire la mesure principale de l’angle orient´e (−→CA,−−→ CB) .
Exercice 7*
Prouver que pour tout triangle ABC : (−AB,−→ −→
AC) + (−BC,−→ −−→
BA) + (−→CA,−−→
CB) =π [2π].
Exercice 8*
D´eterminer dans chaque cas l’ensemble des pointsM de coordonn´ees polaires (r, θ) v´erifiant l’´equation donn´ee :
r = 3 θ= π
3 [2π] rcosθ= 3
Exercice 9**
On consid`ere un rep`ere orthonorm´e (O, I, J). D´eterminer l’´equation en coordonn´ees polaires du cercle de centreI passant parO.
Exercice 10**
On consid`ere deux points A et B distincts du plan. D´eterminer l’ensemble des points M v´erifiant la relation :
(−−→M A,−−→M B) =−π 6 [2π]
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