Correction du devoir de math´ ematiques n

Premi`ere S1 Correction du devoir n^o1

Correction du devoir de math´ ematiques n

1

Question de cours :

Prouver que la fonction racine carr´ee est strictement croissante sur [0 ; +∞[. (Voir le cours)

Exercice 1 :

1. Recopier et compl´eter par le meilleur encadrement possible :

⋆ Si −56x60 alors,5>|x|>0 car la fonction valeur absolue est strictement d´ecroissante sur]− ∞; 0]

⋆ Si ¹₂ 6x < ⁴₇ alors,2> ¹_x > ⁷₄ car la fonction inverse est strictement d´ecroissante sur]0 ; +∞[

⋆ −3< x64 =⇒ 06x²616

O x

x²

] [ ] ]

−3 9

4 16

autre m´ethode :

−3< x64 ⇐⇒ −3< x60 ou 06x64

Si −3< x60, alors9> x²>0 car la fonction carr´e est strictement d´ecroissante sur]− ∞; 0]

Si 06x64, alors 06x² 616 car la fonction carr´e est strictement croissante sur[0 ; +∞[

De ces deux derniers encadrements, on d´eduit que −3< x64 =⇒ 06x² 616.

2. x∈[−3 ; 2] :

−36x 62

=⇒ 6>−2x>−4 car−2<0

=⇒ 11>−2x+ 5>1

=⇒ √

11>√

−2x+ 5>1 car la fonction racine carr´ee est strictement croissante sur[0 ; +∞[

Ainsi,16√

−2x+ 56√ 11;

Exercice 2 : 1. a) |x|=√

6 ⇐⇒ x=−√

6 ou x=√

6 S =

−√ 6 ; √

6

b) |x|=−3; Cette ´equation n’a pas de solution dans Rcar une valeur absolue est toujours positive.

c) |x|>4 ⇐⇒ x∈]− ∞; −4[∪]4 ; +∞[ S =]− ∞; −4[∪]4 ; +∞[

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

[

]

]

=|x|

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d) 2<|x|67 ⇐⇒ x∈[−7 ; −2[∪]2 ; 7]

S = [−7 ; −2[∪]2 ; 7]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

[ [

] ]

] ]

y=|x|

2. La solution dansR`a l’´equation √

x= 64 estS ={4096}. R´eponse A.

En effet, cette ´equation est d´efinie sur[0 ; +∞[.√

x= 64 ⇐⇒ x= 64² = 4096>0.

3. √

2x−363.

Cette in´equation est d´efinie pour tout r´eelx tels que 2x−3>0 ⇐⇒ x> ³₂. Cette in´equation est donc d´efinie sur₃

2 ; +∞ .

√2x−363

⇐⇒ 2x−369 et x∈₃

2 ; +∞

⇐⇒ x66 et x∈₃

2 ; +∞ Ainsi,S =₃

2 ; 6 .

Exercice 3 :

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4 #”

i

#”j O

Cu

y=2x−3

Soit f la fonction dont la courbe repr´esentative C_{f est} repr´esent´ee ci-contre.

1. D_u = [−3 ; 5].

2. Les ant´ec´edents de0parusont les abscisses des points d’intersection de la courbeC_u, soit −1,5,0 et 3,5.

3. a) u est croissante sur[−3 ; −1]; u est d´ecroissante sur [−1 ; 2]; puis u est croissante sur[2 ; 5].

D’o`u le tableau de variation deu : x

u(x)

−3 −1,5 −1 0 2 3,5 5

−2

1

−3

3

⊕ ⊖ ⊕

⊖ 0 0 0

b) D’apr`es le tableau de variation de u,u(x)>0 pour toutx∈[−1,5 ; 0] ∪ [3,5 ; 5].

Donc D√u= [−1,5 ; 0] ∪ [3,5 ; 5].

Tableau de variation de √ u: x

u(x)

−3 −1,5 −1 0 2 3,5 5 1

−3

3

⊕ ⊖ ⊕

⊖ 0 0 0

pu(x)

0

1

0 0

√3

−2

La fonction √u est croissante sur[−1,5 ; −1], d´ecroissante sur[−1 ; 0]et croissante sur [3,5 ; 5].

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wrapfigure clashe

5. Le maximum de usur [−3 ; 2] est 1atteint en x=−1.

6. Les solutions de l’´equationu(x) = 2x−3 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C_u avec la droite d’´equtiony= 2x−3.

S={1}

Exercice 4 :

Soitf la fonction d´efinie surR\{−3}parf(x) = −2x²+ 2x+ 7

x+ 3 . On noteC sa courbe dans un rep`ere orthogonal (O ;#”ı ,#”).

1. Soitx∈R\{−3},

−2x+ 3 +5x−2

x+ 3 = (−2x+ 3)(x+ 3)

x+ 3 +5x−2 x+ 3

= −2x²−6x+ 3x+ 9 + 5x−2 x+ 3

= −2x²+ 2x+ 7 x+ 3

=f(x) f(x) =−2x+ 3 + 5x−2

x+ 3, ∀x∈R\{−3}.

2. On consid`ere la fonction affineg d´efinie parg(x) =−2x+ 3. On noteD, sa repr´esentation graphique dans le rep`ere (O;#”ı ,#”).

Pour ´etudier la position relative des courbesC et D, on ´etudie le signe de la diff´erence f(x)−g(x).

Soitx∈R\{−3}, f(x)−g(x) =−2x+ 3 +5x−2

x+ 3 −(−2x+ 3) = 5x−2 x+ 3

∗ x+ 3 = 0 ⇐⇒ x=−3.

−3 est la valeur interdite.

∗ 5x−2 = 0 ⇐⇒ x= ²₅.

D’o`u le tableau de signe de 5x−2 x+ 3 : x

5x−2

a=5>0

x+ 3

a=1>0

5x−2 x+ 3

−∞ −3 ²5 +∞ 0

0

0

− − +

− + +

+ − +

Sur ]−∞ ; −3[ ∪ ₂

5 ; +∞

, f(x)−g(x) >0.

On en d´eduit que C est au-dessus de la droiteD sur]−∞ ; −3[ ∪ ₂

5 ; +∞

;

Sur

−3 ; ²₅

, f(x)−g(x)60.

On en d´eduit que C est en-dessous de la droite D sur

−3 ; ²₅ . Bonus :

D´ebut Variables :

x et y sont des nombres r´eels Entr´ee :

Lire la valeur de x Traitement :

Si (x63)Alors

y prend la valeur 6−2x Sinon

y prend la valeur 2x−6 FinSi

Sortie : Afficher y Fin

Soitf une fonction d´efinie surR.

L’algorithme ci-contre permet de calculer l’imagey d’un r´eel x par la fonction f.

La lecture de l’algorithme nous permet d’´ecrire f(x) =

(6−2x six∈]− ∞ ; 3];

2x−6 six∈[3 ; +∞[

Ainsi,f(x) =|2x−6|sur R. V´erifions-le : 2x−6 = 0 ⇐⇒ x= 3

x Signe de2x−6

a=2>0

Expression de|2x−6|

−∞ 3 +∞

− 0 +

−2x+ 6 2x−6

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