Correction du devoir de math´ ematiques n

Premi`ere S1 Correction du devoir n^o2

Correction du devoir de math´ ematiques n

2

Exercice 1 :

ABCD est un parall´elogramme non aplati. On consid`ere les pointsM et N d´efinis par :

# ”

BM =AB# ”+ 2AC# ” et AN# ”= 3 2

# ” AB+1

3

# ” AD 1.

×

×

×

×

×

× A

B

C D

M N

# ” AB

2AC# ”

3 2

# ” AB

1 3

# ” AD

2. a) Puisque le quadrilat`ereABCD es un parall´elogramme, d’apr`es la r`egle du parall´elogramme, on en d´eduit que AC# ”=AB# ”+AD.# ”

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b) BM# ”=AB# ”+ 2AC# ”

=AB# ”+ 2AB# ”+AD# ”

d’apr`es la question pr´ec´edente

=AB# ”+ 2AB# ”+ 2AD# ”

= 3AB# ”+ 2AD# ”

Ainsi, on a BM# ”= 3AB# ”+ 2AD# ”

3. BN# ”=BA# ”+AN# ” d’apr`es la relation de Chasles

=−AB# ”+3 2

# ” AB+1

3

# ” AD

= 1 2

# ” AB+1

3

# ” AD

On a donc d´emontrer queBN# ”= 1 2

# ” AB+1

3

# ” AD.

4. Les pointsB, M et N sont align´es si, et seulement si les vecteurs BM# ”et BN# ” sont colin´eaires.

# ”

BM = 3AB# ”+ 2AD# ”

# ” BN = 1

2

# ” AB+1

3

# ”

AD

x

1 6

# ” BM = 1

6

3AB# ”+ 2AD# ”

= 3 6

# ” AB+2

6

# ” AD

= 1 2

# ” AB+1

3

# ” AD

=BN# ” Ainsi, 1

6

# ”

BM =BN# ”. Les vecteursBM# ” etBN# ” sont colin´eaires et les pointsB, M etN sont align´es.

Exercice 2 :

ABCD et BCEDsont deux parall´elogrammes non aplatis. On note I le milieu de [BC]et M le point d’inter- section des droites(AC) et (BE). On admet queBM# ”= 1

3

# ” BC+ 1

3

# ” BD

Le but du probl`eme est de d´emontrer que les droites (AC),(BE) et (DI) sont concourantes.

×

× ×

× ×

×

×

A

B C

D E

I

M

1. On se place dans le rep`ere

A; AD ,# ” AB# ”

. a)

A ; AD ,# ” AB# ”

est un rep`ere du plan car les vecteurs AD# ” et AB# ” ne sont pas colin´eaires (^{ABCDest un}

parall´elogramme non aplati).

b) On a A(0 ; 0) ; B(0 ; 1) ; C(1 ; 1) ; D(1 ; 0) etE(E ; 0) dans ce rep`ere.

c) I est le milieu de[BC]donc I ^xB+x₂ ^C ; ^yB+₂^yC

⇐⇒ I ¹₂ ; 1

;

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Soit M(x ; y).

# ” BM

x y−1

BC# ”

1 0

et BD# ” 1

−1

D’o`u 1 3

# ” BC+1

3

# ” BD

1 3+¹₃ 0−¹3

1 3

# ” BC+1

3

# ” BD

2 3

−¹3

Puisque BM# ”= 1 3

# ” BC+1

3

# ” BD, on a

(x= ²₃ y−1 =−¹3

⇐⇒

(x= ²₃

y=−¹3 + 1 = ²₃ Les coordonn´ees deM sontM ²₃ ; ²₃

.

d) Les points D, M etI sont align´es si, et seulement si les vecteurs DM# ”et DI# ”sont colin´eaires.

On calcule les coordonn´ees de ces deux vecteurs.

# ” DM





−¹3 2 3



 DI# ”





−¹2

1









−¹3 2 3









−¹2

1



 −¹3 ×1−²3 ×(−¹2) =−¹3 +¹₃ = 0 Les vecteurs DM# ”et DI# ”sont colin´eaires donc les pointsD, M et I sont align´es.

Les droites (AC),(BE)et (DI) sont donc concourantes enM. 2. Le pointM est le centre de gravit´e du triangleBCD. Prouvons-le :

I ´etant le milieu de[BC], on peut dire que(DI) est la m´ediane issue deD dans le triangleBCD; ABCD ´etant un parall´elogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc,(AC) coupe[BD]en

son milieu. Elle est donc la m´ediane issue de C dans le triangleBCD.

Les m´edianes d’un triangle sont concourantes en un point appel´e centre de gravit´e du triangle. Ainsi, le point d’intersection de(DI) et (AC), soit le pointM, est le centre de gravit´e du triangle BCD.

Exercice 3 :

1. −3x+ 2 = 0 ⇐⇒ x= ²₃ x

Signe de−3x+ 2

a=−3<0

Expression de|−3x+ 2|

−∞ ²3 +∞

+ 0 −

−3x+ 2 3x−2

|−3x+ 2|= 6

⇐⇒ −3x+ 2 = 6et x∈]− ∞; ²₃] ou 3x−2 = 6 etx∈]²₃ ; +∞[

⇐⇒ −3x= 4 et x∈]− ∞; ²₃] ou 3x= 8et x∈]²₃ ; +∞[

⇐⇒ x=−⁴3 ∈]− ∞; ²₃] ou x= ⁸₃ ∈]²₃ ; +∞[

S =

−⁴3 ; ⁸₃

2. a) ∗ x−5 = 0 ⇐⇒ x= 5;

∗ −2x+ 4 = 0 ⇐⇒ x= 2;

∗ D’o`u le tableau suivant : x

Signe de x−5

a=1>0

Signe de−2x+ 4

a=−2<0

Expression de

|x−5|+|−2x+ 4|

−∞ 2 5 +∞

0 0

− − +

+ − −

−x+ 5 + (−2x+ 4)

=−3x+ 9

−x+ 5 + (2x−4)

=x+ 1

x−5 + (2x−4)

= 3x−9

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Ainsi, |x−5|+|−2x+ 4|=











−3x+ 9 si x∈]− ∞; 2]

x+ 1 si x∈]2 ; 5]

3x−9 si x∈]5 ; +∞[ b) |x−5|+|−2x+ 4|= 4

⇐⇒ −3x+ 9 = 4etx∈]− ∞; 2] ou x+ 1 = 4et x∈]2 ; 5] ou 3x−9 = 4et x∈]5 ; +∞[

⇐⇒ −3x=−5et x∈]− ∞; 2] ou x= 3 et x∈]2 ; 5] ou 3x= 13et x∈]5 ; +∞[

⇐⇒ x= ⁵₃ ∈]− ∞; 2] ou x= 3∈]2 ; 5] ou x= ¹³₃ 6∈]5 ; +∞[

S =5 3 ; 3

Exercice 4 :

Le plan ´etant muni d’un rep`ere (O;#”ı ,#”), on consid`ere les vecteurs #”a

√3 + 2 1

et #”b

3 t

, o`u t∈R.

#”a et #”b sont deux vecteurs colin´eaires.





√3 + 2

1







 3

t



 On a(√

3 + 2)×t−1×3 = 0

⇐⇒ t= 3

√3 + 2 = 3(√ 3−2) (√

3 + 2)(√

3−2) = 3√ 3−6 3−4 = 3√

3−6

−1 = 6−3√ 3.

t= 6−3√ 3

Exercice 5 :

Compl´etons l’algorithme ci-contre. On reconnaˆıt la condition n´ecessaire et suffi- sante sur les coordonn´ees pour que deux vecteurs soient colin´eaires.

#”u x

y

et #”v x^′

y^′

sont deux vecteurs.

a←x×y^′ b←x^′×y Sia6=bAlors

Afficher ^′′ Les vecteurs #”u et #”v ne sont pas colin´eaires^′′

Sinon

Afficher ^′′ Les vecteurs #”u et #”v sont colin´eaires^′′

FinSi

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