Correction du devoir de Math´ematiques n

Correction du devoir de Math´ematiques n

5

Exercice 1

1. On a lim

x→−∞xe^x = 0 et lim

x→−∞x² = +∞donc lim

x→−∞f(x) =−∞. De plusf(x) =xe^x

1− x e^x

or lim

x→+∞xe^x= +∞ et lim

x→+∞

x

e^x = 0 donc lim

x→+∞f(x) = +∞. 2.

g(x) = e^2x+ 2e^x+ 1

e^2x+e^x −e^−x = e^2x+ 2e^x+ 1−e^−x(e^2x+e^x)

e^2x+e^x =e^2x+ 2e^x+ 1−e^x−1

e^2x+e^x = e^2x+e^x e^2x+e^x = 1 3. La fonction h(x) = e^x

2x+ 1 est d´efinie et d´erivable sur R− {−¹2} et h^′(x) = e^x×(2x+ 1)−e^x×2 (2x+ 1)² = e^x(2x−1)

(2x+ 1)² . On en d´eduit les variations de la fonctionh : x −¹2

1 2

h ց ց ր

h(¹₂) La fonction h admet un minimum surR⁺ qui vauth(¹₂) = e¹²

2 =

√e 2 .

Exercice 2

1.

a = −5 (cos (3π) +isin (3π)) =−5(−1 + 0i) = 5 b = −e^iπ2 =−i

c = 4

cos 2π

3

+isin 2π

3

= 4 −1 2+

√3 2 i

!

=−2 + 2√ 3i

d = 2 cosπ

6

+isinπ 6

−

cos 3π

4

+isin 3π

4

= √

3 +

√2 2

!

+i 1−

√2 2

!

2.

m= 7e^iπ n= 2e^−iπ2 p=√

2e^i34π q= 2e^i56π 3.

q⁷ =

2e^i56π7

= 2⁷e^i356π = 128e^−iπ6 = 64√ 3−64i i

p⁵ = e^iπ2 √

2e^i34π5 = e^iπ2 4√

2e^i154π = 1 4√

2e^i34π =−1 8 +1

8i

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Exercice 3

On consid`ere la fonctionϕ(x) = 6xe^−(x+1)212 .

1. La fonction ϕest obtenue par produit et compos´ee de fonctions d´efinies sur Rdonc elle est d´efinie surR. De plus :

ϕ(x) = 72 x+ 2 +_x¹

(x+ 1)² 12 e⁻⁽

x+1)2 12

Comme lim

X→+∞Xe^−X = 0 on a lim

x→±∞ϕ(x) = 0.

2. La fonction ϕest obtenue par produit et compos´ee de fonctions d´erivables surRdonc elle est d´erivable sur Ret :

ϕ^′(x) = 6×e⁻⁽

x+1)2

12 + 6x×

−x+ 1 6

e⁻⁽

x+1)2

12 = (6−x²−x)e^−(x+1)212 = (−x²−x+ 6)e^−(x+1)212 3. On en d´eduit les variations de la fonction ϕ:

x −∞ −3 2 +∞

ϕ^′(x) − 0 + 0 −

0 12e⁻³⁴

ϕ(x) ց ր ց

−18e⁻¹³ 0

4. La courbe repr´esentative de la fonctionϕdans un rep`ere orthonormal est la suivante :

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