Correction du devoir de Math´ematiques n

Sujet Gauche

Correction du devoir de Math´ematiques n

4

Exercice 1

1. On a lim

x→+∞x+e^x= +∞et lim

x→+∞e^−x= 0₊ donc lim

x→+∞f(x) = +∞. De plusf(x) =xe^x

1 + e^x

x

or lim

x→−∞xe^x = 0 et lim

x→−∞

e^x

x = 0 donc lim

x→−∞f(x) = 0.

2.

g(x) = e^−x+ 1

e^1−x −e⁻¹ = e^−x+ 1−e⁻¹(e^1−x)

e^1−x = e^−x+ 1−e^−x e^1−x = 1

e^1−x =e^x−1

3. La fonction h(x) = (x+ 1)e^x est d´efinie et d´erivable surReth^′(x) = 1×e^x+ (x+ 1)×e^x= (x+ 2)e^x. On en d´eduit les variations de la fonction h:

x −2

h ց ր

h(−2) La fonction h admet un minimum qui vauth(−2) =−e⁻² =−1

e².

Exercice 2

1.

a = 3 cosπ

2

+isinπ 2

= 3(0 + 1i) = 3i b = −e^iπ=−(−1) = 1

c = 5 cos

−π 6

+isin

−π 6

= 5

√3 2 −1

2i

!

= 5√ 3 2 −5

2i d = i+

cos

2π 3

+isin

2π 3

=i+

−1 2

+i

√3 2 =−1

2+i 1 +

√3 2

!

2.

m= 5e^iπ n= 3e^iπ2 p=√

2e^−i34π q= 2e^iπ3 3.

q⁷ = 2e^iπ37

= 2⁷e^i73π = 128e^iπ3 = 64 + 64i√ 3 i

p³ = e^iπ2 √

2e^−i34π3 = e^iπ2 2√

2e^−i94π = 1 2√

2e^i114π =−1 4 +1

4i

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Sujet Gauche Correction du devoir de Math´ematiques n^◦4

Exercice 3

On consid`ere la fonctionϕ(x) = 10xe⁻⁽

x+1)2

4 .

1. La fonction ϕest obtenue par produit et compos´ee de fonctions d´efinies sur Rdonc elle est d´efinie surR. De plus :

ϕ(x) = 40 x 1 +²_x +_x¹2

(x+1)² 4

e⁽

x+1)2 4

Comme lim

X→+∞ X

e^X = 0 on a lim

x→±∞ϕ(x) = 0.

2. La fonction ϕest obtenue par produit et compos´ee de fonctions d´erivables surRdonc elle est d´erivable sur Ret :

ϕ^′(x) = 10×e⁻⁽

x+1)2

4 + 10x×

−x+ 1 2

e⁻⁽

x+1)2

4 = (10−5x(x+ 1))e⁻⁽

x+1)2

4 = (−5x²−5x+ 10)e⁻⁽

x+1)2 4

3. On en d´eduit les variations de la fonction ϕ:

x −∞ −2 1 +∞

ϕ^′(x) − 0 + 0 −

0 ¹⁰_e

ϕ(x) ց ր ց

−20e⁻¹⁴ 0

4. La courbe repr´esentative de la fonctionϕdans un rep`ere orthonormal est la suivante :

1 1

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