Correction du devoir de math´ ematiques n

Correction du devoir de math´ ematiques n

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Exercice 1 :

1. Calculer les quatre premiers termes des suites(un) et (vn) : a) Pour tout entier n,un= −3n+ 1

n²+ 1 : u₀= −3×0 + 1

0²+ 1 = 1 u₁= −3×1 + 1

1²+ 1 =−1 u₂= −3×2 + 1

2²+ 1 =−1 u₃= −3×3 + 1

3²+ 1 =−4 5

b) ( v₀ = 3;

vn+1= 2vn+ 1,pour tout n>0 v₀ = 3

v₁ = 2v₀+ 1 = 2×3 + 1 = 7 v₂ = 2v₁+ 1 = 2×7 + 1 = 15 v₃ = 2v₂+ 1 = 2×15 + 1 = 31

2. On consid`ere la suite (wn)_n>0 d´efinie par l’algorithme ci- contre.

a) w₀ =−2

w₁ = 3×w₀−3×1+ 3 = 3×(−2)−3×1 + 3 =−6 w₂ = 3×w₁−3×2+ 3 = 3×(−6)−3×2 + 3 =−21 w₃ = 3×w₂−3×3+ 3 = 3×(−21)−3×3 + 3 =−69 b) wn+1 = 3wn−3×(n+ 1) + 3,

=⇒ wn+1 = 3wn−3n, ∀n>0

west un r´eel.i etnsont des entiers.

w← −2

Pour i= 1 jusqu’`anfaire w←3w−3i+ 3 Fin Pour

Afficher w

Exercice 2 :

´Etudions la monotonie des suites suivantes : a) Pour tout entier n,un= 3n²−2n+ 1:

´Etudions le signe deun+1−un.

un+1= 3(n+ 1)²−2(n+ 1) + 1 = 3(n²+ 2n+ 1)−2(n+ 1) + 1 = 3n²+ 4n+ 2 Soitn>0, un+1−un= 3n²+ 4n+ 2

− 3n²−2n+ 1

= 6n+ 1>0, ∀n>0.

Ainsi, la suite(un)n>0 est croissante.

b) Pour tout entiern,vn= ₂³ⁿ :

(vn) est une suite `a termes strictement positifs. Comparons ^vn+1_v

n `a 1.

vn+1 = ₂n+1³

Soit>0, vn+1

vn

=

3 2ⁿ⁺¹

3 2ⁿ

= 3

2ⁿ⁺¹ ×2ⁿ 3 = 2ⁿ

2ⁿ⁺¹ = 2^n−(n+1) = 2⁻¹ = ¹₂ <1, ∀n>0.

Ainsi, la suite(vn)_n>0 est d´ecroissante.

c) Pour tout entiern,wn= 3−4×5ⁿ :

´Etudions le signe dewn+1−wn.

wn+1= 3−4×5ⁿ⁺¹= 3−4×5ⁿ×5 = 3−20×5ⁿ

Soitn>0, wn+1−wn= (3−20×5ⁿ)−(3−4×5ⁿ) =−16×5ⁿ <0, ∀n>0.

Ainsi, la suite(wn)n>0 est d´ecroissante.

Exercice 3 :

Une petite ville de province organise chaque ann´ee une course `a pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants `a cette course ´etait de150.

On fait l’hypoth`ese que d’une ann´ee sur l’autre :

• 20 % des participants ne reviennent pas l’ann´ee suivante ;

• 45 nouveaux participants s’inscrivent `a la course.

On noteun le nombre de participants `a cette course en 2015 +n. Ainsi,u₀ = 150.

1. 20 % des participants ne reviennent pas l’ann´ee suivante donc 80 % des participants reviennent.

u₁ = ₁₀₀⁸⁰ ×150 + 45 = 165 u₂ = ₁₀₀⁸⁰ ×165 + 45 = 177

2. un+1= ₁₀₀⁸⁰ ×un+ 45 =⇒ un+1= 0,8×un+ 45, pour tout entiern.

3. Voici deux propositions d’algorithmes : U est un r´eel etN est un entier.

U ←150 N ←0

Tant queU >220 faire U ←0,8U+ 45 N ←N+ 1 Fin Tant que AfficherN

Algorithme 1

U est un r´eel etN est un entier.

U ←150 N ←0

Tant queU <220 faire U ←0,8U + 45 N ←N + 1 Fin Tant que AfficherN

Algorithme 2

a) Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturelntel queun>220.

Tant que la valeur deun est strictement inf´erieure `a 220, on calcule le terme de rang suivant. La condition U >220 ne peut donc pas convenir. Le bon algorithme est le num´ero 2.

b) `A l’aide de la calculatrice (menu r´ecurrence ou programme), la valeur num´erique affich´ee par l’algorithme 2 est n= 13.

Dans la suite de l’exercice, on admet que(un)n>0 est croissante. 4. `A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que lim

n→+∞un = 225. On peut proc´eder comme ci-dessous en appuyant plusieurs fois sur EXE :

5. La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs `a limiter le nombre de participants `a 250.

Puisque la suite(un) est croissante et que sa limite est 225, le nombre de participants `a la course n’atteindra jamais 250. Les organisateurs n’auront pas `a refuser des inscriptions dans les ann´ees `a venir.

Exercice 4 :

1. Placer sur le cercle trigonom´etrique, les pointsA, B et C associ´es respectivement aux r´eels ^π₃,−³₄^π et ⁵₆^π.

A(^π₃)

B(−³₄^π)

⊕

C(⁵₆^π)

D(⁶⁸₃^π)

×

O

× I

×J

×

×

×

×

2. On consid`ere un angle orient´e dont une mesure en radians, est ⁶⁸₃^π.

a) ⁶⁸₃^π = ²₃^π + 11×2π. On en d´eduit que la mesure principale de cet angle est ²₃^π ∈]−π ; π].

b) ²₃^π + 2×2π = ¹⁴₃^π ∈[4π ; 6π[.

Exercice 5 :

Le plan est orient´e dans le sens direct. #”u ,#”v et w#” sont trois vecteurs non nuls tels que (#”u , #”v) = ²₃^π (2π) et (#”u , w) =#” −^π₄ (2π).

a) (#”u , −3#”v) =π+ (#”u , #”v) =π+²₃^π = ⁵₃^π (2π) Mais ⁵₃^π 6∈]−π ; π], ⁵₃^π −2π =−^π₃ ∈]−π ; π].

La mesure principale de(#”u , −3#”v) est −^π₃.

b) (#”v , w) = (#” #”v , #”u) + (#”u , w)#” (2π) d’apr`es la relation de CHASLES

=−(#”u , #”v) + (#”u , w)#” (2π)

=−2π 3 −π

4 (2π)

=−11π 12 (2π)

−¹¹₁₂^π ∈]−π ; π].

La mesure principale de(#”v , w)#” est −¹¹₁₂^π. c) (3#”u , 5w) = (#” #”u , w) =#” −^π₄ (2π)

−^π₄ ∈]−π ; π].

La mesure principale de(3#”u ,5w)#” est −^π₄.

I L C

A

B Exercice 6 :

Le plan est orient´e dans le sens direct.

AILest un triangle ´equilat´eral.BALetCILsont des triangles rectangles isoc`eles respectivement enL et en I.

1. Le triangleILC est isoc`ele en I doncIC =IL.

Le triangleIALest ´equilat´eral doncIL=IA.

On en d´eduit queIC =IAet le triangle IALest un triangle isoc`ele enI.

Dans un triangle isoc`ele, les angles `a la base sont ´egaux. Sachant que la somme des angles dans un triangle est ´egale `aπ, on aIAC[ = π−CIA[

2 .

Le triangleCIL est rectangle en I donc CILd = π

2. Le triangle AIL est ´equilat´eral donc AILd = π

3. Ainsi, CIA[ = π

2 −π 3 = π

6.

On en d´eduit queIAC[= π−^π₆

2 =

5π 6

2 = 5π 12. 2. AI ,# ” AC# ”

=−5π

12 (2π).

Wrapfigure d´econne

3. D’apr`es la relation de CHASLES,AB ,# ” AC# ”

=AB ,# ” AL# ”

+AL ,# ” AI# ”

+AI ,# ” AC# ”

(2π).

Le triangleABLest rectangle et isoc`ele enL donc AB ,# ” AL# ”

=−^π₄ (2π).

Le triangleAILest ´equilat´eral donc

# ” AL , AI# ”

=−^π₃ (2π).

Ainsi,AB ,# ” AC# ”

=−^π₄ −^π₃ − ⁵₁₂^π =−^3π+4₁₂^π+5π =−π (2π).

AB ,# ” AC# ”

=−π (2π).

4. Puisque AB ,# ” AC# ”

= −π (2π), les vecteurs AB# ” et AC# ” sont colin´eaires et les points A, B et C sont align´es.

Exercice 7 :

Dans un rep`ere(O ;#”ı ,#”), on consid`ere les points A(−2 ; −3) et B(8 ; 1).

1. D´eterminons une ´equation cart´esienne de la droite(AB) :

# ” AB

10 4

_−b

a

est un vecteur directeur de la droite (AB). Donc,−b= 10 ⇐⇒ b=−10et a= 4.

Une ´equation cart´esienne de la droite (AB) est 4x−10y+c= 0

PuisqueB ∈(AB), ses coordonn´ees v´erifient l’´equation de (AB):4xB−10yB+c= 0 ⇐⇒ c=−22 D’o`u, (AB) : 4x−10y−22 = 0 ou encore (AB) : 2x−5y−11 = 0

2. On consid`ere la droite (∆)d’´equation −2x+ 5y−1 = 0.

a) Le point Aappartient-il `a la droire (∆)?

−2xA+ 5yA−1 = 4−15−1 =−126= 0. On en d´eduit que A6∈(∆).

b) Le point d’intersection de (∆) avec l’axe des ordonn´ees v´erifie x = 0. Ainsi l’´equation de (∆) donne

−2×0 + 5y−1 = 0 ⇐⇒ y= ¹₅.

La droite (∆) coupe l’axe des ordonn´ees au point de coordonn´ees 0 ; ¹₅ . c) M´ethode 1 :

# ” 10

#”

−5_−b

# ”

AB et #”u sont colin´eaires. Ainsi, les droites(AB) et (∆)sont parall`eles.

Sachant que A6∈(∆), les droites (AB)et (∆) sont strictement parall`eles.

M´ethode 2 :

En observant les couples (a; b) des ´equations cart´esiennes des droites (AB) et (∆), on remarque que les couples (4 ; −10) et (−2 ; 5) sont proportionnels. On en d´eduit que les droites (AB) et (∆) sont parall`eles.

Sachant que A6∈(∆), les droites (AB)et (∆) sont strictement parall`eles.

3. On consid`ere la droite (d) d’´equation 2x+y+ 3 = 0.

Le couple de coordonn´ees du point d’intersection des droites (∆)et (d) est solution du syst`eme ( −2x+ 5y−1 = 0

2x+ y+ 3 = 0 L₁+L₂ ⇐⇒

( −2x+ 5y−1 = 0

6y+ 2 = 0 ⇐⇒

( −2x+ 5y−1 = 0 y =−¹₃

⇐⇒

( −2x+ 5×(−¹₃)−1 = 0

y =−¹₃ ⇐⇒

( x =−⁴₃ y =−¹₃

(∆)et (d) sont donc s´ecantes au pointΩ de coordonn´ees Ω −⁴₃ ; −¹₃ .