ESPACES PRÉHILBERTIENS

(1)

ESPACES PRÉHILBERTIENS

1.1. Formes bilinéaires

SoitE un espace vectoriel surR.

Définition 1.1. — On appelleforme linéaire surE toute application R-linéaire de EdansR. On désigne parE^∨l’ensemble des formes linéaires surE. Cet ensemble est stable par addition et par multiplication par un scalaire dansR. Il est donc un espace vectoriel surR.

Exemple 1.2. — (1) SoientE=Rⁿ,a= (a₁, . . . , a_n)∈Rⁿ. L’applicationϕ_a :E→ R,

ϕa(x1, . . . , xn) =

n

X

i=1

aixi, est une forme linéaire surE.

(2) Soient Ω un ensemble non-vide et E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles surΩ. Soitω un élément deΩ. L’applicationλω:E →R,λω(f) :=f(ω) est une forme linéaire surE.

(3) Soit C⁰([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1]. L’application I:C⁰([0,1])→R,

I(f) :=

Z 1 0

f(t)dt

est une forme linéaire.

Définition 1.3. — On appelleforme bilinéaire surEtoute applicationb:E×E→ Rtelle que

(i) pour toutx∈E,b(x,·) :E→Rest une forme linéaire, (ii) pour touty∈E,b(·, y) :E→Rest une forme linéaire.

(2)

2 SÉANCE 1. ESPACES PRÉHILBERTIENS

Étant donnée une forme bilinéaire b sur E, on dit que b est symétrique si b(x, y) = b(y, x)pour tout(x, y)∈E²; on dit quebestpositive sib(x, x)>0pour toutx∈E; on dit quebest définiesib(x, x)6= 0 pour toutx∈E\ {0}.

On désigne par Bil(E) l’ensemble des formes bilinéaires sur E. C’est un espace vectoriel surR.

Exemple 1.4. — (1) Soit n un entier, n > 1. Soit A une matrice réelle de taille n×n, alors l’application

bA:Rⁿ×Rⁿ→R, bA (x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)

:= (x1, . . . , xn)A





 y1

... y_n







est une forme bilinéaire surRⁿ, appeléeforme bilinéaire associée à la matriceA.

Elle est symétrique si et seulement si la matriceAest symétrique.

(2) SoitE=C⁰([0,1]). L’application

h,i:E×E→R, hf, gi:=

Z 1 0

f(t)g(t)dt

est une forme bilinéaire surC⁰([0,1]). Elle est symétrique et définie positive.

(3) SoitEun espace vectoriel surR. Siϕetψsont deux formes linéaires surE, alors l’application

ϕ⊗ψ:E×E→R, (ϕ⊗ψ)(x, y) :=ϕ(x)ψ(y)

est une forme bilinéaire surE, appeléeproduit tensoriel de ϕ et ψ. Si E est de rang fini surR, alors toute forme bilinéaire surE est une combinaison linéaire de produits tensoriels de formes linéaires.

1.2. Produit scalaire

Dans la suite de la séance,kdésigneRouC.

Définition 1.5. — SoitE un espace vectoriel surk. On appelleproduit scalairesur E toute applicationh, i:E×E→kqui satisfait aux conditions suivantes :

(i) pour toutx∈E, l’applicationhx,·i:E→kestk-linéaire, (ii) pour tout(x, y)∈E×E,hx, yi=hy, xi,

(iii) pour toutx∈E\ {0}, le nombrehx, xiest réel, et on ahx, xi>0.

On appelleespace préhilbertien surktout espace vectorielEsurkmuni d’un produit scalaire.

Remarque 1.6. — (1) Dans le cas où k =R, un produit scalaire est simplement une forme bilinéaire symétrique et définie positive.

(3)

(2) Soit E un espace préhilbertien surk qui est de rang fini sur k. Si k=R, on dit aussi queE est un espace euclidien; sik=C, on dit aussi que E est un espace hermitien.

(3) Six,y etz sont trois éléments deE et siλetµsont deux éléments dek, alors hλx+µy, zi=λhx, zi+µhy, zi.

Exemple 1.7. — (1) E=kⁿ, oùn∈N. L’applicationh,i:kⁿ×kⁿ →k, h(z₁, . . . , z_n),(w₁, . . . , w_n)i:=

n

X

j=1

z_jw_j

est un produit scalaire surE.

(2) On désigne par `²(k) l’ensemble des suites (zn)n∈N dans k tells que la série P

n∈N|z_n|² converge. L’applicationh,i_`2 :`²(k)×`²(k)→k, h(zn)_n∈N,(wn)_n∈Ni_`2 :=X

n∈N

znwn

est un produit scalaire sur`²(k).

(3) Soit C⁰([0,1], k) l’ensemble des fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans k.

L’applicationh,i_L2:C⁰([0,1], k)×C⁰([0,1], k)→k, hf, giL² :=

Z 1 0

f(t)g(t)dt

est un produit scalaire surC⁰([0,1], k).

Théorème 1.8 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). — Soit(E,h, i)un espace pré- hilbertien. Sixet y sont deux éléments deE, on a

|hx, yi|²6hx, xihy, yi.

Démonstration. — Si y = 0, alors hx, yi= 0 et donc l’inégalité est triviale. Dans la suite, on supposey6= 0. Soit

λ=hy, xi hy, yi. On a

06hx−λy, x−λyi=hx, xi −λhy, xi −λhx, yi+|λ|²hy, yi

=hx, xi −|hx, yi|²

hy, yi −|hx, yi|²

hy, yi +|hx, yi|²

hy, yi =hx, xi −|hx, yi|² hy, yi , d’où le résultat.

(4)

1.3. Norme

Définition 1.9. — SoitE un espace vectoriel surk. On appellesemi-norme surE toute applicationk.k:E→R+ qui satisfait aux conditions suivantes :

(1) pour toutx∈E et toutλ∈k,kλxk=|λ| · kxk,

(2) (inégalité triangulaire) pour tout(x, y)∈E²,kx+yk6kxk+kyk.

Si de pluskxk>0pour toutx∈E\ {0}, on dit quek.kest unenorme et que(E,k.k) est un espace vectoriel normé.

Exemple 1.10. — Soient E un espace vectoriel de rang fini sur k, et (ei)^r_i=1 une base deE, alors l’applicationk.k:E→R+,ka1e1+· · ·+arerk= max(|a1|, . . . ,|ar|) est une norme surE.

Proposition 1.11. — Soit(E,h,i)un espace préhilbertien. Alors l’applicationk.k: E→R+,kxk:=hx, xi^1/2 est une norme.

Démonstration. — Si x∈Eet si λ∈k, on a

kλxk²=hλx, λxi=λλhx, xi=|λ|²· kxk². Si xety sont deux éléments deE, on a

kx+yk²=hx+y, x+yi=hx, xi+hx, yi+hy, xi+hy, yi

=kxk²+ 2Re(hx, yi) +kyk²6kxk²+ 2|hx, yi|+kyk²

6kxk²+ 2kxk · kyk+kyk²= (kxk+kyk)²,

où la dernière inégalité provient de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Enfin, sikxk= 0, alorshx, xi=kxk²= 0, et doncx= 0.

Définition 1.12. — SoientEun espace vectoriel surketk.kune norme surE. On dit que la norme k.k est préhilbertienne s’il existe un produit scalaire h,i tel que kxk²=hx, xipour toutx∈E.

1.4. Orthogonalité

Définition 1.13. — Soit(E,h,i)un espace préhilbertien surk.

On dit que deux élémentsxety deE sont orthogonaux si hx, yi= 0, notéx⊥y.

Commehx, yi=hy, xipour tout(x, y)∈E², on obtient quehx, yi= 0si et seulement sihy, xi= 0. Autrement dit, l’orthogonalité est une relation binaire symétrique.

Soient xun élément de E et Aun sous-ensemble de E. Si, pour tout y∈A, on a x⊥y, on dit quexestorthogonal à A, notéx⊥A.

On dit qu’un sous-ensembleBdeEest unefamille orthogonalesi pour tout couple (x, y)∈B²,x6=y, on ahx, yi= 0. Si de plus on akxk= 1pour toutx∈B, on dit queB est unefamille orthonormée.

Proposition 1.14. — Soit(E,h,i)un espace préhilbertien surk.

(5)

(1) Si un élément x ∈ E est orthogonal à un sous-ensemble A de E, il est aussi orthogonal au sous-espace vectoriel deE engendré parA. En d’autres termes, on aA^⊥= Vect(A)^⊥.

(2) Si A est un sous-ensemble de E, alors l’ensemble A^⊥ des éléments de E orthogonaux à A est un sous-espace vectoriel deE.

(3) Si {x1, . . . , xn} est une famille orthogonale de vecteurs dans E, alors pour tout (λ₁, . . . , λ_n)∈kⁿ, on a

(1.1) kλ1x1+· · ·+λnxnk²=

n

X

j=1

|λj|²· kxjk².

(4) Toute famille orthogonale de vecteurs non-nuls dansE est libre.

Démonstration. — (1) Soient y₁, . . . , y_n des éléments deA, etλ₁, . . . , λ_n ∈k, alors hx, λ1y1+· · ·+λnyni=

n

X

j=1

λjhx, yji= 0.

(2) Sixet ysont deux éléments deA^⊥,λetµsont deux éléments dek, pour tout z∈Aon a

hz, λx+µyi=λhz, xi+µhz, yi.

Par conséquent,λx+µy∈A^⊥.

(3) On raisonne par récurrence surn. Le cas où n= 1 est trivial. Traitons le cas oùn= 2. On a

kλ₁x₁+λ₂x₂k²=hλ₁x₁+λ₂x₂, λ₁x₁+λ₂x₂i

=λ₁λ₁kx₁k²+λ₂λ₂kx₂k²+λ₁λ₂hx₁, x₂i+λ₂λ₁hx₂, x₁i.

Commex1etx2sont orthogonaux, on ahx1, x2i=hx2, x1i= 0. Par conséquent, on a kλ₁x₁+λ₂x₂k²=|λ₁|²· kx₁k²+|λ₂|²· kx₂k.

Dans la suite, on considère le cas oùn >2en supposons que l’énoncé est vrai pourn−1 vecteurs orthogonaux. Par les énoncés (1) et (2), on obtient queλnxn est orthogonal à λ1x1+· · ·+λ_n−1x_n−1, d’où (par le cas où n= 2)

kλ1x1+· · ·+λnxnk²=kλ1x1+· · ·+λ_n−1x_n−1k²+|λn|²· kxnk². Par l’hypothèse de récurrence, on obtient le résultat.

(4) Soit B une famille orthogonale de vecteurs non-nuls dansE. On suppose que x1, . . . , xn sont des éléments non-nuls de B et (λ1, . . . , λn) ∈kⁿ est tel que λ1x1+

· · ·+λ_nx_n= 0. Par l’énoncé (3) on obtient kλ1x1+· · ·+λnxnk²=

n

X

j=1

|λj| · kxjk²= 0.

Donc on a |λj| · kxjk= 0 pour toutj∈ {1, . . . , n}. Commexj6= 0, on akxjk>0et donc|λj|= 0pour toutj∈ {1, . . . , n}.

(6)

Proposition 1.15. — Soit(E,h,i)un espace préhilbertien surk.

(1) Si AetB sont deux sous-ensembles de E tels queA⊂B, alors on a B^⊥⊂A^⊥. (2) Si F est un sous-espace vectoriel deE, alors on aF∩F^⊥={0}.

Démonstration. — (1) CommeA⊂B, tout vecteur orthogonal àB est orthogonal à A.

(2) Soitxun vecteur dansF∩F^⊥. On a kxk²=hx, xi= 0.

Doncx= 0.

Théorème 1.16 (Inégalité de Parseval). — Soient(E,h,i)un espace préhilber- tienne, {e1, . . . , e_n} une famille orthonormée dans E et F le sous-espace vectoriel engendré pare₁, . . . , e_n. Soitxun élément deE.

(1) Le vecteur

n

X

j=1

hej, xiej

est l’unique vecteur dans F tel que x−

n

X

j=1

hej, xiej

soit orthogonal à F. (2) On a

kxk²>

n

X

j=1

|he_j, xi|²,

l’égalité est satisfaite si et seulement si x∈F. De plus, dans le cas où x∈F on a

x=

n

X

j=1

hej, xiej.

Démonstration. — Soit

y=x−

n

X

j=1

hej, xiej.

(1) Pour toutj∈ {1, . . . , n}, on a hej, yi=hej, xi −

n

X

l=1

hel, xihej, eli=hej, xi − hej, xi= 0.

D’après la proposition 1.14 (1), y est orthogonal à F. Si y⁰ = x−z est un autre élément orthogonal àF, oùz∈F. On a

y−y⁰∈F∩F^⊥.

(7)

Doncy−y⁰= 0et y=y⁰.

(2) D’après la proposition 1.14 (3), on a kxk²=kyk²+

n

X

j=1

|hej, xi|²>

n

X

j=1

|hej, xi|².

Si l’égalité est satisfaite, alors on akyk= 0 et doncy= 0. Cela revient à dire que x=

n

X

j=1

hej, xiej∈F.

Réciproquement, six∈F, alors il est de la formeλ1e1+· · ·+λnen, d’oùλj=hej, xi pour toutj∈ {1, . . . , n} et on a

kxk²=

n

X

j=1

|λ_j|²=

n

X

j=1

|he_j, xi|².

Corollaire 1.17. — Soient(E,h,i)un espace préhilbertien etB une famille ortho- normée dansE. Pour tout vecteur x∈E on a

kxk²>X

e∈B

|he, xi|².

1.5. Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Théorème 1.18. — Soient (E,h,i) un espace préhilbertien de rang fini sur k et (vj)ⁿ_j=1 une base de E. Pour tout j ∈ {0, . . . , n} soit Ej le sous-espace vectoriel de E engendré par v1, . . . , vj (dans le cas où j = 0, on a E0 = {0} par convention).

Il existe une unique famille orthogonale (w_j)ⁿ_j=1 dansE qui satisfait aux conditions suivantes :

(1) pour tout j∈ {1, . . . , n},w_j−v_j∈E_j−1,

(2) pour tout j∈ {1, . . . , n},{w1, . . . , wj} forme une base de Ej.

En particulier, tout espace préhilbertien de rang fini possède une base qui est une famille orthonormée (appelée base orthonormée).

Démonstration. — On construit les vecteurswjpar récurrence : on prendw1=v1et (1.2) wj+1=vj+1−

j

X

l=1

hvl, eji

kvlk² vl=ej−

j

X

l=1

D vl

kvlk, ej

E vl

kvlk.

pourj ∈ {1, . . . , n−1}. Par construction on aw_j−vj∈E_j−1pour toutj∈ {1, . . . , n}

et donc{w1, . . . , wj}forme une base deEj. D’après le théorème 1.16, le vecteurwj+1

est orthogonal àEj pour toutj∈ {1, . . . , n}. L’unicité est garantie par la proposition 1.16 (1).

(8)

Enfin, les vecteurswj/kwjkforment une base deEqui est une famille orthonormée.

1.6. Projection orthogonale

Soient(E,h,i)un espace préhilbertien surketF un sous-espace vectoriel de rang fini de E. D’après le théorème 1.2, il existe un base orthonormée de F. D’après le théorème 1.16, pour tout vecteur x ∈ E, il existe un unique vecteur dans F, que l’on notepF(x), tel quex−pF(x)soit orthogonal à F. Le vecteur pF(x)est appelé projection orthogonale de x dans F. Le vecteur s_F(x) := 2p_F(x)−x est appelé le symétrique orthogonal dexpar rapport àF.

Proposition 1.19. — (1) Les applications pF : E → E et sF : E → E sont k- linéaires.

(2) Le noyau dep_F estF^⊥; le noyau dep_F−Id_E estF. (3) On a p²_F =p_F.

(4) L’application s_F préserve le produit scalaire. En d’autres termes, pour tout (x, y)∈E², on ahsF(x), sF(y)i=hx, yi.

Démonstration. — (1) Soient xet y deux vecteurs deE, λ et µdes éléments de k.

On a

(λx+µy)−(λpF(x) +µpF(y)) =λ(x−pF(x)) +µ(y−pF(y)), qui est orthogonal àF. Par l’unicité de la projection orthogonale, on obtient

pF(λx+µy) =λpF(x) +µpF(y).

CommesF = 2pF−IdE, on obtient quesF est aussik-linéaire.

(2) Tout élément x∈E s’écrit de façon unique commex=y+z avecy ∈F et z∈F^⊥. De plus on ay=p_F(x). En particulier,p_F(x) =xsi et seulement six∈F; et pF(x) = 0 si et seulement six∈F^⊥.

(3) Pour toutx∈E, on apF(x)∈F. DoncpF(pF(x)) =pF(x).

(4) On a

hsF(x), sF(y)i=h2pF(x)−x,2pF(y)−yi

=hpF(x), pF(y)i+hpF(x)−x, pF(y)−yi=hpF(x), pF(y)i − hx, pF(y)−yi

=hpF(x)−x, pF(y)i+hx, yi=hx, yi.